Bases Matemáticas para la Educación Primaria Guía de Estudio

1. Bases Matemáticas para la Educación PrimariaGuía de Estudio Tema 3: Números racionales Parte II: Expresiones y números decimales Proporcionalidad

2. Actividades introductorias:

3. Conjuntos numéricos 1.Como sabes, existen distintos conjuntos numéricos (naturales, racionales, decimales, irracionales y reales). Indica a cual de estos conjuntos numéricos pertenece cada uno de los siguientes números (un mismo número puede pertenecer a más de un conjunto): a) 7 b) c) d)  • Naturales: _______________________________________ • Racionales: ______________________________________ • Decimales: ______________________________________ • Irracionales: _____________________________________ • Reales: _____________________________________   JUSTIFICA TUS RESPUESTAS

4. NÚMEROS REALES (R) NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS RACIONALES (Q) NÚMEROS DECIMALES (D) NATURALES (N) 7 

5. 2. • Dar el número natural que sigue en la serie numérica inmediatamente después del 54. • Dar el número entero que sigue inmediatamente a 23'5. • Dar el número decimal que sigue inmediatamente a 32'13. 3. Agrupar los carteles que representan el mismo número:

6. 0 1 4. Ubica en la recta numérica los siguientes números:Tres décimas; 0,3; un tercio; 5. Expresa mediante una escritura decimal finita los números siguientes, en los casos que sea posible. a) c) : b)

7. Decimales en un libro de texto de primaria

8. Distinción entre expresión y número • Algunos autores llaman números decimales a cualquier número real expresado en forma decimal (se identifican con una manera de escribir los números). • En el libro de primaria hemos visto, • ¿Es 2/10 un número decimal?

9. “Copia y colorea del mismo color los carteles que representan el mismo número” • Se pretende que el niño identifique “algo” que tienen en común estos “carteles”. • ¿Qué es eso que aquí se llama número? • ¿De qué número se trata? • Estas son preguntas que podrían hacer los niños a su profesor; en consecuencia, el profesor debería tener un conocimiento adecuado sobre la naturaleza de los números y su relación con las diversas representaciones.

10. “Completa la tabla expresando cada número de tres formas distintas”:

11. “Los números decimales”

12. La expresión 0’2 designa un número decimal, que también se puede escribir en forma de fracción, 2/10, la cual a su vez es equivalente a la fracción irreducible 1/5. • También se puede escribir 20% • Son distintas formas de escribir y de hablar sobre un número decimal particular. •  La expresión o notación decimal con un número finito de cifras decimales se puede usar en todos los racionales que pueden ser representados por una fracción cuyo denominador es una potencia de diez.

13. Se tiene tendencia a llamar 'número decimal' a un número cuya expresión tiene una parte decimal “visible”. • Pero los números naturales son también números decimales, simplemente su parte decimal (la escrita a la derecha de la coma) se reduce a 0 (o también a '9999... ), y no se escribe. • Por otro lado, existen números racionales no decimales (1/3, 7/11, ….), pero que también tienen una expresión decimal: 0’333333 ….. ; 0’63636363 …

14. Los números decimales, y la notación decimal con la que se expresan son de gran importancia en las matemáticas y sus aplicaciones prácticas debido a una propiedad importante: • El conjunto D de los números decimales es un conjunto denso en Q y en R (números reales), lo que quiere decir que cualquier número real x se puede acotar por medio de números decimales tan próximos a x como se desee (existe un número decimal cuya diferencia con x es tan pequeña como se quiera)

15. Resumen • Se llama número decimal a aquellos números racionales que tienen una fracción representante con denominador potencia de 10 (fracciones decimales). • Todos los números decimales son racionales, pero no todos los racionales son decimales. • No obstante, cualquier racional no decimal se puede expresar en notación decimal, aunque el número de cifras a la derecha de la coma es infinito, con cifras que se repiten. • El número de cifras decimales es una característica de la expresión decimal (numerales) no de los números, ya que un mismo número se puede representar mediante diferentes expresiones decimales: 34’1 = 34’10 = 34’100, ... = 34'0999...

16. EXPRESIÓN POLINÓMICA DE LOS NÚMEROS DECIMALES • Los números decimales se pueden expresar también “en forma polinómica”, con potencias de base 10 (si se usa dicho número como base del sistema de numeración) usando exponentes positivos y negativos. Por ejemplo: que se lee, dos decenas, 3 unidades, 7 décimas y 5 centésimas.

