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1. Definição de obrigações Uma obrigação é qualquer certificado emitido por um tomador de recursos financeiros, indicando uma dívida a ser saldada em determinada data – ou períodos – a uma taxa de juros estipulada; Por exemplo, uma empresa transaciona 500 obrigações pelo valor de R$ 1.000,00 cada, com vencimento em dois anos e taxa de juros de 8% ao ano; Essa empresa captou R$ 500.000,00 em t0, devendo pagar R$ 40.000,00 em t12 – a título de juros – e R$ 540.000,00 em t24 – a título de juros e amortização da obrigação.

2. Avaliação de obrigações Além desse padrão, existem outros dois tipos de obrigações, classificadas de acordo com a ocorrência de pagamentos intermediários e com o valor final a ser saldado. São elas: Obrigações descontadas Puras; Obrigações com cupons uniforme; Perpetuidades (consols)

3. Avaliação de obrigações – descontadas puras A obrigação descontada pura é o tipo mais comum de obrigação que existe; Consiste em um valor de face ou valor nominal (N) e uma data de resgate ou data de vencimento (n), quando a obrigação deverá ser saldada; Não existem pagamentos intermediários, somente na data de vencimento; O valor atual de uma obrigação descontada pura pode ser calculado fazendo o desconto a uma dada taxa de juros (i) PV = N / (1+i)n

4. Avaliação de obrigações – descontadas puras Por exemplo, suponha uma obrigação cujo valor de face seja R$ 500.000,00 e vencimento em três anos; Considerando uma taxa de juros de 18% ao ano, seu valor atual poderia ser calculado por: PV = N / (1+i)n ? PV = 500000 / (1,18)3 = R$ 304.315,40 Ou seja, seu valor atual – três anos antes do vencimento previsto – a essa dada taxa de juros representa aproximadamente 60% de seu valor de face.

5. Avaliação de obrigações – cupons uniformes Obrigação de uso relativamente comum pelo Governo Federal, prevê não apenas o pagamento do valor da obrigação na data do vencimento, mas também pagamentos regulares de juros em períodos intermediários; Esses pagamentos regulares anteriores à data de vencimentos são os denominados cupons (C), cuja regularidade deve ser previamente definida; Para se calcular o valor atual de uma obrigação de cupons uniformes, deve-se fazer um ajuste à fórmula utilizada anteriormente.

6. Avaliação de obrigações – cupons uniformes Por exemplo, supondo uma obrigação de Cupom Uniforme de valor nominal N, que a cada período paga um cupom de C e data de vencimento em n períodos, conforme fluxo de recebimentos abaixo: Ou seja, temos n parcelas de valor C, referente ao cupom, e uma parcela de valor N, referente ao valor nominal da obrigação; O valor atual dessa obrigação a uma taxa de juros i será o valor nominal N descontado pelos n períodos somado aos valores do cupom C descontados período a período; Logo, teremos que PV = PV(N) + PV(C)

7. Avaliação de obrigações – cupons uniformes A determinação de PV(N) será igual a forma vista para obrigações descontadas puras; Para determinarmos PV(C), temos que utilizar a seguinte fórmula: Que pode ser simplificada por: Ou ainda, fazendo a expressão entre parênteses igual a A, teremos:

8. Avaliação de obrigações – cupons uniformes Multiplicando-se A por (1 + i), teremos: Subtraindo A de (1 + i) * A, teremos: Que se reduz a:

9. Avaliação de obrigações – cupons uniformes Ao final, somando-se os termos PV(N) com PV(C), chegamos a fórmula final para determinação do valor atual de uma obrigação de cupons uniformes: Por exemplo, suponha uma obrigação com valor nominal de R$ 1.000,00 com vencimento em quatro anos, que paga cupons semestrais de R$ 65,00. Qual será seu valor atual considerando taxa de juros de 10% ao ano com capitalização semestral?

10. Avaliação de obrigações – cupons uniformes Utilizando-se da fórmula, teremos: Ou seja, o valor atual de negociação dessa obrigação seria de R$ 1.096,95, o que representa um ágio de 9,7% sobre o seu valor de face.

