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Gliederung. EinleitungDifferentialgleichungenPartielle DifferentialgleichungenDiskretisierungNumerische LsungsverfahrenDirekte VerfahrenGau-EliminationIterative VerfahrenJacobi-VerfahrenGau-Seidel-VerfahrenZusammenfassung. . Gliederung. EinleitungDifferentialgleichungenPartielle Diff
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1. Nummerisches Lsen partieller Differentialgleichungen Im Rahmen des Seminars Verteilte und parallele Systeme Ziel des numerisches Lsens: rechnergesttzt umfangreiche Modelle zu lsen
Ziel des Vortrags: Vorstellen von verschiedenen Modellen, sowie deren parallele Umsetzung
Ziel des numerisches Lsens: rechnergesttzt umfangreiche Modelle zu lsen
Ziel des Vortrags: Vorstellen von verschiedenen Modellen, sowie deren parallele Umsetzung
2. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
3. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
4. Einleitung Viele Problemstellungen in FuE lassen mit Hilfe von Simulationen lsen
Beschreibung realer Systeme durch mathematische Modelle
Mathematischen Modelle ermglichen Simulationen von Zustnden / Ergebnissen
Beispiele:
Klimasimulation
Crashtest Simulation
3D-CAD Modellierungen
Problemstellungen in Technik/Forschung/Entwicklung:
Klimasimulartion
Verformungen von Werkstoffen (Automobilindustrie)
Temperaturverlufe
Strmungsverhahlten nach und vor z.B. Instalation einer Brcke
Simulationen:
Echte Messungen zu teuer/dauern zu lange
zerstrendProblemstellungen in Technik/Forschung/Entwicklung:
Klimasimulartion
Verformungen von Werkstoffen (Automobilindustrie)
Temperaturverlufe
Strmungsverhahlten nach und vor z.B. Instalation einer Brcke
Simulationen:
Echte Messungen zu teuer/dauern zu lange
zerstrend
5. Einleitung Partielle Differentialgleichungen zur werden oft zur Modellierung herangezogen
Modelle sind recht komplex
Bentigen Untersttzung durch Rechner
Um zeitnah Ergebnisse Simulieren zu knnen brauchen rechnergesttzte AlgorithmenUm zeitnah Ergebnisse Simulieren zu knnen brauchen rechnergesttzte Algorithmen
6. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
7. Partielle Differentialgleichungen Differentialgleichungen:
Beschreiben Verhalten realer Systeme
Gesucht: Funktion y, die die Funktion
fr x = (x1,,xn) , wobei G Rn
erfllt, dabei sei Dky die k-te Ableitung der Funktion y
y ist stetig und differenzierbar
Bsp.:
Beschreibung einer
Flugkurve durch
eine Parabel
8. Partielle Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen
Mehrdimensional
Von mehreren Variablen abhngig
Komplexe Berechnungen erforderlich
Untersttzung durch Rechner
wnschenswert
Bsp.:
Modellierung eines Trampolintuchs beim Einsprung
9. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
10. Diskretisierung Bsp.: Temperaturverlauf in einem Metallstab
stetiges Modell:
diskretes Modell:
11. Diskretisierung Diskretisierung:
Temperaturen T1 und T2 bekannt
Gesucht sind die Temperaturen x1,,x4
Temperaturen x1,,x4 ergeben sich aus dem Durchschnitt der umgebenden Temperaturen
12. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
13. Numerische Lsungsverfahren Bezeichnet Verfahren, die Lsungen zahlenmig herbeifhren
Durch Algorithmen automatisierbar
14. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
15. Gau-Elimination Vorgehen ausgehend von dem LGS der Form Ax = b:
16. Gau-Elimination Transformation bentigt n-1 Schritte
In jedem Schritt k:
und aus und errechnen:
Eliminationsfaktoren l berechnen:
Matrix A(k+1) und Vektor b(k+1) neu berechnen:
17. Gau-Elimination Schritt 2: Durch Rckwrtseinsetzen LGS lsen
18. Gau-Elimination Problem:
Sollte ein Element der Hauptdiagonalen der Matrix A Null sein bricht der Algorithmus ab (Division durch Null )
Partielle Pivotisierung
Erfordert mehr Kommunikation/Rechenaufwand
19. Gau-Elimination
20. Gau-Elimination
Vorteile:
Vorhersagbarkeit der Laufzeit
Vorhersagbarkeit des Speicherbedarfs
exakte Lsung (sofern vorhanden)
Auf jedes LGS anwendbar
21. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
22. Iterative Verfahren Liefern nur Nherungen
Aufbauend auf bereits errechnete Nherungen werden weitere Approximationen errechnet
Verfahren erzeugen Folgen von Vektoren {x(k)}k=1,2,die gegen die gesuchte Lsung x* konvergieren.
Aufwand der Algorithmen nicht ausschlielich abhngig von der Gre des Systems
Fr dnnbesetzte Matrizen gut geeignet
23. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
24. Jacobi-Verfahren Idee:
Sind alle bekannt, kann durch Einsetzen der errechnet werden
, i = 1,,n , j = 1,,n
25. Jacobi-Verfahren Abbruchkriterium:
Anzahl an Iterationen - Abbruch ohne Ergebnis
Lsung ist hinreichend genau:
Abbruchkriterium: relativer Fehler
||.|| Vektornorm, z.B. ||x||? = max i=1,...,n|xi| oder ||x||2=(?n i=1|x|2) .
