误差理论与测量平差基础

1. 误差理论与测量平差基础 第7章间接平差 主讲：王华

2. 主要内容 • 间接平差原理 • 误差方程 • 精度评定 • 间接平差公式汇编和水准网平差示例 • 间接平差特例-直接平差 • 三角网坐标平差 • 测边网坐标平差 • 导线网间接平差 • GPS网平差 • 七参数坐标转换平差

3. 1.间接平差原理

4. 间接平差原理 • 间接平差（参数平差法）选定t个独立参数，将每个观测量的平差值分别表达成这t个参数的函数，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值。 间接平差函数模型 （7-1-1） 观测值方程： （7-1-2） 取参数的近似值X0,则有 （7-1-4） 误差方程： （7-1-3） L0=BX0+d为观测值的近似值，l 是观测值与近似值之差，即误差方程的常数项。l 与 L 只差一个常数L0，其精度相同，Dl =DL=D,Qll=QLL=Q,也称 l 为观测值。 间接平差的随机模型

5. 一、基础方程及其解 • 设有n个观测值方程 • 令： • 得误差方程：

6. 令： 得误差方程的矩阵表达式 （7-1-7） 按最小二乘原理求函数自由极值的方法，得 （7-1-8） 转置后得 7-1-7和7-1-8为间接平差的基础方程

7. 间接平差的基础方程 将 V代入第二式，得到法方程： （7-1-9） 令 （7-1-10） 则法方程表达为 式中系数阵NBB为满秩，方程有唯一解，即 （7-1-11） 或 （7-1-12） 将上式代入误差方程，得到改正数，进而得到观测值和参数的平差值 （7-1-13）

8. 当权阵为对角阵时，法方程的纯量形式为 式中

9. 二、间接平差法求平差值的步骤 • 根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数； • 列出误差方程； • 组成法方程； • 解算法方程； • 计算改正数V； • 计算观测值的平差值

10. 解：n=5，t=3；选取B、C和D三点的高程分别为参数解：n=5，t=3；选取B、C和D三点的高程分别为参数 例题7-1如图7-1所示的水准网中，已知水准点A的高程是HA=237.483,为求B、C和D的高程，进行了水准测量，测得高差和水准路线长度见下表。试按照间接平差方法求B、C和D的高程平差值。 1、列出误差方程 平差值方程 误差方程 参数的近似值选为

11. 将 代入误差方程得： 2、组成法方程 取10km观测高差为单位权观测，即 法方程：

12. 3、解法方程 4、计算改正数 5、计算平差值 检核

13. 例7-2

14. 上次课程主要内容回顾 间接平差的函数模型和随机模型是 （7-1-1） （7-1-5） （7-1-4） 误差方程为： （7-1-3） （7-1-9） 法方程为： （7-1-11） 其解为 （7-1-13） 观测量和参数的平差值： 练习：7.1.04

15. 2.误差方程

16. 误差方程要点 • 要确定平差问题中未知数的个数（等于必要观测的个数t ）； • 选择哪些量作为未知数（足数、独立、最简）； • 要考虑怎样列出平差值方程； • 如何选取未知数的近似值； • 如何写出误差方程。

17. 一、测方向三角网函数模型 • 观测值为方向值，选定待定点坐标为参数，建立以坐标改正数表示方向值改正数的误差方程。t=未知点个数×2＋测站数（有必要起算数据时） • 在图7-2中，j为测站点，h和k为照准点，Ljh和Ljk为观测方向值，jo方向为度盘置零方向（非观测值）， 为j 站的定向角，即零方向的方位角（每个测站有一个定向角），则方向观测值的平差值为： • 由上式可得jk方向的误差方程为： （7-2-1） （7-2-2） 式中 为 jk方向的方位角的平差值。 寻找方位角与坐标的函数关系

18. 设j、k是两个待定点，它们的近似坐标为 ，由此计算两点间的近似坐标方位角 和近似边长 ，以及近似定向角 。 设这两点的近似坐标改正数为 （7-2-3） 根据图7-2可以写出： 将上式按台劳公式展开得： （7-2-5） 由于：

