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C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築

C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築. 今回発表. 杉原 厚吉 ( 東京大学 ): 班代表 室田 一雄 ( 東京大学 ) 今井 　浩 ( 東京大学 ) 松井 知己 ( 中央大学 ) 岩田 　覚 ( 京都大学 ) 大石 泰章 ( 南山大学 ) 寒野 善博 ( 東京大学 ) 西田 徹志 ( 東京大学 ) 今堀 慎治 ( 東京大学 ). 担当分野： 量子情報科学での連続と離散によるロバストアルゴリズム構築. 研究遂行者

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C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築

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Presentation Transcript

  1. C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築 今回発表 杉原 厚吉 (東京大学): 班代表 室田 一雄 (東京大学) 今井 　浩 (東京大学) 松井 知己 (中央大学) 岩田 　覚 (京都大学) 大石 泰章 (南山大学) 寒野 善博 (東京大学) 西田 徹志 (東京大学) 今堀 慎治 (東京大学)

  2. 担当分野：量子情報科学での連続と離散によるロバストアルゴリズム構築担当分野：量子情報科学での連続と離散によるロバストアルゴリズム構築 • 研究遂行者 • 今井浩(東大情報理工/ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構; JST ERATO-SORST量子情報システムアーキテクチャ) • 研究協力者 • 森山園子(東大コンピュータ科学助教) • 尾張正樹(東大ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構特任助教) • David Avis (McGill University) • 伊藤剛志(国立情報学研究所特任研究員) • 中山裕貴(慶應義塾大学JSPS特別研究員) 2007年3月まで

  3. 成果と展望 • 成果 • 量子非局所性に関する一連の研究成果 • カット凸多面体, 半定値計画との邂逅 • 有向マトロイド実現可能性判定 • 多項式計画の変現，半定値計画の適用 • 展望 • 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ • 量子情報と対話証明・近似可能性 • 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture • Grassmann-Plücker関係式を通した両テーマの融合

  4. A, B (1,1,1) B (0,1,0) ∅ (1,0,0) A Correlation between 2 Events A,B Cut Polytope Correlation Polytope also known as Boolean Quadratic Polytope

  5. Correlation polytope ⇔ Cut polytope covariance mapping suspension

  6. Correlation of a bipartite system of

  7. Correlation polytope ⇔ Cut polytope covariance mapping このFacet: Bell不等式 (CHSH不等式) suspension

  8. entanglement instantly measure (local) state change faster than light EPR paradox and Bell inequalities • Einstein, Podolsky, Rosen (1935) • quantum entanglement vs. relativity theory • Bell inequality (1964) • Entanglement/Nonlocalit⇒violation • CHSH inequality (Clauser, Horne, Shimony, Holt 1969) • applicable to a bipartite system • Aspect et al. (1982) • Experimental verification of violation of CHSH inequality • Tsirelson (1980): max. violation value量子情報処理の力の源(の1つ)!!

  9. A 2-Prover 1-Round Interactive Proof System[Feige, Lovasz 1992] 2 Provers Alice Bob • 事前戦略：回答を協力して練ってよい • 質問開始後：通信不可(no-signaling) 事前戦略 古典：shared randomness 量子：entanglement 2つの質問の内の 1つをランダムに聞く Victor (Verifier)

  10. [Tsirelson 1993] Geometrical of 3 convex sets of behaviors Set of all (no-signaling) behaviors 4 Convex polytope by definition ⊆ set Q 〈A1B1〉+〈A1B2〉+〈A2B1〉-〈A2B2〉 ≤ 2 Set of quantum behaviors Convex set [Tsirelson 1993] ⊆ Bell inequalities Set of classical behaviors (Dimension=8 for m=n=2; Dim=mn+m+n in general) Convex polytope [Froissart 1981] (correlation polytope)

  11. bridge X A1 B1 A2 B2 m n ・・・ ・・・ Am Bn Quantum information Combinatorial optimization Represented by expectation values Rooted semimetric polytopeRMet(∇Km,n)[Padberg 1989] [M.Deza, Laurent 1997] ＝ Set of all behaviors ⊆ ⊇ ⊆ Elliptope E(∇Km,n)[Goemans, Williamson 1995][Laurent, Poljak 1995] Set of quantum behaviorsQ=QCut(m,n) ⊆ Projection π π Linearrelaxation ＝ Set of quantumcorrelation functions Elliptope E(Km,n) Semidefiniterelaxation ⊆ [Tsirelson 1980] ∇ Km,n ⊆ ⊆ [Avis, Imai, Ito, Sasaki 2005] Cut polytope Cut(∇Km,n)[M.Deza 1960] [Barahona 1983] ＝ Set of classical behaviors