26. Jacobi-Verfahren Parallel Implementierung:
Prozessor Pi mit i = 1,,p speichert n/p Zeilen von A und die dazu gehrigen Werte von b
Mglichkeit Vektor x entweder lokal als auch global gespeichert
Iterationsablauf:
27. Jacobi-Verfahren 1. Schritt:
Jeder Prozessor Pi hat alle bentigten Daten aus der Approximation x(k) vorliegen und errechnet der Iterationsvorschrift die nchste Aproximation x(k+1) seiner n/p Elemente.
28. Jacobi-Verfahren 2. Schritt:
Jeder Prozessor sendet seine n/p lokal gespeicherten Elemente des Vektors x(k+1) z.B. mit einer Multibroadcastoperation an die brigen Prozessoren
29. Jacobi-Verfahren 3. Schritt:
Abbruchkriterien berprfen, ggf. Ergebnis ausgeben
30. Jacobi-Verfahren Aufwand einer Iteration:
Schritt 1:
n/p Werte werden in quadratischer Zeit errechnet ? T(n2 * (n/p))
Schritt 2:
n/p Werte an p-1 Prozessoren verschicken ? T((p-1) * (n/p))
Schritt 3:
Ist abhngig vom Abbruchkriterium, z.B. T(n), wenn das globale Maximum verglichen wird
31. Jacobi-Verfahren Aufwand des Algorithmus:
(Aufwand einer Iteration) * (Iterationsdurchlufe)
Anzahl der Iterationsdurchlufe abhngig vom Gleichungssystem und der Konvergenzrate
Jacobi-Verfahren hat relativ schlechte Konvergenzrate
32. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
33. Gau-Seidel-Verfahren Iteratives Verfahren
Gleicher Ansatz wie Jacobi, jedoch:
Innerhalb einer Iteration wird auf die bereits errechneten Werte zurckgegriffen
Dadurch entsteht folgende Iterationsvorschrift
34. Gau-Seidel-Verfahren Datenabhngigkeiten
35. Gute Anwendbarkeit bei dnnbesetzten Matrizen
Oft bei Modellen die einer Gitterstruktur entsprechen Gau-Seidel-Verfahren
36. Gau-Seidel-Verfahren Bei einem 4x4 Gitter ergibt sich folgendes Bild:
Relative viele Datenabhngigkeiten
Durch Rot-Schwarz-Schema in der Berechnung reduzierbar
37. Gau-Seidel-Verfahren Rot-Schwarz-Schema:
1. 16 Punkte in rote und schwarze Punkte aufteilen
2. Punkte so im Gitter angeordnet, dass alle roten Punkte nur schwarze Nachbarn haben und umgekehrt
38. Nach der Umordnung:
Damit ergibt sich der Iterationsschritt: Gau-Seidel-Verfahren
39. Gau-Seidel-Verfahren Algorithmus:
Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren
Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren
Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren
Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren
Schritt: Abbruchkriterium berprfen
Schritt: Vektor und zu gemeinsamen Ergebnisvektor zusammenfhren
40. Gliederung Einleitung
Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Diskretisierung
Numerische Lsungsverfahren
Direkte Verfahren
Gau-Elimination
Iterative Verfahren
Jacobi-Verfahren
Gau-Seidel-Verfahren
Zusammenfassung
41. Zusammenfassung Differentialgleichungen
Knnen oft zur mathematischen Modellierung herangezogen werden
Sind stetig
Mssen diskretisiert werden, um numerisch gelst zu werden
42. Zusammenfassung Numerische Lsungsverfahren:
Gaus-Eliminations-Verfahren:
Direktes Verfahren
Exakte Lsung wird errechnet
Vorhersagbare Rechenzeit
Vorhersagbarer Speicherbedarf
Auf alle linearen Gleichungssystemen anwendbar
Fill-in kann auftreten
Schlechte Parallelisierbarkeit
43. Zusammenfassung Numerische Lsungsverfahren:
Jacobi-Verfahren:
Iteratives Verfahren
Kein fill-in
Fr dnnbesetzte Matrizen gut geeignet
Rechenzeit nicht vorhersagbar
Laufzeit abhngig von der Komplexitt des Gleichungssystem
Schlechte Konvergenzrate
44. Zusammenfassung Numerische Lsungsverfahren:
Gau-Seidel-Verfahren:
Iteratives Verfahren
Kein fill-in
Datenabhngigkeiten innerhalb einer Iteration
Nicht so gut parallelisierbar
Fr dnnbesetzte Matrizen in Bandstruktur gut geeignet
Rechenzeit nicht vorhersagbar
Laufzeit abhngig von der Komplexitt des Gleichungssystem
bessere Konvergenzrate als Jacobi-Verfahren
45. Literatur Michael J. Quinn: Parallel Computing, Theory and Practice, 2nd ed., McGraw-Hill, 1994
Thomas Rauber, Gudula Rnger: Parallele Programmierung, 2. Aufl., Springer, 2007.
Hartmut Schwandt: Parallele Numerik, Eine Einfhrung, 1. Aufl., Teubner 2003
46. Vielen dank fr Ihre Aufmerksamkeit und ein erholsames Wochenende!