初中阶段统计与概率的设计

1. 初中阶段统计与概率的设计 华东师大数学系 李俊 lijun@math.ecnu.edu.cn

2. 为什么提升统计与概率的地位 • 现实社会中大量存在的是不确定现象 • 当今社会媒体正在增加使用相应的语言与内容 • 许多不确定现象无法用形式逻辑推理解决 • 对不确定现象的直觉常常不可靠 • 培养正确的直觉需要反复观察不确定现象

3. 概率统计教学现状 • 1970年代后期，要求在中学引进概率统计并连续贯穿于以后教学的呼声才日益高涨起来 • 在世界范围内都是一个进入中小学不久，正受到越来越多重视的课程内容 • 已经召开了五次国际统计学教学大会

4. 概率统计教学现状 • 虽然在一些国家概率统计进入学校已经有些年了，但是往往都还没有成为数学教学的主要分支 • 大学里的概率统计课程不是完全形式化的就是处方式的，教学效果非常有限 • 虽然要教要学已经成为共识，但是，有关课程、学习心理、教学和评价等方面的研究以及教师培训、教学材料的开发等都还留有许多空白

5. 不确定现象有规律可循吗? • 抛掷两枚硬币， “得到两个正面”，它在每次实验中发生的机会是多少？ • 三个筹码,第一个一面是X另一面是O,第二个一面O另一面#,第三个一面#另一面X游戏规则: 掷出的三个筹码中有一对的(如XX,OO,##),甲方赢;否则,乙方赢.问游戏是否公平？

6. 某班四十位同学每人10次实验中成功掷出 “两个正面”的次数

7. 该班同学共计400次实验中成功掷出 “两个正面”的频率 成功率 实验次数

8. 某班五十个小组每组进行16次游戏中乙赢的次数某班五十个小组每组进行16次游戏中乙赢的次数

9. 该班五十个小组共计800次游戏中乙赢的频率

10. 通过特殊能够了解一般吗？ 某小组有10位学生，考试分数如下： 84，85，73，62，90，75，80，79，92，85 可求得其平均数为80.5，方差为8.86 如果从中随机地选取两位学生求其平均数，则共有45种取法

11. 通过特殊能够了解一般吗？ 一城市有1千万选民，一位很有实力的竞选人想知道她在竞选中得票率能否超过50％，她的助手们为她作了随机抽样调查。为了简化这个问题，我们假设抽样完全是随机的，每个选民都已经决定是选她还是不选她，而且这个决定不再更改。假设她的实际支持率为60％,则当调查1人、3人、5人、9人、50人时,各有多大的可能性能够“正确地”反映她的得票率高于50％？

12. 调查1、3、5、9人可能得到的支持率和其出现的理论概率调查1、3、5、9人可能得到的支持率和其出现的理论概率

13. 调查50人可能得到的支持率和其出现的理论概率调查50人可能得到的支持率和其出现的理论概率

14. 初中统计与概率的总目标 • 体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想 • 进一步学习描述数据的方法 • 进一步体会概率的意义,能计算简单事件发生的概率

15. 初中统计的具体目标 • 从事数据的收集、整理、描述和分析，能用计算器处理较为复杂的数据 • 感受抽样的必要性，区分总体、个体和样本，体会抽样结果的随机性，用样本估计总体的平均数与方差 • 扇形统计图、加权平均数、极差、方差、频数分布图 • 提问题－－查资料－－调查研究－－分析数据－－判断预测－－交流看法

16. 初中概率的具体目标 • 了解概率的意义，丰富对概率的认识 • 频率、列表、画树状图 • 能用公式计算一些简单事件的概率 • 会用一事件在反复试验中发生的频率来近似描述该事件发生的概率

17. 实验教材对初中统计与概率的设计 • 通过实例，体会数据在解决问题中的作用，养成用数据说理的新习惯 • 经常从问题出发，收集、整理、描述和分析数据，结合理性分析，得出猜想或结论 • 以统一的数值的方式处理统计和概率，重视利用计算器和计算机 • 螺旋安排，重在理解

18. 什么是用数值/实验的方法处理概率 • 拼图片问题： • 三张大小一样印有不同图案的纸片被剪成六张，充分混合以打乱次序，然后闭上眼睛随便抽出两张拼在一起，问能够拼成一张原图的可能性。 实验的方法 理论的方法 全班讨论--分头实验，记录数据 --小组汇总数据--全班汇总数据 --全班讨论 全班实验中一共成功的次数/全班一共实验的次数1/5

