Hans HUMENBERGER Universität Wien

1. „Gruppen-Screening“ – ein Paradebeispiel für Anwendungsorientierung und Vernetzungsmöglichkeiten im Mathematikunterricht Hans HUMENBERGER Universität Wien

2. Mit einfachen schulmath. Mitteln: • ein Problem aus der Realität modellieren • Verbindung von elementarer Stochastik(EW einer ZG) und Analysis schaffen (Funktionen, Graphen, Extremwerte, Grenzwerte, Kurvendiskussionen) • Prinzip der Approximation veranschaulichen,(Näherungsverfahren, Näherungsformel) • das Verhältnis zwischen diskreten und kontinuierlichen Problemen beleuchten • ein CAS gut einsetzen 0

3. Einzel-Tests vs. Paar-Tests Aufgabe 1: Nach einem großen Sportfest sollen alle Sportler Proben (Blut, Urin) abgeben: Dopingkontrolle! Es werden 2 Möglichkeiten vorgeschlagen: • Jede Probe wird einzeln überprüft. • Je 2 Proben werden zusammengeschüttet und das Resultat getestet; falls nötig Einzeltests.

4. a) Wie viele Tests sind beim „Paartest“ unter welchenUmständen nötig (pro Paar) ? • Paar-Test negativ: beide „sauber“; 1 Test nötig • Paar-Test positiv:1. Person allein getestet: • Negativ: 2. Person hat gedopt (2 Tests) • Positiv: auch die 2. Person muss getestet werden (3 Tests)

5. b) Vergleich für 2n Personen:Einzeltests: 2n Personen, 2n Tests Paar-Tests: jedenfalls n Tests für die n Paare Extremfälle: Bei allen Paaren reicht 1 Test: n Bei allen Paaren 3 Tests nötig: 3n Klar:Paar-Test bringt dann Vorteile, wenn wenige positive Proben zu erwarten sind.

6. Aufgabe 2: Sportfest-Diagramm: Anzahl der Paare, bei denen 1, 2, 3 Tests benötigt wurden. Was ist alles aus diesem Diagramm zu entnehmen? • 80 + 30 + 10 = 120 Paare, d. h. 240 TN • Tests: 80 + 30  2 + 10  3 = 170 , ca. 0,71 T/TN, - 29 % • zwischen 40 und 50 Sportler/innen gedopt, Dopingquote: 16,7 % – 20,8 %

7. Aufgabe 3: (Erwartungswert) Wie viele nötige Tests sind pro Paar zu erwarten, wenn aus langjähriger Erfahrung bekannt ist, dass der Anteil p aller Sportler/innen Doping betreibt? E = (1 – p)²  1 + (1 – p) p  2 + p  3 = – p² + 3p + 1

8. Gruppentests bei Krankheiten „Krankheitsanteil in der Bevölkerung ist p“ Modellannahme: n Individuen seien unabhängig voneinander und mit jeweils gleicher WS p von dieser Krankheit befallen Auswahl der Testpersonen = Bernoulli-Exp. Bei Einzelprüfung: 1 Test pro Person bzw. k Tests für k Personen 1

9. 2-stufiger Gruppentest nach Dorfman • 1. Stufe (Gruppentest): Mischen des Blutes von jeweils Personen • Gruppentest neg.: alle Personen gesund nur 1 Test für diese k Personen • b)Gruppentest pos.: mind. 1 Person krank: jede Blutprobe in der Gruppe wird anschließend (2. Stufe) einzeln untersucht: insgesamt k + 1 Tests.

10. Problem: Gruppengröße k (?), so dass insges. möglichst wenige Tests zuerwarten sind: • minimale zu erwartende Kosten • Ergebnisse sollen möglichst schnell vorliegen. 2

11. q := 1 – p P(gesund) , „Gesundheitsanteil“ der Bev. k  2 die gewählte Gruppengröße EWeiner Zufallsgröße, zunächst in einer k-Gruppe: X := Anzahl der nötigen Analysen in einer k-Gruppe X kann nur die Werte 1 und k + 1 annehmen:

12. E(X) für verschiedene k nicht gerecht vergleichbar; nicht allein. Krit.: je größer k, desto größer E(X)! Gesamtzahl: n Individuen, (n/k) viele k-Gruppen, insgesamt zu erwartende Tests für alle n Personen. Zur Vereinfachung sinnvoll: Division durch die feste Zahl n, „Normieren“ (pro Person), „relativer EW “ 3

13. EW der Anzahl der nötigenUntersuchungen PRO PERSON (Gruppengr. k  2 ) Diese Funktion (Term) müssen wir genauer untersuchen!