  12. Ourresults Quantum information Combinatorial optimization Represented by expectation values Rooted semimetric polytope RMet(∇Km,n) ＝ Set of all behaviors ⊆ ⊆ Set of quantum behaviorsQCut(m,n) E ∩ ⊆ (∇Km,n) RMet(∇Km,n) π Projection π Set of quantumcorrelation functions ⊆ ＝ ⊆ Elliptope E(Km,n) [Tsirelson 1980] ＝ Cut polytope Cut(∇Km,n) Set of classical behaviors [Avis, Imai, Ito, Sasaki 2005]

  13. 量子非局所性関係発表論文 • David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito, Yuuya Sasaki: Two-party Bell inequalities derived from combinatorics via triangular elimination.Journal of Physics A: Mathematical and General 38(50):10971-10987, Dec. 2005. • Tsuyoshi Ito, Hiroshi Imai, David Avis: Bell inequalities stronger than the Clauser-Horne-Shimony-Holt inequality for three-level isotropic states.Physical Review A 73, 042109, Apr. 2006. • David Avis, Hiroshi Imai and Tsuyoshi Ito: Generating facets for the cut polytope of a graph by triangular elimination.Mathematical Programming, published online Aug. 2006. • David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito: On the relationship between convex bodies related to correlation experiments with dichotomic observables.Journal of Physics A: Mathematical and General 39(36):11283-11299, Sept. 2006. • David Avis, Tsuyoshi Ito: New Classes of Facets of Cut Polytope and Tightness of Imm22 Bell Inequalities. arXiv: math.CO/0505143, 2005; Discrete Applied Mathematics, to appear.

  14. 有向マトロイド(chirotope版)の定義 ランクr、要素数nの有向マトロイド χ： 写像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が公理を満たすもの ex. ベクトル集合から得られる有向マトロイド(r=3, n=6) y v5 z v6 v2 v3 v4 v1 x これが有向マトロイドとなる 一方、有向マトロイドχに対応するベクトル配置は 基底 とおき、制約集合 の実行可能解となる（POPとして解く）

  15. カイロトープが満たすべき性質（公理による定義）カイロトープが満たすべき性質（公理による定義） 以下を満たす　　　　　　　　　　　　　　　　　はすべて、かつそれのみが有向マトロイド カイロトープの公理： (B0) (B1) は交代性をみたす、つまり (B2) 3項Grassmann-Plücker多項式の符号への抽象化： 3項Grassmann-Plückerの 恒等式（各vはベクトル）

  16. 有向マトロイド実現可能性判定を多項式計画で有向マトロイド実現可能性判定を多項式計画で Input: oriented matroid base (ex. r = 3, n = 9) set vector configuration each index corresponds to constraints: POP P(χ): OM χ: is realizable is feasible Universality theorem [Mnëv ’88] 実は逆も多項式時間で可能!

  17. 半定値計画による実現不可能性検証[Miyata, Moriyama, Imai (2007)] 目標：既存手法より強力な実現不可能性判定法を作りたい。 ⇒強力なBFP (Biquadratic Final Polynomial)に着目。 BFP:　 　　恒等式を線形計画問題緩和 　　　　　して、制約を作り、解を持たないことを示す。 本研究： 条件緩和により、実現不可能性判定の計算困難さを克服する。 　　　　　　　　　　　　恒等式を半正定値計画問題緩和して、制約を作り、解を持たないことを示す。 半正定値計画問題は線形計画問題より、詳細な条件を記述できる

  18. 有向マトロイド関係発表論文 • Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Yoshio Okamoto: The Holt-Klee condition for oriented matroids. European Journal of Combinatorics, almost accepted. • Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Hiroki Nakayama: Every non-Euclidean oriented matroid admits a biquadratic final polynomial, submitted. • Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Realizations of non-uniform oriented matroids using generalized mutation graphs, to be submitted. • Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Three characteristic rank-4 oriented matroids, submitted. • Yoshitake Matsumoto, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Enumeration of Matroids by Reverse Search and Its Applications, KyotoCGGT, 2007.. • Hiroyuki Miyata, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Determining the non-realizability of oriented matroids by semidefinite programming, KyotoCGGT, 2007.

  19. 成果と展望(再掲) • 成果 • 量子非局所性に関する一連の研究成果 • カット凸多面体, 半定値計画との邂逅 • 有向マトロイド実現可能性判定 • 多項式計画の変現，半定値計画の適用 • 展望 • 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ • 量子情報と対話証明・近似可能性 • 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture • Grassmann-Plücker関係式を通した両テーマの融合

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