Математические открытия. Вчера, сегодня, завтра

1. Математические открытия. Вчера, сегодня, завтра Харитоновские чтения, Саров 26.02.2010 Г.Г. Малинецкий

2. Институт прикладнойматематикиим.М.В.Келдыша РАН Главные решенные задачи • Совершенствование атомной и водородных бомб (в Атомном проекте СССР участвовало 800 тыс. человек, Минсредмаш) • Обеспечение космических полетов (1,5 млн. человек, 1200 заводов, Минобщемаш) • Разработка систем управления • сложными объектами С.П.Королев, И.В.Курчатов, М.В.Келдыш

3. Т. Кун (1922-1996) Научная революция «Нормальная» наука Что такое открытие? Парадигма: 1. Беспрецедентное научное достижение, задающее стандарт научного исследования 2. Генератор задач разного уровня сложности

4. Рождение классики Аксиоматический метод • Основные понятия • Аксиомы • Постулаты • Теоремы Евклид ок. 300 г.д.н.э. Задача Аполлония, ок. 220 г. до н.э.

5. Три великие задачи древности • Наука фундаментальная и прикладная • Теория = внешнее оправдание + + аппарат + + внутреннее совершенство Трисекция угла Удвоение куба Квадратура круга

6. Л.Эйлер (1707-1783) A H 2 1 M O C B A’ Эпоха Эйлера Фонтаны короля и уравнение Эйлера • Построение MH = 2 OM • Δ A’OM ~ Δ AHM • OA’ || AH • H -на высоте γ=0,57721566490153… 72 тома сочинений, 9 детей… активно жил человек…

7. B C B C B C G F A D E H A D A D Теорема Эйлера Вершины - Ребра + Грани = χ = 2 Проблема четырех красок

8. b 1 a/b a Удвоение куба. Дебют Гаусса Какие числа можно построить циркулем и линейкой? К. Гаусс 1777-1855 b a b a + b 1 a b a ab Р.Декарт 1596-1650 a - b Рассуждение о Методе Идея аналитической геометрии

9. Что можно построить? C ∆ OAC ~ ∆ CAB B O a A 1

10. Какие уравнения можно решить циркулем и линейкой Понятие поля • Рациональные числа: p/a, p – целое • Числа вида Если a и bпринадлежат полю F, то a+b, a-b, ab, a/b также принадлежат полю F 1 1 Расширения полей: можно построить число и построить поле чисел вида , a и bпринадлежат полю F Нельзя решить Можно решить (удвоение куба) (трисекция угла)

11. Н.Х. Абель 1802-1829 П. Руффини 1765-1822 Э. Галуа 1811-1832 Можно построить P-угольники, P=22n+1, P – простое, P = 3, 5, 17, 257, 65537 К. Гаусс 1777-1855 Нельзя построить решение

12. Рождение топологии А. Мёбиус 1790-1868 Лист Мёбиуса a c a -> c b -> d У листа Мёбиуса одна сторона и один край! b d a c a -> d b -> c d b

13. Парадоксы и строгость рассуждений • Парадокс Перрона: n=1 наибольшее целое число. Пусть n – наибольшее целое, тогда для n≠1 n2>n, что противоречит тому, что n – наибольшее целое. • Брадобрей бреет всех, кто не бреется сам. Должен ли он брить себя?

14. Математика, поэзия, провидение Гипотеза о дифференцируемости: каждая непрерывная функция дифференцируема почти всюду К. Вейерштрасс (1815-1897) Б. Мандельброт Фракталы

15. В.И. Арнольд (1937) А.Эйнштейн (1879-1955) И.Ньютон (1642-1727) Ф.Дайсон (1923) Математика и реальность • «Природа представляется мне гигантским часовым механизмом» И.Ньютон • «Природа – это реализация простейших математических конструкций» А. Эйнштейн • «Математика – это просто раздел физики» В.И. Арнольд • «Надо освободить математику от физики, а физику – от математики» Ф. Дайсон 10100 - гугол

