το φαινόμενο

1. το φαινόμενο ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

2. η Φυσική είναι ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ, ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ, ΕΝΝΟΙΕΣ, ΝΟΜΟΙ

3. εκκρεμές, ένα βαρίδι δεμένο σε ελατήριο ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ, ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, ΘΕΣΗ, ΤΑΧΥΤΗΤΑ, ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ, ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ, ΔΥΝΑΜΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΕΝΝΟΙΕΣ ΝΟΜΟΙ ο Δεύτερος Νόμος της Κίνησης η Διατήρηση της ενέργειας

5. Το «ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ» το καταλαβαίνω γιατί το κινούμενο αντικείμενο πηγαινοέρχεται. Αλλά ΑΡΜΟΝΙΚΗ; Γιατί τη λένε « αρμονική » ; τώρα που το παρακολουθώ κάτι καταλαβαίνω αλλά . . Τι αρμονικό έχει ; Αν κρεμάσεις ένα σφαιρίδιο από το άκρο κατακόρυφου ελατηρίου , το ενεργοποιήσεις και παρακολουθήσεις την κίνησή του ίσως αφουγκραστείς την εσωτερική αρμονία της κίνησης

6. η ωραιότερη καμπύλη του Κόσμου

7. Αν θέλεις περισσότερα θα χρειαστεί να «πείσουμε» την κίνηση να μας δείξει το ξετύλιγμά της μέσα στο χρόνο . Αν στην άκρη σφαιριδίου βρίσκεται η μύτη ενός μαρκαδόρου και δίπλα του υπάρχει ένα λευκό χαρτί, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης θα αφήνει στο ακίνητο χαρτί μία ίσια γραμμή η οποία αποτελεί, βέβαια, μία πληροφορία για την κίνηση, χωρίς όμως να φανερώνει τίποτα για την ιδιαιτερότητα της εξέλιξής της. Εάν, όμως, κάποιος αρχίσει να μετακινεί το χαρτί με σταθερή ταχύτητα, κάθετα στη διεύθυνση της τροχιάς, (σε μια διαδικασία σαν εκείνη του σεισμογράφου) η εικόνα που θα προκύψει μας αποκαλύπτει την εξέλιξη της κίνησης μέσα στον χρόνο. Αντικρίζοντας τη γραμμή που εμφανίζεται μπροστά μας νιώθουμε έτοιμοι να αναφωνήσουμε η ωραιότερη καμπύλη του κόσμου

8. Και αυτό δεν είναι η τελευταία λέξη των φυσικών Ο Ισαάκ Νεύτων μας έπεισε ότι όλων των ειδών οι κινήσεις υπακούουν στους ίδιους νόμους. Εάν υιοθετήσουμε την πρακτική του, θεωρήσουμε δηλαδή το σφαιρίδιο ΥΛΙΚΌ ΣΗΜΕΙΟ και εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο της κίνησης καταλήγουμε σε μια εξίσωση. Αν λύσουμε την εξίσωση με τη βοήθεια των μαθηματικών, φθάνουμε στο συμπέρασμα ότι, η θέση του κινουμένου σώματος είναι μία ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. x = Aημωt Αν κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής θα εμφανιστεί μπροστά μας η εικόνα της αρμονικής καμπύλης, ίδια με εκείνη στην οποία είχαμε οδηγηθεί μέσα από τους δρόμους της έμπρακτης δραστηριότητας. Οι μαθηματικοί, δηλαδή, μας λένε ότι αρμονικό είναι το ημιτονοειδές

9. Όσο για τους φυσικούς, αυτοί μας καλούν να θυμηθούμε την απόλαυση που προσφέρει η μουσική και μας μιλούν για το μεγάλο «μυστικό» το οποίο έφερε στο φως η συνεργασία τους με τους μαθηματικούς τον 19ου αιώνα. κάθε μουσικός ήχος παράγεται από μία δόνηση η οποία είναι δυνατόν να αναλυθεί σε αρμονικές, δηλαδή ημιτονοειδείς, ταλαντώσεις Με άλλα λόγια η ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΉΣ ταλάντωση είναι το δομικό στοιχείο κάθε μουσικού ήχου της αξίζει λοιπόν να την αποκαλούμε ΑΡΜΟΝΙΚΗ αυτό πολύ μου άρεσε