11. Avaliação de obrigações – cupons uniformes Pela HP12c, podemos realizar esse cálculo pelas seguintes etapas: g end ? modo de pagamento imediato f reg ? limpa os registros anteriores da máquina 1000 CHS FV ? entra com o valor nominal da obrigação 65 CHS PMT ? entra com os valores do cupom 8 n ? entra com a quantidade de períodos 5 i ? entra com a taxa de juros no formato percentual f ? calcula o valor atual f 2 ? arredonda para duas casas decimais

12. Avaliação de obrigações – perpetuidades Uma perpetuidade é uma obrigação que gera um fluxo de renda periódico, mas que não possui uma data de vencimento, ou seja, não há o resgate de uma perpetuidade; Em geral, essas obrigações são emitidas pelo Governo visando financiar gastos públicos de soma elevada; Existem também as ações preferenciais, que dão ao titular o direito de receber dividendos sem data limite estipulada. Se considerarmos que a empresa que emitiu a ação não tem uma data de fechamento prevista, essa pode ser considerada como uma perpetuidade.

13. Avaliação de obrigações – perpetuidades O valor atual de uma perpetuidade pode ser calculado de forma similar a de uma obrigação de cupom uniforme, só que dessa vez não há uma data de vencimento; Que pode ser simplificada por: Ou ainda, fazendo a expressão entre parênteses igual a A, teremos:

14. Avaliação de obrigações – perpetuidades Multiplicando-se A por (1 + i), teremos: Subtraindo A de (1 + i) * A, teremos: Logo, substituindo A na expressão do valor atual, teremos:

15. Avaliação de obrigações – perpetuidades Exemplo: Uma perpetuidade gera um pagamento anual de R$ 120,00. Considerando que a taxa de juros vigente no mercado seja de 18% ao ano, qual será o valor presente dessa obrigação? Por meio da fórmula determinada, temos que: PV = 120 / 0,18 = R$ 666,67 O valor atual de uma perpetuidade irá variar de forma inversamente proporcional à taxa de juros, uma vez que quanto menor for a taxa, menor é o custo do dinheiro ao longo do tempo e, portanto, mais valorizada será a perpetuidade.

16. Taxa de juros e preço das obrigações Uma obrigação que realiza pagamentos periódicos (cupons) possui uma taxa de cupom, dada pela relação entre o valor deste e o valor nominal da obrigação na data do vencimento; Além disso, existe uma taxa de juros vigente no mercado, que irá determinar o valor dessa obrigação em termos de valor presente, conforme visto anteriormente A relação entre essas duas taxas irá determinar se a obrigação é negociada com ágio ou deságio em relação ao seu valor nominal.

17. Taxa de juros e preço das obrigações Por exemplo, uma obrigação de valor nominal de R$ 5.000,00 com vencimento em dois anos e taxa de cupom de 15% ao ano irá gerar o seguinte fluxo de caixa: Supondo que a taxa de juros vigente no mercado seja de 15% ao ano, o valor atual dessa obrigação será: Ou seja, o valor atual é o valor nominal da obrigação.

18. Taxa de juros e preço das obrigações Se a taxa de juros vigente mudasse para 12% ao ano, o valor da obrigação passaria para: Portanto, com a taxa de juros vigente inferior à taxa do cupom, o valor atual da obrigação está maior que seu próprio valor nominal; Dizemos assim que a obrigação pode ser negociada com um ágio em relação ao seu valor nominal.

19. Taxa de juros e preço das obrigações Porém, se por exemplo a taxa de juros vigente mudasse para 18% ao ano, o valor da obrigação passaria para: Nesse caso, com a taxa de juros vigente superior à taxa do cupom, o valor atual da obrigação fica menor que seu próprio valor nominal; Dizemos assim que a obrigação pode ser negociada com um deságio em relação ao seu valor nominal, em decorrência do mercado financeiro estar remunerando melhor o capital.

20. Valor presente de ações ordinárias Da mesma forma que podemos avaliar o valor presente de obrigações, também é possível avaliarmos o valor presente de ações ordinárias emitidas pelas empresas, com base em uma taxa de desconto (r) e no valor esperado dos dividendos a serem recebidos. Essa taxa de desconto utilizada está vinculada com o risco associado à ação ordinária: Se a ação não oferece risco, a taxa de desconto será igual a taxa de juros (i) vigente; Se a ação oferece risco, a taxa de desconto será maior que a taxa de juros vigente, de forma que quanto maior o risco, maior a diferença.

