Trigonometria no Triângulo Retângulo

1. Trigonometria no Triângulo Retângulo Setembro de 2007 2ª Série - Ensino Médio Prof. Cristiano Silva dos Santos cristiano@santainesrs.com.br

2. Introdução Índice de Subida Relacionando ângulo com o Índice de subida Tangente (Ex. Resolvido 1) (Ex. Resolvido 2) Seno Co-seno (Exercício Resolvido 3) Resumo

3. Introdução Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa: Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55º > 30º)

4. Vejamos agora a seguinte situação problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas é mais íngreme? Para situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo retângulos, é que buscaremos soluções a partir de agora.

5. Índice de Subida • Para cada ponto P de uma subida, temos uma altura, um percurso e um afastamento. Ponto Altura Afastamento A 1m 2m B 2m 4m C 4m 8m C B A 4m 2m 1m Índice de Subida = Altura . = 1 Afastamento 2 2m 4m 8m

6. A razão entre altura e afastamento é sempre uma constante, no exemplo anterior era 1/2 (Índice de Subida) • Na figura abaixo, temos, por exemplo uma rampa com índice de subida igual a 2/3

7. Relacionando ângulo de subida e índice de subida • Até agora verificamos quanto uma subida é íngreme usando o ângulo de subida ou então o índice de subida A < B h1 < h2 a1 a 2 Quanto maior o ângulo de subida, mais íngreme é a subida Quanto maior o índice de subida, mais íngreme é a subida

8. Vejamos o problema Inicial: Na 1ª Rampa: índice = 3/4 = 0,75 Na 2ª Rampa: índice = 5/7 = 0,714 Portanto a 1ª Rampa é mais íngreme do que a segunda, pois 0,75 > 0,714

9. A Idéia de Tangente O índice de subida, em uma rampa, chamaremos de Tangente em um Triângulo Retângulo. Tg x = Cat.Oposto Cat. Adjacente

10. Exercício Resolvido 1 Determine o valor da tangente do ângulo “x” indicado no triângulo abaixo. É possível saber que ângulo é esse? Tg x = Cat Opos = a = Cat Adjac 2 2 = 2,82 a 62 = a2 + 22 36 - 4 = a2 a = Usando a tabela tg x = 2,82 então x = 71º

11. Exercício Resolvido 2 Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca um teodolito a 100m de sua base e obtém um ângulo de 30º, conforme ilustra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do chão, qual é a altura aproximada da torre? Tg 30º = cat.opos cat.adjac 0,58 = h h = 58 m 100 Logo: 58 + 1,70 = 59,70m Na tabela tg 30º = 0,58

12. Seno Em qualquer subida, é a razão entre a altura e o percurso, observe no triângulo retângulo sen x = Cat.Oposto Hipotenusa

13. Co-Seno Em qualquer subida, é a razão entre o afastamento e o percurso, observe no triângulo retângulo cos x = Cateto Adjacente Hipotenusa

14. Resumindo Tg x = Cat.Oposto Cat. Adjacente sen x = Cat.Oposto Hipotenusa cos x = Cateto Adjacente Hipotenusa “ SOH CAH TOA”

15. Exercício Resolvido 3 Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a horizontal. A que altura ele estará e qual a distância percorrida quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida?

16. Altura: tg 15º = CO CA Distância: cos 15º = CA H 0,966 = 2000 d 0,268 = x 2000 d = 2070,39m x = 536m

17. Bibliografia DANTE, L.R. Matemática Contexto e Aplicações. Volume único. 2ªEdição. 1ªImpressão. Ed.Ática 2004. São Paulo - SP SANTOS, C.S. dos. Trigonometria. 2003. POA-RS. PAIVA, M. Matemática. Volume Único - Ens.Médio. 1ªEdição. Moderna. 2003.São Paulo - SP. Voltar para o site