11. η ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ του φαινόμενου

12. Οι ΕΝΝΟΙΕΣ για την περιγραφή Εφόσον το φαινόμενο είναι ΚΙΝΗΣΗ υλικού σημείου οι έννοιες που χρειαζόμαστε για την περιγραφή του είναι η ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ ( για τον προσδιορισμό της οποίας χρειαζόμαστε τις έννοιες ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ και ΧΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ) η ΤΡΟΧΙΑ, το ΧΩΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ και τα διανυσματικά μεγέθη ΘΕΣΗ, ΤΑΧΥΤΗΤΑ και ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Εφόσον είναι ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ μπορούμε να χρησιμοποιούμε ένα κατάλληλο ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ, έτσι ώστε ή ευθεία του άξονα x να μην είναι μία τυχαία ευθεία αλλά να συμπίπτει με την τροχιά. Με αυτή την προϋπόθεση τα διανύσματα ΘΕΣΗ, ΤΑΧΥΤΗΤΑ και ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ θα βρίσκονται στον άξονα και μπορούμε να τα προσδιορίζουμε μόνο με τις αλγεβρικές τιμές τους. Ο Εφόσον είναι ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ, παλινδρομική δηλαδή κίνηση που λαμβάνει χώρα εκατέρωθεν μιας θέσης ( την συμβολίζουμε με 0) , μπορούμε να τοποθετήσουμε έτσι τον άξονα x ώστε η αρχή των αξόνων να βρίσκεται σε αυτή τη θέση. Εφόσον, τέλος, είναι ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ περιγράφεται και με τις έννοιες ΠΕΡΙΟΔΟΣ και ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ.

13. ΠΕΡΙΟΔΟΣ , Τ , είναι το « πόσα δευτερόλεπτα για κάθε παλινδρόμηση » ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, f , είναι το «πόσες παλινδρομήσεις σε κάθε δευτερόλεπτο» x > 0 T= 2,8 s 0 x = 0 f = 0,36 Hz x < 0 T = 2,2 s f = 0,45 Hz 0 T= 4,6 s f = 0,22 Hz

14. Τ= 1, 8 s f = 0,56 Hz

15. T= 1,6 s f= 0,625 Hz

16. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της περιγραφής Η Γεωμετρία της περιγραφής περιλαμβάνει Τον άξονα x, η ευθεία του οποίου συμπίπτει με την ευθεία της τροχιάς το ευθύγραμμο τμήμα της ΑΑ΄ στο οποίο «περιορίζεται» η κίνηση Τρία από τα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ αυτά ΣΗΜΕΙΑ αυτού του τμήματος παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον θέση A Ο A΄ x Τα δύο από αυτά είναι τα άκρα Α και Α΄ του τμήματος στο οποίο περιορίζεται η απλή αρμονική ταλάντωση. Η ιδιαιτερότητά τους έγκειται στο ότι όταν το κινούμενο σώμα βρεθεί στα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ αυτά ΣΗΜΕΙΑ, η ταχύτητά του είναι βέβαια αυτονόητα μηδενική αλλά η επιτάχυνση έχει τη μεγαλύτερη κατά μέτρο τιμή της. Ακόμα μεγαλύτερο ενδιαφέρον εμφανίζει το μέσον του ΑΑ΄ το λεγόμενο και ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ, στο οποίο, για λόγους απλούστευσης, τοποθετούμε και την Αρχή των αξόνων, και κατά συνέπεια από το σημείο αυτό μετράμε τη θέση ( απομάκρυνση ) x.

17. τα τρία ερωτήματα και οι τρεις συναρτήσεις

18. Μια ορισμένη χρονική στιγμή της εξέλιξης του φαινομένου – όποια θέλουμε- την επιλέγουμε ως ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ. Από κει και πέρα « ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ » σημαίνει « να απαντήσουμε σε τρία βασικά ερωτήματα » α. που θα βρίσκεται ο αρμονικός ταλαντωτής σε κάθε στιγμή στο μέλλον ; β. ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του ( η ταχύτητά του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον; γ. ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του ( η επιτάχυνσή του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον ;

19. Εάν επιλέξουμε ως ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ μία χρονική στιγμή κατά την οποία ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενος προς τα θετικά του άξονα Ο ταχύτητα x η απάντηση στο πρώτο ερώτημα δίνεται με τη συνάρτηση x = Aημωt Το σύμβολο xπαριστάνει την αλγεβρική τιμή της θέσης ( απομάκρυνσης ) του ταλαντωτή Η αλγεβρική τιμή κάθε διανυσματικού μεγέθους είναι το μέτρο του με πρόσημο καθοριζόμενο από τη φορά του αντίστοιχου διανύσματος σε σχέση με συμφωνημένο άξονα