17. Utilidad de la expresión decimal • La notación decimal para expresar los números racionales es importante ya que es más fácil trabajar con ella que con la notación de fracción. •  Por ejemplo, al comparar dos racionales es más rápido comparar las expresiones decimales que las fracciones: • Ejemplo: Para comparar 7/8 con 22/25 hay que reducir las fracciones a común denominador y comparar los numeradores. • Sin embargo, si los expresamos en notación decimal, 7/8 = 0’875, y 22/25 = 0’88, vemos en seguida que 22/25 es mayor.

18. La notación decimal es también cómoda para encontrar un número racional comprendido entre otros dos dados. • La mayor ventaja es en la realización de operaciones aritméticas, ya que se pueden usar algoritmos similares a los desarrollados para trabajar con números enteros.

19. Caracterización de los números decimales Proposición: • Si r es un racional representado por su fracción irreducible n/d, para que r sea un número decimal la descomposición del denominador d en factores primos sólo debe tener potencias de 2 y/o de 5. • En efecto, si el denominador tiene sólo los factores 2, 5 o ambos, podemos obtener una potencia de 10 en el denominador multiplicando numerador y denominador de dicha fracción por una potencia conveniente de 2 y/ o de 5.

20. Podemos probar que también es cierto el teorema recíproco, o sea que la condición es necesaria, por reducción al absurdo. • Supongamos que la fracción tenga un factor distinto, por ejemplo 3 (a/3). En este caso, • Factorizando 10n en números primos tenemos: lo cual conduce a: a. 2n . 5n = 3. x

21. Este resultado contradice el teorema de factorización única de la aritmética según el cual todo número natural admite una descomposición única en factores primos. • En este caso el factor 3 figura en el segundo miembro y no en el primero (a. 2n . 5n = 3. x) • Esto lleva a rechazar el supuesto de que la fracción a/3 corresponda a un número decimal.

22. Operaciones con decimales

23. Situación introductoria En un libro de 6º curso de primaria encontramos la siguiente regla, la cual viene ilustrada con un ejemplo, pero no se justifica: • “Para multiplicar dos números decimales, los multiplicamos sin tener en cuenta las comas y en el resultado separamos con una coma, desde la derecha, tantas cifras como decimales tienen entre los factores” • Un alumno quiere saber porqué se hace de esa manera. ¿Cómo justificarías esta regla? Puedes usar un ejemplo para describir la justificación

24. Significado de las operaciones con decimales a) Enuncia un problema de la vida cotidiana, en un contexto de uso de porcentajes, que se resuelva con la siguiente operación de multiplicación de dos números decimales: 2,255 x 1,7. b) Enuncia un problema de la vida cotidiana que se resuelva con la siguiente operación de división de dos números decimales: 5,76: 1,8

25. PROPORCIONALIDADNUMÉRICA

26. 1) ¿Cuáles de las siguientes tablas expresan magnitudes proporcionales? (Los números expresan las medidas de las cantidades correspondientes). JUSTIFICA LAS RESPUESTAS. a) b) c)

27. 2) De los siguientes pares de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales? JUSTIFICA LAS RESPUESTAS. a) Lado del cuadrado y su superficie b) Lado del cuadrado y su perímetro c) Edad y altura de las personas 3) Define con tus propias palabras cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales. Pon un ejemplo, construye una tabla de valores posibles y represéntala gráficamente.

28. Series de números proporcionales • En general, decimos que dos series de números, con el mismo número de elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo k, llamado razón de proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie como producto por k de los valores correspondiente de la primera serie.

29. La relación entre ambas series de números también se puede describir diciendo que se establece una aplicación lineal de coeficiente k entre los conjuntos numéricos correspondientes: f: A B, cumpliéndose que, • f(a+b) = f(a) + f(b), y f(ka) = kf(a). • En consecuencia, la gráfica cartesiana de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas. • y = k.x, es la expresión algebraica general de esta clase de relaciones funcionales.

30. MAGNITUDES PROPORCIONALES • Dadas dos magnitudes A y B (por ejemplo, espacio recorrido por un móvil cuando la velocidad es constante y tiempo transcurrido) se dice que son proporcionales si están en correspondencia de tal manera que las medidas de las cantidades que se corresponden forman dos series de números proporcionales entre sí, es decir si existe una aplicación lineal f: A  B.

31. En el ejemplo de la relación entre el espacio recorrido y el tiempo existirá una tal relación si el movimiento es uniforme, pero no si se trata de la caída de un cuerpo por la acción de la gravedad.