19. 将上列结果代入（7-2-6）式，并顾及全式的单位得将上列结果代入（7-2-6）式，并顾及全式的单位得 （7-2-8） 或：

20. 令： 则有坐标改正与坐标方位角改正之间的一般关系式： （7-2-12） 代入（7-2-2），得 jk方向的误差方程 （7-2-14） 式中常数项 （7-2-15）

21. 测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。 测方向坐标平差的误差方程的特点如下： 方向值的误差方程中，其待定参数除待定点坐标平差值之外，尚有测站定向角平差值。在每个测站的误差方程中，仅出现本测站的定向角平差值，各测站不同，其系数均为－1。 若某边的两端均为待定点时，它们的坐标未知数的系数的绝对值相等，符号相反。其他点的坐标未知数的系数均为零，即为（7-2-14）式。 若测站点 j 为已知点 若照准点k为已知点

22. 测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。 测方向坐标平差的误差方程的特点如下： 若某边的两个端点均为已知点，则 （7-2-19） 同一边的正反坐标方位角的改正数相等 即知

23. 综上所述，对于方向法观测的三角网，采用间接平差，选择待定点坐标平差值和测站定向角平差值为参数时，列误差方程的步骤为；综上所述，对于方向法观测的三角网，采用间接平差，选择待定点坐标平差值和测站定向角平差值为参数时，列误差方程的步骤为； 计算各待定点近似坐标； 由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角和近似边长； 列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数； 列出误差方程。

24. 例7-3 在图7-3中，A、B、C为已知坐标的三个控制点，加密待定点D，起算数据列于表7-2，在四个测站共观测10个方向，观测值列于表7-3，试以D点坐标为平差参数，列出其误差方程。

25. 解：n=10, 1个待定点，在方向法观测情况下，需要确定4个测站定向角Z，故 t = 2 + 4 =6 。 在已知点B、A观测D点的角度，按前方交会的余切公式计算D点的近似坐标 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长于表7-4。

26. 计算坐标方位角改正数方程的系数（见表7-4） 计算各测站定向角近似值Z0 式中nj为在测站 j 上观测的方向数。此例中测站A的定向角近似计算公式为

27. 计算误差方程的常数项，结果列于表7-5中。 组成各方向的误差方程 （据表7-4中的系数a、b和表7-5中的l ）

28. 表7-5

29. 二、测角网函数模型 观测值为角度，参数为待定点坐标的平差问题，称为测角网坐标平差 如图7-4中，j,k,h为待定点，参数为其坐标，并令： 对于角度，其观测方程为： 将代入，并令： 即角度观测值减去其近似角值就是常数项l ， 得：

30. 将方位角改正数表达为坐标改正数，得测角网坐标平差的误差方程将方位角改正数表达为坐标改正数，得测角网坐标平差的误差方程 或： （7-2-29）

31. 测角三角网不存在定向角参数，而测方向值依赖度盘零位置，必须引进定向角参数以固定方向值，从而才能与点的坐标建立函数关系。测角三角网不存在定向角参数，而测方向值依赖度盘零位置，必须引进定向角参数以固定方向值，从而才能与点的坐标建立函数关系。 • 如果三角网是按方向观测的，应采用测方向的坐标平差，若要按角度平差，则其观测值由相邻两方向观测值之差求得，一个测站上的多个观测角之间相关，严密的平差要顾及其相关权阵。

32. 例7-4 在图7-5中，同精度测得6个角度，已知点A、B、C 的起算数据列于表7-2中，角度观测值列于表7-6中，试列出测角网坐标平差的误差方程。

33. 解（1）计算D点的近似坐标（前方交会余切公式7-2-22）解（1）计算D点的近似坐标（前方交会余切公式7-2-22） （2）按已知点坐标和待定点近似坐标计算各边的近似方位角和近似边长，计算误差方程系数a、b，见下表 待定边坐标方位角改正数方程：