20. x= 0 ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ τυχαία ΘΕΣΗ διάνυσμα θέσης x > 0

21. x x = Aημωt πλάτος,A t x = Aημ(2πt/Τ) περίοδος Το σύμβολο Α είναι θετική ποσότητα και παριστάνει τη μέγιστη τιμή του x . Λέγεται ΠΛΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Το σύμβολο ω είναι συντομογραφία του γινομένου του αριθμού 2π επί τη συχνότητα της ταλάντωσης ω = 2πfοπότε και ω = 2π/Τ . Το γινόμενο 2πf λέγεται γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα

22. Οι απαντήσεις στα δύο άλλα ερωτήματα, για την ταχύτητα και την επιτάχυνση, δίνονται με τις συναρτήσεις υ = ωΑσυνωt και a =-ω2Αημωt Τόσο η ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι ως αρχή των χρόνων επιλέξαμε χρονική στιγμή με x = 0 και υ > 0 Τα σύμβολα υ και α παριστάνουν τις ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ των διανυσματικών μεγεθών ταχύτητα και επιτάχυνση.

23. θέση x= Aημωt ταχύτητα υ = ωAσυνωt επιτάχυνση α = - ω2Aημωt χρόνος

25. κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια

26. Από τις x= Aημωt και α = - ω2Aημωt απορρέει η συνάρτηση επιτάχυνσης και θέσης α = - ω2x

27. τι σημαίνει το πρόσημο πλην (–) στη συνάρτηση α = -ω2x επιτάχυνσης θέσης; περιγράφει το ότι σε κάθε χρονική στιγμή η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης έχει αντίθετο πρόσημο από την αλγεβρική τιμή της θέσης αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση θα είναι πάντοτε επιβραδύνουσα ; ΟΧΙ . . ΟΧΙ . . σημαίνει ότι τα διανύσματα επιτάχυνσης και θέσης έχουν πάντοτε αντίθετες κατευθύνσεις Αν δηλαδή είναι x > 0 θα είναι οπωσδήποτε α < 0 και αντίστροφα ; Ακριβώς . . Και εφόσον το διάνυσμα θέση κατευθύνεται εξ ορισμού από το γεωμετρικό σημείο Ο - θέση ισορροπίας- προς το σημείο που βρίσκεται ο ταλαντωτής, το διάνυσμα της επιτάχυνσης θα ΚΟΙΤΑΖΕΙ ΠΑΝΤΟΤΕ προς τη θέση ισορροπίας και όταν η επιτάχυνση είναι αρνητική ; Το θετικό ή αρνητικό πρόσημο σχετίζεται με το «πώς έχουμε προσανατολίσει» τον άξονα x . Αν ο άξονας x είναι οριζόντιος καιέχει τα θετικά προς τα δεξιά, α < 0 σημαίνει ότι η κατεύθυνση της επιτάχυνσης θα είναι προς τα αριστερά και τι γίνεται με το πρόσημο της ταχύτητας ; Αυτό καθορίζεται μόνο από το «προς τα που κινείται» σε σχέση με τον προσανατολισμό του άξονα

28. Σε σε μια τυχαία στιγμή της κίνησης η ταχύτητα η επιτάχυνση η θέση ( απομάκρυνση ) και αν κατά τη στιγμή εκείνη κινείται προς τα δεξιά

29. άξονας x ο ταλαντωτής στη ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ x = 0 α = 0 υ > 0 x > 0 α < 0 υ > 0 Θέση ( απομάκρυνση) ταχύτητα x > 0 α < 0 επιτάχυνση υ > 0 ο ταλαντωτής στο άκρο της ταλάντωσης x > 0 α < 0 υ = 0 x > 0 α < 0 υ < 0 x > 0 α < 0 υ < 0 ο ταλαντωτής στη ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ x = 0 α = 0 υ < 0 x < 0 α >0 υ < 0 x < 0 α >0 υ < 0 ο ταλαντωτής στο άκρο της ταλάντωσης x < 0 α >0 υ = 0

30. οισυναρτήσεις x = Aημωt υ = ωΑσυνωt και α = - ω2Αημωt ισχύουν μόνο εφόσον κατά την αρχή των χρόνων ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα αν ΔΕΝ ισχύει αυτό πώς θα είναι οι συναρτήσεις ; Γενικότερα οι συναρτήσεις είναι: x = Aημ(ωt+φ) υ= ωΑσυν(ωt+φ) και a = -ω2Αημ(ωt+φ)