21. Valor presente de ações ordinárias Voltando a questão, podemos pensar que o valor presente de uma ação ordinária (PV) será dado pelo valor descontado de seus dividendo no final do próximo período mais o valor da ação no final desse mesmo período pela taxa de desconto (r); Outra forma seria pensarmos no valor presente da ação ordinária como o valor descontado de todo o fluxo de dividendos futuros pela taxa de desconto (r); Ambos as análises serão equivalentes em termos matemáticos, resultando na mesma fórmula.

22. Valor presente de ações ordinárias Vamos verificar a equivalência entre essas duas análises matemáticas; Considerando o valor atual da ação pelo seu dividendo e preço no próximo período descontados, teremos: Onde Div1 é o valor do dividendo e P1 é o valor da ação no período seguinte; Contudo, o comprador da ação no período 1 faz uma avaliação do preço com base no período 2.

23. Valor presente de ações ordinárias Nessa avaliação, ele toma o valor atual da ação pelo dividendo e preço no período 2 descontados pela taxa de desconto; Ou seja, o valor do preço da ação no período 1 pode ser avaliado por Substituindo o valor de P1 na fórmula anterior teremos:

24. Valor presente de ações ordinárias O preço da ação no período 2 segue o mesmo processo visto anteriormente, considerando o preço e o dividendo da ação no período 3; Ou seja, o valor do preço da ação no período 2 pode ser avaliado por Substituindo o valor de P2 na fórmula anterior teremos:

25. Valor presente de ações ordinárias Ou seja, o valor presente de uma ação ordinária vai se resumindo à soma dos valores de seus dividendos descontados pela taxa de desconto, mais o valor do preço no último período, também descontado; Essa última parcela vai tendendo a zero a medida em que se avança no tempo, e assim podemos reescrever a equação para um horizonte de tempo infinito como:

26. Valor presente de ações ordinárias Esse resultado ratifica o que havia sido afirmado anteriormente, ou seja o valor atual de uma ação ordinária pode ser determinado: pela soma dos valores de todos os seus dividendos descontados pela taxa de desconto; ou pela soma do dividendo e de seu preço no período seguinte, descontada pela taxa de desconto;

27. Avaliação por tipos de ações O valor dos dividendos da ação ao longo do tempo determinarão seu valor atual, a uma taxa de desconto (r); Esses dividendos podem apresentar três tipos de comportamento diferentes, de acordo com a situação da empresa e crescimento esperado: Valor dos dividendos constante ao longo do tempo; Valor dos dividendos crescem a uma taxa (g) constante ao longo do tempo; Valor dos dividendos cresce a uma taxa variável (gj) ao longo do tempo. Se os dividendos de uma ação decrescem no tempo, ninguém irá querer negociá-las ? não há liquidez.

28. Avaliação por tipos de ações No caso de ações com crescimento nulo (g = 0), o valor dos dividendos ao longo do tempo não se altera, de forma que Div1 = Div2 = Div3 = ... = Div A ação passa a ter o mesmo comportamento de uma perpetuidade, que paga um valor fixo periodicamente. Substituindo o valor do dividendo na equação teremos: Portanto, o valor presente de uma ação ordinária com dividendo constante será a razão entre o valor do dividendo e a taxa de desconto considerada.

29. Avaliação por tipos de ações No caso de ações com crescimento constante (g ? (0;?]), o valor do dividendo do período 2 será determinado pelo valor do dividendo no período 1 de acordo com a relação: Já o valor do dividendo no período 3 será determinado pelo valor do dividendo no período 2 seguindo: Substituindo o valor do dividendo do período 2 calculado anteriormente, teremos:

30. Avaliação por tipos de ações Recursivamente, podemos estabelecer a relação entre o dividendo de um período e do período inicial por: Pela determinação do valor atual da ação, temos: Substituindo os valores dos dividendos:

31. Avaliação por tipos de ações Simplificando a equação: De A, multiplicando pelo inverso dos fatores das taxas: Subtraindo de A:

32. Avaliação por tipos de ações Eliminando-se os termos e simplificando a equação: Substituindo A na equação: Ou seja, o para o cálculo do valor atual da ação cujos dividendos tem uma taxa constante de crescimento, devemos utilizar a diferença entre a taxa de desconto e a taxa de crescimento. Quanto menor a diferença, maior o valor da ação.