16. Бифуркации в развитии математики Прикладная математика Эйлер, Пуанкаре Естествознание Чистая математика Научное познание Вейерштрасс, Гильберт Ньютон, Лейбниц, Декарт Гуманитарные науки XXI век должен стать веком Большого Синтеза

17. Главные технологии Ядерное оружие Космические технологии Надежные шифры Главные успехи математики Математическая физика Динамические системы Дискретная математика Научное и технологическое содержание XX века

18. Г. Кантор (1845-1918) Д.Гильберт (1862-1943) Парадоксы бесконечного 1/3 + 2/9 + +4/27 +… = 1 0 0 2 2 0 0 0 2 0 2 0 … 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 0 … 2 2 2 0 0 0 2 0 0 2 0 … … Каких чисел на отрезке больше? Рациональных или иррациональных? М. Эшер, «Комната» «Гостиница с бесконечным числом номеров» Кривая Пеано

19. Д.Гильберт (1862-1943) А. Тьюринг (1912-1954) Проблемы Гильберта • 1900, Париж, 10-япроблема: отыскание универсальной алгоритмической процедуры для решения математических задач (по сути, замысел Декарта) • Тезис Черча-Тьюринга: все разрешимые математические задачи задачи могут быть решены с помощью машины Тьюринга

20. Теория сложности • Простые задачи - полиномиальные • Быстрая сортировка массива ~ N log N • Сложные задачи – неполиномиальные • Задача коммивояжера • Дискретное логарифмирование Во Вселенной примерно 1080 атомов

21. У.Диффи М. Хеллман Криптография с открытым ключом • Функция с секретом K • Существует полиномиальный алгоритм вычисления значения для любых K и x • Не существует полиномиального алгоритма вычисления при неизвестном K • Существует полиномиальный алгоритм вычисления при известном K Рождение – 1976 год Идея: я всем даю функцию FK, чтобы они зашифровали x и переслали мне. Расшифровать ее могу только я…

22. Бросание монеты по телефону • Односторонняя функция f: X -> Y • Если f(x1)=f(x2), то x1 иx2имеют одинаковую четность. • Схема Блюма-Микали: • А выбирает x, вычисляет y=f(x) и высылает y B • B получает y и посылает свою догадку A • A получает догадку B и говорит, угадал ли он • B проверяет, не обманывает ли A, вычисляя f(x) и сравнивая с y Электронная подпись, деление секрета, подписание контракта, защита больших потоков информации…

23. Как описать движение? • Задача Фибоначчи, н. XIII века (задача о кроликах). 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… xn+1=xn+xn-1, x0=1, x1=1. • Одномерное отображение xn+1=f(xn) xn+1 x2 • Логистическое отображение • xn+1=λxn(1- xn) • Возможно, одна из главных математических моделей XX века x1 xn+1=λxn xn x0 x1 x2 М. Фейгенбаум

24. Э. Лоренц (1917-2008) Удивительная «палатка» Д. фон Нейман (1903-1957) Открытие горизонта прогноза, 1963 г. Отображение xn+1=1 – 2|xn| Аттрактор Лоренца Эффект бабочки

25. Главные технологии Проектирование будущего Высокие гуманитарные технологии Технологии сборки и уничтожения субъектов Главные задачи Теория управления рисками Нейронаука Математическая история Главные технологии и главные научные задачи XXI века

26. Пределы человечества. Население, экономика, знание Население: Технологии: Культура: Развитие химии после 1750: По оси ординат – среднее ежегодное число открытий с усреднением за десятилетие Nпред. = 11,3млрд. Sпред. = $137трлн./год Главная фигура XXI века – инженер

27. Гипотеза Р.Пенроуза • Задача о непериодическом замощении плоскости. • Открытие квазикристаллов. • Al72Ni20Co8 • AlkPdlMnm • Невычислимость сознания ? • Объективная квантовая редукция?

28. Гипотеза С. Хаммерофа • Загадка сознания кроется во внутренней структуре клетки. • Ключевую роль в процессах обработки информации в клетке играет цитоскелет. • «Строительная единица» цитоскелета – тубулин – имеет размер 8 nm. • «Классической» работой нейронов управляют возникновение и схлопывание когерентных состояний больших наборов молекул в микротрубочках цитоскелета нейронов. • Ключ к проблеме – самоорганизация на квантовом уровнев живых клетках.