31. x= Aημωt x= Aημ(ωt+π/2) x= Aημ(ωt-φ0)

32. αν επιλέξουμε ως ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ τη στιγμή που βρίσκεται στο άκρο της ταλάντωσης με x = +A Ο A πώς θα είναι η συνάρτηση x= f(t) ; -A x= Aημ(ωt +π/2) ωA και η συνάρτηση για την ταχύτητα που θα έχει στο μέλλον ; -ωA υ= ωAσυν(ωt +π/2)

33. τι είναι αυτό ωt που εμφανίζεται μαζί με το ημίτονο; γωνία ; Ας επιστέψουμε στην απλή μορφή x = Aημωt Είναι γωνία και λέγεται « ΦΑΣΗ του x» Ακριβώς Σε κάθε χρονική στιγμή αντιστοιχεί μία τιμή φάσης ωt ή 2πt/T. Γιa t= T/4 η φάση της θέσης θα είναι π/2 ενώ για t = Τ/2 θα είναι ίση με π Αν η συνάρτηση είναι x = Aημ(ωt+π/6) η φάση θα είναι (ωt+π/6) ; Φαντάσου ένα υλικό σημείο σε ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ με περίοδο Τ. Προσπάθησε στη συνέχεια να φανταστείς τη ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ του σε έναν οποιοδήποτε άξονα. η γωνία αυτή – η φάση - έχει κάποια ειδική απεικόνιση; Μπορούμε να αποδείξομε ότι η κίνηση της προβολής είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ και τι σχέση έχει αυτό με την έννοια ΦΑΣΗ ;

34. Φαντάσου και την «επιβατική ακτίνα» που συνδέει το κέντρο του κύκλου με το κυκλικά κινούμενοκαι διαγράφει γωνίες ανάλογες με τον χρόνο τη χρονική στιγμή t x = A ημωt ωt στην ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ Εάν κατά την αρχή των χρόνων το κυκλικά κινούμενο βρίσκεται σε μια ορισμένη θέση η γωνία που θα έχει διαγράψει η επιβατική ακτίνα σε χρονικό διάστημα t, θα είναι η ΦΑΣΗ της ταλαντευόμενης προβολής του τη χρονικήστιγμή t

35. η ΔΥΝΑΜΙΚΗ του φαινομένου

36. Κατά την περιγραφή της κίνησης δεν χρειάστηκε να μας απασχολήσουν δύο σοβαρά – από τη σκοπιά της Φυσικής - ζητήματα και το δεύτερο ότι το αντικείμενο αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του το πρώτο είναι ότι το ότι το κινούμενο αντικείμενο έχει αδράνεια η αδράνεια του αντικειμένου περιγράφεται με την έννοια ΜΑΖΑ η αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον περιγράφεται με τις έννοιες ΔΥΝΑΜΗ και ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Πώς πρέπει να αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του ένα αντικείμενο ώστε να εκτελεί αρμονική ταλάντωση ; το ερώτημα που τίθεται τώρα είναι Για να οδηγηθούμε στην απάντηση θα χρειαστεί να εφαρμόσουμε τον Δεύτερο νευτωνικό νόμο της κίνησης και τη Διατήρηση της ενέργειας.

37. οι ΝΟΜΟΙ

38. ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης που ισχύει για την οποιαδήποτε κίνηση υλικού σημείου, ισχύει και στο συγκεκριμένο φαινόμενο. Για να τον εφαρμόσουμε παίρνουμε υπόψη ότι το κινούμενο αντικείμενο έχει μάζα αδράνειας. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό, η συνισταμένη των δυνάμεων προσδιορίζει την κατεύθυνση της επιτάχυνσης - κατευθύνεται δηλαδή σε κάθε στιγμή προς τη θέση ισορροπίας– και έχει τιμή ίση με το γινόμενο της ΜΑΖΑΣ επί την ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ. Αν την συμβολίσουμε με το γράμμα F θα ισχύει F = mα. F = - mω2x. Στην εξίσωση αυτή το σύμβολο F παριστάνει την αλγεβρική τιμή της συνισταμένης των ασκουμένων δυνάμεων

39. Τηνmω2 την θεωρούμε ως μία φυσική ποσότητα την οποία συμβολίζουμε με το γράμμα D αποκαλώντας την σταθερά επαναφοράς γιατί το κάνουμε αυτό ; F = - Dx οπότε η συνάρτηση δύναμης – θέσης παίρνει τημορφή το κάνουμε διότι η mω2: α. διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης και αυτό μας διευκολύνει να δώσουμε έμφαση στην ΑΝΑΛΟΓΙΑ των μεγεθών δύναμη και θέση β. είναι μία ποσότητα προσδιοριζόμενη μόνο από το σύστημα «ταλαντωτής-περιβάλλον»