19. 什么是用数值/实验的方法处理概率 • 生日问题： • 45个人中至少有两人生于同月同日的概率是多大？ 实验的方法 理论的方法 • 模拟 • 全班讨论--分头实验，记录数据 • --小组汇总数据--全班汇总数据 • --全班讨论 全班实验中一共成功的次数/全班一共实验的次数？

20. 什么是概率 除了概率的公理化定义以外，概率通常有三种定义的途径： • 古典的，理论的－－古典概率公式 • 频率的，经验的－－无限次或接近无限次试验得到的频率 • 主观的，直觉的－－新收集到的信息调整主观的估计 各有各的优势和适用的场合，不分优劣

21. 螺旋安排，重在理解 以平均数为例 七年级（上）：读一读中有利用数据都与某数接近的特点，巧算平均数 七年级（下）：平均数的选用与误用 八年级（下）：用样本的平均数估计总体的平均数 重视图示，加强对其性质的讨论，加深理解 一组数据中每个数与平均数的差相加是零、数据变动对三个指标的影响、三个指标是否一定出现在原始数据中，是否一定有现实意义等

22. 初中统计与概率的教学设计 • 希望教与学的形式能够 • 让学生的兴趣在了解探究任务中产生 • 让学生的思考在分析真实数据中形成 • 让学生的理解在集体讨论中加深，尤其是对一些错误观念的讨论、辨析

23. 题目 学校里有200个女同学，1000个男同学，学校里每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀。如果校长闭上眼睛随便从盒中取出1张纸条，那么下面哪个说法是正确的？ a) 抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大 b) 抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小 c) 抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大 d) 无法比较这两种可能性的大小

24. 机会不可度量的例子 因为这张纸条可以是男同学的名字也可以是女同学的名字。当抽出一个女同学的名字的时候，说明抽出一个女同学的可能性大。 当抽出一个男同学的名字的时候，又说明抽出一个男同学的可能性大，所以我认为无法比较这两种可能性的大小。

25. 机会不可度量 有三种理由: • 机会就是运气 • 机会每次在变 • 说某件事情发生的可能性大就意味着预言它肯定会发生

26. 机会不可度量 有些会算概率的12年级学生陈述了另外两个理由: • 概率只对许多次试验有意义 • 我不相信概率

27. 题目 学校里有400个女同学，440个男同学，学校里继续抽签。如果校长闭上眼睛随便从盒中取出70张纸条，是35个女同学和35个男同学。他把这70张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第71张纸条，那么下面哪个说法是正确的？ a)这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大 b)这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小 c)这次抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大 d)无法比较这两种可能性的大小

28. 机会均等的例子 可能性一样大。第一次抽出70张纸条后，盒子里还剩 770 张纸条，365 张女同学的 405 张男同学的名字。女同学的概率是 47%，男同学的是53%. 也就是说，如果抽 100 次, 那么 47 次会是女同学的名字，53 次会是男同学的名字。两者的区别不大，如果你只抽一次的话，那么男同学和女同学机会应该是一样的。

29. 机会均等 假设每次试验可能有n个结果，机会均等的想法可以分为以下三种情况： 每个结果有50% 的机会 1 每个结果有25% 的机会 2 3 两个在理论上可能性差不多 的结果在实际中可能性是相 等的，都是50%

30. 对七年级（下）一些内容的说明 • 重在区分普查和抽样调查，体会抽样调查的必要性以及选取有代表性的样本的重要性，淡化总体与总体属性的区别 • 对平均数、中位数和众数，不停留于计算，要进一步在如何选用和具有的性质上加深理解 • 用计算器计算平均数一般只能限于50个数据，用计算机则无此限制，且计算机的排序功能很好。但用计算机求众数时，若有多于一个众数的话，计算机只给出第一个众数

31. 对七年级（下）一些内容的说明 • 第102页的做一做“估计绳子的长度”，最后的估计值如何选取是开放的，与学生给出的估计值有关，教师在全班讨论时可顺势引导学生思考三个指标的选取问题 • 第108页的问题“跳绳成绩比较”也是开放的，哪怕是对立的看法只要有恰当的理由支持，都可以接受 • 对简单问题可组织学生从理论上分析为什么频率会稳定于那个值

32. 让学生的学习在合作探究活动中进行，帮助学生理解。让学生的学习在合作探究活动中进行，帮助学生理解。 • 学习思想和方法，而不是计算。