32. PROPORCIONALIDAD INVERSA • Se dice que dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si los valores tomados por la magnitud A y los inversos de los valores tomados por la magnitud B forman dos series proporcionales. • Esta situación se presenta cuando el producto de valores tomados por las magnitudes A y B es constante, como ocurre, por ejemplo, - la relación existente entre la presión (p) y el volumen (v) de un gas que siga la ley de Mariotte: p.v =k. - la duración (t) del trayecto de longitud fija recorrida por un móvil (e) a velocidad uniforme (v): v.t =e.

33. EJEMPLOS DE SITUACIONES DE PROPORCIONALIDAD • La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio): L = d (2r) • Longitud del arco de circunferencia y la amplitud del ángulo central correspondiente a dicho arco. • El área de un sector circular y la amplitud del ángulo correspondiente. • Las longitudes de diferentes segmentos marcados sobre una recta y sus proyecciones paralelas sobre otra recta (teorema de Thales) • El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma, cilindro, ...) y la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del volumen graduando la altura).

34. La masa de un cuerpo homogéneo y su volumen. • El volumen de líquido que sale de un grifo de caudal constante y el tiempo que mantenemos el grifo abierto. • La distancia medida sobre un plano o mapa realizado a una escala dada y la distancia real. • El precio que pagamos al comprar un producto (por ejemplo, al llenar el depósito de gasolina) y la cantidad comprada (litros, en el ejemplo). • Fijado un porcentaje, las medidas de las cantidades a las cuales se aplica dicho porcentaje (precios, pesos, etc.) y los valores resultantes del cálculo porcentual.

35. Ejemplos de situaciones de no proporcionalidad • La longitud del lado de un cuadrado y su área. • Número de habitantes de un país y Producto Nacional Bruto. • La edad y la altura de un niño. • La distancia de frenado y la velocidad de un vehículo. • El espacio recorrido por un cuerpo en caída libre en el vacío y el tiempo transcurrido. • Las magnitudes que varían por tramos, como las tarifas de franqueo postal de una carta y su peso; los impuestos pagados y los ingresos. • Las situaciones en las que los precios aumentan proporcionalmente a la duración o distancia, pero a partir de un valor inicial no nulo (precio de un recorrido en taxi, ya que la bajada de bandera se debe pagar aunque el tiempo o la distancia sea mínima).

36. EL RAZONAMIENTO DE LA REGLA DE TRES • Con la expresión “regla de tres” se designa un procedimiento que se aplica a la resolución de problemas de proporcionalidad en los cuales se conocen tres de los cuatro datos que componen las proporciones y se requiere calcular el cuarto. • Aunque aplicado correctamente el razonamiento supone una cierta ventaja algorítmica en el proceso de solución, ya que se reduce a la secuencia de una multiplicación de dos de los números, seguida de una división por el tercero, con frecuencia muchos alumnos manipulan los números de una manera aleatoria y sin sentido de lo están haciendo.

37. En cierto modo el algoritmo les impide comprender la naturaleza del problema, sin preocuparse de si la correspondencia entre las cantidades es de proporcionalidad directa, inversa, o de otro tipo. • La regla de tres se llega a aplicar de manera indiscriminada en situaciones en las que es innecesaria o impertinente.

38. Ejemplo • “Un paquete de 500 gramos de café se vende a 5 euros. ¿A qué precio se debe vender un paquete de 450 gramos? (se sobreentiende que es del mismo tipo de café y al mismo precio unitario)” Solución: • 500 g  5 e • 450 g  x x = (450.5)/500 = 4’5; 4’5 euros. • (se multiplican los dos números contiguos a la x y se divide por el opuesto)

39. Generalización Un coche consume 8,4 litros de gasolinacada 100 km. ¿Cuántoskilómetrospuederecorrer con 25,2 litros? 1) Generaliza el enunciado del problemausando variables para los datos 2) Resuelve el problema general que has enunciado, usandolas variables introducidas 3) Explica y justifica la solución del problemageneralizado

40. Estudio personal: • Estudiar las secciones 1, 2, 3, 4 y 5(págs, 353 a 363 ) del libro, • Godino, J. D. (Director) (2004). Matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. (Recuperable en, http://www.ugr.es/local/jgodino/) • Realizar las actividades del Cuaderno de Prácticas en la sesión de Seminario. • Resolver personalmente y comprobar posteriormente los ejercicios resueltos disponibles en el Tablón de Docencia.

41. Trabajo en equipo: • Realizar las actividades programadas en el Cuaderno de Prácticas (Trabajo en equipo) que se entregará en la clase de Seminario. • Las actividades deberán terminarse durante la semana y se entregará el Cuaderno cumplimentado al comienzo de la siguiente sesión del Seminario.