40. η αλγεβρική ανάγνωση τηςF= - Dxμας «λέει» ότι σε κάθε αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη των ασκουμένων στο σώμα δυνάμεων i. έχει τιμή ανάλογη προς την τιμή της θέσης ii. έχει αντίθετο πρόσημο από εκείνο της θέσης και αυτό σημαίνει ότι έχει κατεύθυνση αντίθετη από εκείνη της θέσης (απομάκρυνσης), κατευθύνεται δηλαδή πάντοτε προς τη θέση ισορροπίας. Θέση ισορροπίας Θέση ισορροπίας Αυτό το τελευταίο μας κάνει να την χαρακτηρίζουμε «δύναμη επαναφοράς»

41. F x= 0, F=0 +A x -A x= 0, F=0 θέση x δύναμη F

42. για να πραγματοποιηθεί το φαινόμενο ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ πρέπει και αρκεί το αντικείμενο να αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του έτσι ώστε η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ (να κατευθύνεται δηλαδή διαρκώς προς τη θέση ισορροπίας) ΜΕ ΤΙΜΗ ΑΝΑΛΟΓΗ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ x = Aημωt F = - Dx F = - Dx x = Aημωt

43. Εφόσον γνωρίζουμε τις αλληλεπιδράσεις ενός σώματος με το περιβάλλον του μπορούμε να προβλέψουμε εάν, ενεργοποιούμενο, θα εκτελέσει ή δεν θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση Ένα σφαιρικό αντικείμενο κρεμασμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου Το αντικείμενο ενεργοποιημένο σε τυχαία στιγμή της κίνησης Για τη δύναμη Fελ του τεντωμένου ελατηρίου εφαρμόζουμε τον νόμο της ελαστικότητας – νόμο του Hοοκε- Fελ = kδ Το θεωρούμενο αβαρές ελατήριο στο φυσικό του μήκος Το x δεν είναι μόνο η επί πλέον επιμήκυνση του ελατηρίου είναι και η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης ( θέσης ) kδ k(δ+x) δ θέση ισορροπίας Αποδεικνύεται δηλαδή ότι σε μια τυχαία στιγμή τηςκίνησης- άρα και σε οποιαδήποτε στιγμή για τη συνισταμένη των δυνάμεων ισχύει F= -k x F x mg Άρα η κίνηση είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ασκούμενες δυνάμεις ασκούμενες δυνάμεις στο ακίνητο αντικείμενο mg η βάρος και ισχύει αυτό που ισχύει σε όλες τις αρμονικές ταλαντώσεις F = - mω2x η βάρος η δύναμη του τεντωμένου κατά δ+x ελατηρίου η δύναμη Fελ του τεντωμένου κατά δ ελατηρίου προσδιορίζουμε την αλγεβρική τιμή F της συνισταμένης k = mω2 k = m.4π2/Τ2 Θεωρούμε άξονα Για το φαινόμενο ΙΣΟΡΡΟΠΙΑεφαρμόζουμε τον πρώτο νόμο της κίνησης Τ = 2π√m/k F = mg – k(δ+x) και λόγω της mg=kδ F = -k x mg = kδ

44. πλάτος περίοδος Τ = 2π√m/k

45. αλλά και τρεις ταλαντώσεις με το ίδιο πλάτος τρεις διαφορετικές σταθερές των ελατηρίων Τ = 2π√m/k τρεις διαφορετικές περίοδοι

46. Ένα σφαιρίδιο κρεμασμένο από το άκρο νήματος ανελαστικού . Ένα απλό εκκρεμές Το σφαιρίδιο σε τυχαία στιγμή της κίνησης ασκούμενες δυνάμεις η βάρος ℓ Αποδεικνύεται δηλαδή ότι σε μια τυχαία στιγμή τηςκίνησης - άρα και σε οποιαδήποτε στιγμή - για τη συνισταμένη των δυνάμεων ισχύει F= -mg/ℓ. x η δύναμη Ν του τεντωμένου ανελαστικού νήματος Ν αναλύουμε την βάρος σε δύο συνιστώσες x H Fxείναι η συνισταμένη των ασκουμένων στο σφαιρίδιο δυνάμεων Άρα, για μικρά πλάτη, η κίνηση του σφαιριδίου είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Fx mg Fy Για την αλγεβρική τιμή της θεωρούμε άξονα και ισχύει αυτό που ισχύει σε όλες τις αρμονικές ταλαντώσεις F = - mω2x Fx= - mg ημφ Το x είναι και η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης ( θέσης ) mg/ℓ= mω2= m .4π2/Τ2 ημφ = x/ ℓ Fx= - mgx/ℓ Τ = 2π√ℓ/g Για αιωρήσεις μικρού πλάτους ο άξονας μπορεί να θεωρηθεί οριζόντιος