34. 解（3）参照图7-5列出观测值方程 将 代入上式： 式中:

35. 误差方程写成矩阵得形式为： （4）组成法方程，求参数和观测量的平差值 设各角的观测精度相等，其中误差均为σ=1，权阵单位矩阵，法方程系数阵为

36. 法方程为 解算法方程，得 求改正数、角度平差值和D点坐标平差值

37. 三、测边网函数模型 • 观测值为边长，选定待定点坐标为参数，建立以坐标改正数表示边长改正数的误差方程 • 在图7-6中，测得待定点j、k间的边长Li，它们的坐标平差值可表示为： • 边长的平差值方程为： 按台劳公式展开，得

38. 再令： 则由（7-2-31）式可得测边的误差方程为 （7-2-33） 若某边的两个断点均为未知点，则（7-2-33）为其误差方程；两端点的x/y坐标改正数的系数分别互为相反数；常数项等于该边的观测值减去其近似值。 若j为已知点，则： 若k为已知点，则： 某边的误差方程，按jk或kj方向列立的结果相同。

39. 例7-5 同精度测得图7-7中的三个边长，L1 = 387.363m, L2 =306.065m, L3 = 354.862m,已知A、B、C三点的起算数据列于表7-7。试列出误差方程并求平差值。 解（1）本题n=3, t=2,选择待定点D的坐标为参数，其近似值由已知点A、B和观测边L1、 L2交会计算得到。图7-8中设h 为ABD底边AB上的高，l为L1在AB上的投影，得

40. 按此，计算待定点的近似坐标为： （2）据近似坐标和已知点坐标求出误差方程系数和常数项，组成误差方程。 据（7-2-34）式 写出误差方程

41. 上次课程主要内容回顾 • 方向观测间接平差函数模型 • 角度观测间接平差函数模型 • 距离观测间接平差函数模型

42. 四、拟合模型 • 拟合模型是一种函数逼近型或统计回归模型 • 曲线拟合：由下图的离散点拟合一条直线

43. 例：为了研究大坝形变量与库水位的关系，现对其进行观测，得到的数据如下表所示，试计算大坝库水位与坝基沉降量之间的一元线性回归模型。例：为了研究大坝形变量与库水位的关系，现对其进行观测，得到的数据如下表所示，试计算大坝库水位与坝基沉降量之间的一元线性回归模型。 答： 依据题意可得观测方程为： 设： 则法方程为： 解法方程得： 因此，大坝库水位与坝基沉降量之间的一元线性回归模型为：

44. 得误差方程 • 标准曲线拟合：对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。 • 例：地图数字化中，已知圆上m个点的数字化观测值，设为等权独立观测，求该圆的曲线方程。 • 由于圆曲线的参数方程为 式中： 为圆心坐标，R为半径，这三个参数是圆的基本参数， 为第i点矢径的方位角。所以确定一条圆曲线的必要观测数为t=3+m。在圆周上观测了n=2m个点的坐标，则r=m-3。 令：

45. 曲面拟合：曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。将地面视为一个连续的曲面，则高程可表达为平面坐标的函数，且可用多项式表达为：曲面拟合：曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。将地面视为一个连续的曲面，则高程可表达为平面坐标的函数，且可用多项式表达为：

46. 五、坐标转换模型 • 测绘中经常用到坐标转换，设某点在新旧坐标系中的坐标分别为： • 为将旧网合理的配合到新网上，需要对旧网的坐标系加以平移、旋转和尺度因子改正 • 二维新旧坐标系的坐标变换方程为： • 令：

47. 3.精度评定

48. 一、单位权方差的估值 • 单位权方差与中误差 • 计算VTPV • 直接计算 • 用常数项计算

49. 二、协因数阵 • 间接平差中，基本向量为 ，已知QLL=Q • 各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协因数阵 由前三个式子，按协因数传播律得出：

50. 再计算与（7-3-7）式有关的协因数阵，得