14. Genau bei bringt Gruppenbildung auf lange Sicht einen Vorteil gegenüber Einzeluntersuchung. • Bei festem q  (0 ; 1) suchen wir k0 2 • (k0N) mit: • f (q,k0) < 1 (Ersparnis geg. Einzelunt.) • f (q,k0) ist minimal

15. f (q,k) als Fkt. in kontinuierlichen Var.: obwohl ja eigentlich Ein eigentlich diskretes Problem wird in ein kontinuierliches verwandelt: kontinuierliche Graphen, Kraft der Analysis z. B. beim Suchen der Minimumstelle 4

16. Wir setzen festes q (0,1) voraus, d. h. f(q,k) ist eine Funktion in einerVariablek (Gruppengröße) : Kurvenschar, Funktionenschar mit Parameter q !

17. für k (0,50): • von oben nach unten: q = 0.4; 0.6; 0.7; 0.8; 0.85 • Für kleinere q-Werte q < 0.7 scheint zu gelten: 5 Uninteressanter Bereich – keine Ersparnis gegenüber Einzeluntersuchungen!

18. k (0,50), größere q : • 2 Schnittp. mit y = 1, asympt. Annäh. v. oben • eindeutiges Min. zw. 0 und 1: Min.stelle interessant (opt. Gruppengröße!) • Wo liegt diese Stelle? 1) Ablesen: CAS-Graph 2) analyt. Überlegungen

19. 1. Versuch: 1. Ableitung von y = ln k hat mit einer Geradey = mk + b „klarer Weise“ höchstens 2 Schnittpunkte  (ln immer negativ d. h. nach rechts gekrümmt!) hat höchstens zwei lokale Extremstellen! 6

20. Aber: • nicht geschlossen lösbar • für welche q gibt es 0, 1, 2 Lösungen? (Näherungslösungen!) • für welche q ergibt sich ein Min/Max/Sattelpunkt?

21. Analog: Schon nicht geschlossen lösbar: höchstens 2 Schnittpunkte (Lösungen) ! Zur weiteren Begründung und deren Ableitung besser vermeiden!

22. Die Teilfunktionen von Wohlbekannte Funkt. aus der Mittelstufe:Hyperbel: Exponentialfunktion: (fallend: 0 < q < 1) Interessant nur (Ersparnis!) : 7

23. Zunächst: • 0, 1, 2 Schnittp., je nach q • q groß  fällt flach: für (Berührwert) 2 Schnittp.

24. Begründung des 2. Schnittpunktesauch für durch „de l‘Hospital“ 8 Oben: höchstens 2 Schnittpunkte, damit genau 2 für ! Damit klar : Bei ist für

25. Berührkonstellation lässt sich sogar genau bestimmen: einfache, traditionelle, klassische „Rechnung“, Lösung des GLS: CAS auf Knopfdruck (z. B. MAPLE, auch per Hand, DERIVE nicht: bei nichtlinearen GLS nur numerisch gut): Einzelgleichungennicht geschlossen nach k auflösbar, d. h. die beiden Gleichungen „passen“ gut zueinander. 9

26. Bis jetzt: • Für ist , d. h. Gruppentests schlechter als Einzeltests (im Durchschnitt, „Erwartungswert“) ! • Auch für bringt Gruppenbildung im Durchschnitt keine Ersparnis: • Erst ab kann Gruppenbildung im Durchschnitt überhaupt Ersparnisbringen (d. h. bei einem Gesundheitsanteil von mind. ca. 70%, so eine Grenze auch intuitiv zu erwarten)!

27. Noch zu zeigen: hat für in genau 1 Minimumstelle k* Oben: hat höchstens 2 lokale Extremstellen Im Folgenden: hat für mindestens eine lokale Minimumstelle k* in und eine lokale Maximumstelle  genau diese beiden lokalen Extremstellen!

28. Begründung für k* und k**: 10 besser „getrennt“: Bei : Differenz , dazwischen < 0 ! stetig  Min.stelle in bei k* (betraglich Differenz dort maximal !)