33. Avaliação por tipos de ações No caso de ações com crescimento variável (g = gj), a determinação do valor atual da ação por meio de uma fórmula fica demasiadamente complexa, principalmente quando existem mais de duas variações no período, devendo ser calculada termo a termo. No caso de duas variações de g, podemos determinar o valor atual da ação pela seguinte fórmula:

34. Estimativa da taxa g Para se avaliar o valor atual de uma ação ordinária, devemos então discutir uma forma de se estimar o valor da taxa de crescimento dos dividendos (g); O crescimento dos dividendos está ligado ao aumento da lucratividade da empresa, uma vez que os dividendos correspondem à distribuição dos lucros realizados que não foram retidos; Pensando inicialmente em uma empresa cujo lucro do ano corrente seja igual ao lucro obtido no ano anterior, não é incorreto imaginarmos que o investimento líquido da empresa tenha sido igual a zero.

35. Estimativa da taxa g O respaldo dessa afirmativa está no fato de que o investimento líquido é igual ao investimento bruto (total) menos a depreciação; Portanto, um investimento líquido corresponde a um investimento igual ao valor da depreciação, ou seja, o mínimo para manter a empresa funcionando na mesma situação anterior; Logo, se a empresa não se expandiu (e nem se encolheu), a idéia da manutenção do lucro é coerente, o que leva a uma taxa de crescimento igual a zero.

36. Estimativa da taxa g A idéia do crescimento da lucratividade de uma empresa é, portanto, compatível com a idéia de investimento líquido positivo; Para termos um investimento líquido positivo, é de se esperar que parte do lucro foi retido, ou seja, não foi distribuído; Podemos então estabelecer a seguinte relação:

37. Estimativa da taxa g Colocando todos os membros da equação em relação ao lucro no ano corrente, chegamos a seguinte igualdade: Definindo a razão entre lucro no próximo ano e o lucro no ano corrente como o fator de crescimento da lucratividade da empresa (ou seja, igual a 1 + g) e a razão entre o lucro retido no ano corrente e o lucro no ano corrente como o índice de retenção, teremos: 1 + g = 1 + (índice de retenção) * (retorno sobre lucro retido)

38. Estimativa da taxa g Conseqüentemente, o valor de g será dado pelo produto entre o índice de retenção da empresa e o retorno sobre o lucro retido; Contudo, é difícil para quem está de fora da Administração da empresa saber qual é o retorno sobre o lucro retido desta; Para estimar esse valor, pode-se utilizar o Retorno sobre o Capital Próprio ou o Retorno sobre os Ativos, conforme visto entre os índices de rentabilidade na Análise Financeira.

39. Estimativa da taxa g Por exemplo, uma empresa planeja reter 60% do lucro realizado para viabilizar novos investimentos. A taxa de Retorno sobre seu Capital Próprio tem se mantido em torno de 25% nos últimos anos; De acordo com a formalização para a taxa g, para essa empresa estimamos ter: Ou seja, um crescimento esperado de 3% sobre os dividendos.

40. Estimativa da taxa r Outra variável a ser estimada é a taxa de desconto r, utilizada para avaliar o valor atual de uma ação; Como foi visto inicialmente, o valor atual de uma ação com taxa de crescimento de seus dividendos constantes e igual a g pode ser representado por: Logo, com algumas operações matemáticas, podemos isolar a taxa r e assim chegamos a seguinte expressão:

41. Estimativa da taxa r Importante lembrar que essa medida é apenas uma estimativa, assim como a taxa de crescimento g também foi estimada; Logo, deve-se utilizar esses parâmetros com cautela, evitando pensar sobre eles como indicadores de longo prazo, mas apenas de curto prazo para estimativas quanto ao valor atual das ações.