FIFEI-03 Mechanika – dynamika hmotného bodu a soustav y hmotných bodů.

1. FIFEI-03 Mechanika – dynamika hmotného bodu a soustavy hmotných bodů. http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIfei_03.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

2. Hlavní body • Dynamika hmotného bodu • Síla, hmotnost, hybnost, Newtonovy zákony • Impuls síly, práce, kinetická energie, výkon síly • Blíže k realitě : soustava (systém) hmotných bodů a dokonale tuhé těleso • První impulsová věta • Moment hybnosti – základní zákony zachování • Dynamika rotačních pohybů • Druhá impulsová věta • Hmotný střed, moment setrvačnosti a Steinerova věta • Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa

3. Úvod do dynamiky • Mechanika by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody proč se tělesa dávají do pohybu, zrychlují, zpomalují, zakřivuje se jejich dráha nebo co se děje při jejich srážce. • Pohybují-li se tělesa (s neměnící se hmotností) s nenulovýmzrychlením, musí na ně působitnenulová síla, obecně výslednice působících sil. • Ale k udrženírovnoměrnéhopřímočarého pohybu síly tedy třeba není . • Dojít k tomuto jednoduchému závěru bylo velice obtížné a zdlouhavé, protože síly, jako například tření, nemusí být patrné a mohou být i dalekodosahové.

4. Síla • Síla je příčinou proč jsou objekty v rovnováze, dávají se do pohybu, padají k zemi, brzdí nebo mění směr svého pohybu. • Jednotkou síly v soustavě SI je jeden newton: • Síla je vektorovou veličinou, výsledná síla je vektorovým součtem všech působících sil. • Síly mohou být způsobené přímým dotykem těles nebo dalekodosahové. Ty působí na dálku bez přímého kontaktu ovlivňujících se těles.

5. Hmotnost • Intuitivně považujeme hmotnost za míru množstvílátky. • Jednotkou hmotnosti v soustavě SI je jeden kilogram. • Ukazuje se, že setrvačná hmotnost je velmi přesně rovna hmotnosti gravitační. • Dynamika ukazuje že přesněji je to mírasetrvačnosti tělesa. • Čím je těleso těžší, tím obtížněji lze změnit jeho pohybový stav.

6. Hybnost • Pohybovýstav hmotného bodu lze popsat vektorem hybnosti definovaným jako: • Význam hybnosti spočívá v tom, že se zachovává, když je výslednicesil působících na hmotný bod nulová. Pokud nulová není, mění se. Záleží na všech interakcích s jinými hmotnými body i se silovými poli.

7. Newtonovy zákony • Isaac Newton (1642-1727) geniálně shrnul poznatky klasické dynamiky do tří zákonů: • Zákonu setrvačnosti • Zákonu síly • Zákonu akceareakce • Upřesnění těchto zákonů bylo nutné až za hranicemi klasické mechaniky, při vysokýchrychlostech a v mikrosvětě .

8. Zákon setrvačnosti • Nepůsobí-li na hmotný bod síla, pohybuje se rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. • Přesněji: Je-li síla působící na hmotný bod nulová, je jeho hybnost konstantní. • Silou se zde a dále obecně rozumí výslednicevšech působících sil. Samozřejmě i reakčních! • V této formulaci jsou zahrnuty i speciální pohyby, kde se měníhmotnost, jako raketový.

9. Zákon síly I • Síla působící na hmotný bod je rovnačasovézměně jeho hybnosti. • Za předpokladu, že hmotnost zůstává konstantní, platí formulace jednodušší : • Jednotkou síly je 1newton : N = kg m s-2

10. Zákon síly II • Předchozí vztahy jsou vektorové. Platí tedy i v příslušných složkách. Například: • Nenulová druhá složka síly je rovna změně druhé složky hybnosti v čase. • Je-li třetí složka síly nulová, je třetí složka hybnosti konstantní, atd.

11. Zákon akce a reakce • Působí-li těleso 1 na těleso 2 silou , působí i těleso 2na těleso 1 silou . • Obě síly jsou stejněvelké, ale opačněorientované: . • Každá působí na jiné těleso a proto se tyto síly spolu nedajíobecněsložit. • Složit se dají jen když je mezi tělesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je účineksilnulový.