47. η Διατήρηση της ενέργειας Ένα αντικείμενο που εκτελεί αρμονική ταλάντωση είναι ένα σώμα με μάζα- αδράνεια που ΚΙΝΕΙΤΑΙ και ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑ με το περιβάλλον του. Και ενώ η ΚΙΝΗΣΗ του περιγράφεται με τις έννοιες ταχύτητα και ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ, η ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ του περιγράφεται με τις έννοιες ΔΥΝΑΜΗ και ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ εύκολα μπορώ να συμπεράνω η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ του σώματος μια ορισμένη χρονική στιγμή της κίνησης είναι ίση με ½mυ2 και, κατά την εξέλιξη του φαινομένου, έχει τη μεγαλύτερη τιμή τη στιγμή που περνάει από τη θέση ισορροπίας και ελαττώνεται καθώς κατευθύνεται προς το άκρο της ταλάντωσης τι συμβαίνει όμως με τη ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ; τι είδους δυναμική ενέργεια είναι αυτή ; δυναμική ενέργεια βαρύτητας ; δυναμική ενέργεια παραμορφωμένου ελατηρίου; Είναι κάτι διαφορετικό

48. Η λεγόμενη δυναμική ενέργεια ταλαντωτήπεριγράφει τη « συνολική αλληλεπίδραση » - αυτήν δηλαδή που περιγράφεται, με διαφορετικό τρόπο και με την έννοια δύναμη επαναφοράς- του ταλαντωτή με το περιβάλλον του. Όταν ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση ισορροπίας ακίνητος, η ισορροπία του είναι βέβαια ευσταθής και – όπως κάθε σώμα σε ανάλογη θέση – η δυναμική του ενέργεια έχει την ελάχιστη τιμή Η ιδιαιτερότητα του αρμονικού ταλαντωτήέγκειται στο ότι εάν θελήσουμε να παρέμβουμε ώστε να τον μετακινήσουμε από τη θέση ισορροπίας του, το περιβάλλον θα επιδράσει πάνω του ασκώντας - όχι μια οποιαδήποτε δύναμη επαναφοράς αλλά – μια δύναμη ανάλογη προς την απομάκρυνσηF= - Dx

49. Για να πετύχουμε δηλαδή αυτή τη μετακίνηση, θα χρειαστεί να ασκούμε δύναμη F΄= Dx, να μεταβιβάσουμε δηλαδή ενέργεια ίση με το έργο της δύναμης αυτής. Το έργο αυτό είναι ίσο με ½Dx2 x θέση ισορροπίας F ΄= Dx F = - Dx Με το που βρίσκεται ο ταλαντωτής σε μια οποιαδήποτε θέση (x) θα έχει – ανεξάρτητα από την κίνησή του - ενέργεια περισσότερη από αυτή που είχε στη θέση ισορροπίας του κατά ½Dx2. Η ενέργεια αυτή είναι η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή. Κάθε αρμονικός ταλαντωτής εφόσον απέχει κατά |x| από τη θέση ισορροπίας του θα έχει δυναμική ενέργεια U=½Dx2 ως προς τη θέση ισορροπίας του, στην οποία η δυναμική του ενέργεια θεωρείται μηδενική

50. H τιμή της δυναμικής ενέργειας ½Dx2 προκύπτει από την F= - Dx, η οποία, με τη σειρά της, προκύπτει από την x = Αημωt Μια ακόμα συνέπεια των τριών αυτών μαθηματικών δομών είναι ότι οδηγούν στη ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Αν προσθέσουμε την κινητική και τη δυναμική ενέργεια, σε μια τυχαία στιγμή της κίνησης, προκύπτει ότι ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΜΙΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ το άθροισμα παραμένει σταθερό, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ U + K = ½mυ2 + ½Dx2 = ½ mω2Α2συν2ωt + ½ DA2ημω2ωt U + K = ½DΑ2 = σταθερό U + K = ½ DΑ2συν2ωt + ½ DA2ημω2ωt