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連續隨機變數

連續隨機變數. 連續變數：時間、分數、重量、 …… 討論連續隨機變數的機率時，所討論的機率是某一段區間或某一塊區域的機率，如： P(a<X<a) 而不是某一點的機率，因為 P(X=a) = 0 依據什麼來求機率值？ 資料的分布以直方圖表示. 9.1 連續分配. 直方圖 → 連續曲線 → 機率密度函數 (probability density function). 曲線的高度代表相對發生機會 (density) 連續曲線下方介於 a 與 b 之間的 面積 ，即是其可能值出現在 a 與 b 之間的機率。 曲線下全面積 = 1. →.

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連續隨機變數

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Presentation Transcript

  1. 連續隨機變數 • 連續變數：時間、分數、重量、…… • 討論連續隨機變數的機率時，所討論的機率是某一段區間或某一塊區域的機率，如： P(a<X<a) • 而不是某一點的機率，因為 P(X=a) = 0 • 依據什麼來求機率值？ • 資料的分布以直方圖表示

  2. 9.1 連續分配 直方圖 → 連續曲線 → 機率密度函數 (probability density function) • 曲線的高度代表相對發生機會 (density) • 連續曲線下方介於a 與b 之間的面積，即是其可能值出現在a 與b 之間的機率。 • 曲線下全面積 = 1 → P (a<X<b)

  3. 9.2 常態分布 • 常態曲線的數學方程式為 • 常態分布 pdf 的圖形是一個鐘型曲線，中心點為μ，左右對稱

  4. 常態分布由兩個參數決定μ：平均數，σ：標準差，記作 N(μ, σ2 ) 不論參數如何變，形狀都是鐘形，中心點是μ，σ是寬度的代表值 μ不同σ相同 μ相同σ不同 μ不同σ不同

  5. 常態分布之機率密度函數 • μ= 0 ，σ= 1 時，稱為標準常態分布，此變數通常記作 Z • 如何求機率值？ N(μ, σ2 ) 之 pdf

  6. 標準常態分布表 • 附表I ：標準常態分配曲線下方，z＝0與其他z 值之間的面積 (機率值) P(0<Z<z)

  7. 標準常態機率值表， P(0<Z<z) (z-table) 小數第二位 P(0<Z<0.53) = ?

  8. 求標準常態的機率 P(0<Z<0.53) = 0 到 0.53 間的面積 利用對稱性求： • P(-0.25<Z<0) • P(-0.25<Z<0.53) • P(Z>0.53) • P(|Z|<0.53) • P(|Z|>0.53)

  9. 例9.3 求介於-1.2 與 0 之間的面積 介於-1.20 與0 之間的面積 ＝ 介於1.20 與0 之間的面積 查附表I ，面積 ＝ 0.3849。 解答：

  10. 範例9.4：請找出下列標準常態分配的機率(a) P(Z< 0.94)； (b) P(Z > -0.65)； (c) P(Z >1.76)；(d) P(Z< -0.85)；(e) P( -0.87<Z<1.28)；(e) P( -0.34 <Z< 0.62)。 解答：

  11. 常態分布特性 P(|Z|<1) = ？ P(|Z|<2) = ？ P(|Z|<3) = ？

  12. 常態變數與 Z 的關係 • 若 X ~ N (μ, σ2 ), 則 (X-μ) / σ = Z • X-μ ：資料減 µ，則中心點為 0 • (X-μ) / σ：資料除以 σ，則單位長度為 1

  13. 變數標準化 • 標準化：

  14. 求任一常態變數的機率 若 X 遵循一常態分布，μ= 5，σ = 2，求： • P(5<X<8) • P(7<X) • P(X>3) • P(3<X<9) • P(|X-5|<3) • P(|X-5|>1)

  15. 解答： 將x＝12與x＝15轉換成標準單位，得到 P(12<X<15) = P(0.4 < Z < 1) = 0.3413－0.1554 ＝0.1859 (查附表I，得到0.1554與0.3413)

  16. 由機率求得對應的資料 (percentile) (a) P(Z>a) = 0.2, 問 a=？ (b) 求Z 之 80 percentile (c) P(Z <b) = 0.7，問 b=？ (d) P(|Z|<c) = 0.95 ，問 c=？ (e) P(|Z|>d) =0.10，問 d=？ 範例9.6：定義 zα為其右側面積為α之 z 值，求 (a) z.01，(b) z.05

  17. 解答： • z 0.01表示附表I 的數值為0.5－0.01＝0.49， 0.4901對應的z 值為2.33，所以 z0.01＝2.33。 • z0.05表示附表I當中的數值為0.4500， 最接近的數值，有0.4495與0.4505， 對應的z 值分別為1.64與1.65，所以 z0.05＝1.645。

  18. 求機率對應的 x 值 若 X 遵循一常態分布，μ= 5，σ = 2， • P(X>x)=0.05，x=? • P(x<X)=0.75, x=? • P(X<x) = 0.2, x=? • P(|X-5|<x)=0.9, x=? • P(|X-5|>x)=0.95, x=?

  19. 9.4 常態分配的應用

  20. 解答： • x = 5，z＝1.10，其對應值（機率）為0.3643， 超過 5 的機率 = 0.5000－0.3643＝0.1357，或大約0.14。 (b) x = 3 與 4，z＝2.29 與z＝0.59，對應機率為 0.4890與 0.2224， 介於3 與 4 的機率為0.4890－0.2224＝0.2666，或大約0.27。

  21. σ= 0.04 、x＝6.00，面積 = 2% 最接近的數值是 0.4798 對應的z 值為 2.05 解答： 解方程式，得 μ= 6.00 + 2.05(0.04) = 6.082

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