29. „Rechts“ von : Salopp: Bei und im Limes : Differenz „dazwischen“ :  Max.-stelle in : bei k**

30. I. A.: : k0 = [k*] oder k0 = [k*] + 1 Bei k* sehr flacher Graphverlauf, d. h. ziemlich gleichgültig, ob k0 = [k*] oder k0 = [k*] + 1

31. Konkrete Lösung mit CAS (MAPLE, DERIVE o. ä.) bei gegebenem Wert q > qB : • Zeichnen des Graphen von fq(k): k* und k0 (die „bessere“ der natürlichen Nachbarzahlen) einfach ungefähr ablesen! • oder die Gleichung wird näh.w. gelöst (CAS: mit „beliebiger“ Genauigkeit möglich), 2 Lösungen k* < k** ; k0 = [k*] oder k0 = [k*] + 1 (je nach kleinerem Funktionswert von fq ) 11 12

32. Konkrete Lösung mit oder ohne CAS Durch obige analyt. Überlegungen klar: fq(k) bis k* fallend, dann „steigend bis 1“ Die Suche nach k0 kann sich also (begründet!) auf das Probieren einiger ganzzahliger Werte reduzieren: Ab welchem k werden die Funktionswerte fq(k) wieder größer?

33. 1) Zusammenhang q k0(geschlossene Formel unmöglich!) Weitere Möglichkeiten: • Man könnte für viele einzelne q-Werte das Problem lösen: q gegeben, k0 gesucht: 11 punktuelle Fälle gelöst, aber bei q = 0,93 ???

34. 13 Umgekehrt: k0vorgegeben, zugehöriger q-Bereich gesucht Z. B.: für welche q ist 4 die optimale Gruppengröße? A priori klar: k0 monoton wachsend mit q (bei mehr Gesunden kann die optimale Gruppengröße nicht kleiner sein) ! Wo liegt q4 / 5? („Trenn-q“ zw. k0 = 4 und k0 = 5) Idee: für welches q sind 4 und 5 gleich gute Gruppengrößen: fq(4) = fq(5): CAS: q4 / 5 0,934

35. Durch wenige Trenn-q-Werte großer q-Bereich abgedeckt Zusammenhang effizienter beschrieben:

36. 2) Elementare Numerik Näherungsverf. bei Gleichungen, nicht nur black box (CAS), sondern konkretes Verfahren! Trenn-q-Werte: „Fixpunktgleichung“„Iterationsverfahren“ Analytischer Nachweis möglich (Wahlpflichtfach): Konvergenz bei Startwert 1 qk / k+1 ist anziehender Fixpunkt (flacher Schnitt) !

37. 3) Gruppengröße k = 2 ist für KEIN q optimal ! 14 q als Variable: für k = 2 und k = 3: Differenz: f(q,2) – f(q,3) f(q,2) – f(q,3)> 0leicht analytisch zu begründen

38. 4) Näherungsformel für k0(kleine p!) 15 • Wie gut ist diese Näherungsformel? • Wie kann man sie plausibel machen?

39. Plausibilitätsbetrachtung (p statt q !) Ersetze für kleine p den „unangenehmen“ Teilterm [ k im Exp! ] durch eine einfachere Funktion: Fkt. v. p (p klein!) 16 „Lok. Linearisieren“ : Tangente in (0|1) Für kleine p :

40. Damit für kleine p Approx. möglich: hat das einzige Minimum bei Die Werte sind für kleine p und praktische Zwecke genau genug für ! Dorfman: ; 80,443 % Ersparnis Näherung: ; 80,438 % Ersparnis

41. Potenzial dieses Themas: Kernaufgabe von Schülern selbständig zu lösen; ausbaufähig in viele Richtungen • Bei Begründungen gestufte Niveaus möglich • Intensität des CAS-Einsatzes sehr variabel • k = 2 ist nie optimal • Numerische Mathematik: „Umkehrfrage“, Iterationsverfahren, explizite Näherungsformel

42. „The main goal of all science is first to observeand then to explainphenomena. In mathematics the explanation is the proof.” (D. GALE, 1990)

43. Literatur Humenberger / Henn (2004): Gruppenscreening - ein Paradebeispiel für Vernetzungsmöglichkeiten im MU. In: Biehler/Engel/Meyer (Hrsg.): Neue Medien und innermathematische Vernetzungen in der Stochastik. Anregungen zum Stochastikunterricht, Band 2, S. 19 – 32; Franzbecker, Hildesheim.