29. Т Т Ц Ц Г Г А А Г Г Ц Ц Г Г Ц Ц А А Г Г Ц Ц Т Т Ц Ц Г Г Ц Ц Г Г Т Т Ц Ц Г Г Ц Ц Г Г Ц Ц Г Г А А А А Г Г Ц Ц Г Г Ц Ц Г Г Ц Ц Т Т Биовычисления,нейронаука • Многоагентные системы • ДНК-вычисления • Нейронные сети • Генетические алгоритмы • Клеточные автоматы • Иммунные сети

30. Двери в сказку или ящик Пандорры С. Брин, Основатель Google «Лучший способ избежать соблазна – отдаться ему…» О. Уайльд Пандора с ларцом Ж.Ж. Лефевр, 1882 Начало эры персональной геномики, 2008 год. Дж. Уотсон, Нобелевская премия 1962г. Линда Авей Рук-ль фирмы 23andme

31. Искус имитации – искусственная жизнь В этой модели возможны 21000 стратегий «Окончательной победы» в эволюции не бывает…

32. Альтернативы развития

33. Главные открытия • XIX век – химический код: таблица Менделеева • XX век – биологический код: ДНК • XXI век – психический код… ? ?

34. И.М. Гельфанд Распознавание образов выявление смыслов Голографическая метафора устройства мозга Как научить компьютер отличать кошку от собаки?

35. Какие мечты стоит воплощать? • «Эльфийский плащ».Линза Веселаго-Пендри. • Проблема коллективных действий роботов Какие звезды с неба нам нужны?

36. Задача о производной таблично заданной функции Принципы • регуляризация • учет априорной информации • Простейший путь • метод подбора 1 y 3 ε 2 x 0 A Задача о тепловом режиме Земли Прямая задача Обратная задача Корректность задачи по Адамару • решение существует • решение единственно • решение устойчиво относительно • параметров задачи Некорректныезадачи – XX век А.Н. Тихонов (1906-1993)

37. Математическая история и стратегический прогноз – вызов математике • Исторические альтернативы • Исторический прогноз • Управление историческими процессами

38. Как рождаются, развиваются и умирают языки Языковые войны Методы геоинформационных систем в историческом моделировании

39. Создание математической истории А. Тойнби Плотность населения в Средиземноморье Альтернатива Тойнби – Рима не возникает

40. Сценарий распада России 2030 без ввода войск Инерционный сценарий – без сверхусилий России не выбраться

41. Претендентам на Нобелевские премии… Нобелевская премия по физиологии и медицине 1979 года: Кормак и Хаунсфилд (за разработку компьютерной томографии) • Нобелевская премия по химии 1998 года: • У.Кон (за развитие функциональной теории плотности) • Д.Попл (за разработку компьютерных вычислительных методов квантовой химии)

42. Математика и искусство «Проблема состоит в том, чтобы оставить человеку человеческое, а машине – машинное. Но для этого надо понять, что же является человеческим» Н. Винер Г.К. Каспаров Искусству надо дать шанс…

43. Прогнозы на XXI век «Единственная проблема заключается в том, что через 500 лет у Mathematische Annalen появится столько редакторов, что они не поместятся на обложку» Д.Гильберт Д.Гильберт (1862-1943) «Конец математики в XXI веке наступит из-за социальных потрясений и из-за всевластья бюрократических структур» А.Н. Колмогоров А.Н. Колмогоров (1862-1943)

44. Наши надежды «Общие утверждения проще, чем их частные случаи» «Математическая идея не должна застывать в аскиоматической форме, а должна течь подобно реке» Д.Д. Сильвестр «Развитие математики было обусловлено не столько техническим прогрессом, сколько установлением взаимосвязей между ее областями» В.И. Арнольд Д.Д. Сильвестр (1814-1897) В.И. Арнольд (1937)

45. «Мы познаем и творим науку, и наука творит нас…»