12. Časový účinek síly - impuls • Působí-li konstantnísíla po jistou dobu, dostáváme integrací 2. Newtonova zákona : Změnahybnosti se rovnáimpulsu síly. • Je tedy důležité, jakdlouho síla působí. • Vztah opět platí samozřejmě i ve složkách.

13. Dráhový účinek síly– práce I • Pro jednoduchost předpokládejme konstantnísílu a hmotnost a pohyb jednímsměrem(po jedné přímce = ose x). • V důsledku působení síly se stav hmotného bodu změní (t1, x1, v1) -> (t2, x2, v2). • Z 2.NZ víme, že se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb a můžeme použít vztahu pro souřadnici v čase t, známého z kinematiky:

14. Dráhový účinek síly - práce II • Pro konkrétní čas t2 tedy platí: • Vyjádříme a a čas (pomocí rychlosti) : • a = F/m • (t2 – t1) = (v2 – v1)/a = (v2 – v1)m/F • Poúpravě :

15. Dráhový účinek síly– práce III • Tedy :A = F x = v22 m/2– v21 m/2 = Ek •  Aje práce, kterou vykoná síla F na drázex • mv2/2 = Ek je kinetická(pohybová) energie • Obě veličiny mají rozměr energie a v SI jednotku1joule : J = Nm= kg m2 s-2 • Obecně se musí uvažovat průmětsílydosměrupohybu. Práce je tedy skalární součin :

16. *Dráhový účinek síly I • Uvažujme opět jednorozměrný případ působení konstantní síly na kompaktní hmotný bod. V obecnějším případě bychom ztotožnili osu x se směrem posunu a uvažovali pouze složku síly do tohoto směru. • Použili jsme: • Lze ukázat:

17. Výkon působící síly • Často je důležité, za jakou dobu došlo k vykonání určité práce. To charakterizujeme výkonem, který chápeme jako rychlostkonánípráce a definujeme analogicky jako ‘klasickou’ rychlost : • Průměrný výkon :<P> = A/t • Okamžitý výkon : P = dA/dt • Jednotkou výkonu v SI je 1wattW = Js-1

18. Soustava hmotných bodů I • Dosud jsme se zabývali mechanikou hmotnéhobodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici základních veličin mechaniky, ale při splnění příslušných předpokladů ji lze použít i k řešení skutečných problémů. • Obecný sytém lze chápat jako soustavuhmotných bodů, které spolu jistým způsobem interagují.

19. Hmotný střed I • Celou soustavu lze reprezentovat těžištěm, přesněji hmotnýmstředem , ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy • Definice těžiště platí i ve složkách, čehož se využívá, má-li problém méně dimenzí než 3: , ,

20. *Hmotný střed II • Získáme ho integrací rovnice pro celkovou hybnost :

21. Hmotný střed II • Hmotný střed: • Nezávisí na volbě souřadné soustavy. Ale její vhodná volba může značně usnadnit výpočet. • Je v průsečíku prvků symetrie. S ohledem na to volíme souřadnou soustavu. • U těles s rotační symetrií lze využít Pappovateorému : dráha těžiště x plocha = objem. • U těles, skládajících se ze součástek lze jako uvažovat těžiště těchto součástek a mi jejich hmotnosti.

22. Hmotný střed III • Uvažujme nový počátek v těžišti • Potom : • Této rovnosti lze využít k důkazu důležitých vlastností těžiště : rotace systému kolem libovolné osy, procházející těžištěm a pohyb posuvný neboli translační tohoto těžiště v prostoru jsou pohyby na sobě nezávislé.

23. První věta impulsová I • Na i-tý hmotný bod působí výslednice sil, kterou můžeme rozdělit na výslednici vnitřních sil, pocházejících z interakce s hmotnými body, které jsou součástí systému a výslednici sil vnějších. Podle 2. Nz.:

24. První věta impulsová II • Celkováhybnost systému je vektorovýsoučet všech hybností: • Potom platí: !

25. První věta impulsová III • Časová změnacelkovéhybnosti je rovna výslednici vnějších sil. • Jinými slovy celkovou hybnost mohou ovlivnitpouzevnější síly. • Je to významný důsledek platnosti zákona akce a reakce. Součet všech vnitřních sil přes celý systém je totiž roven nule :

26. Moment hybnosti – základní zákony zachování • Z dynamiky hmotného bodu je zřejmé, že je-li výslednice působících sil nulová, zachovává hmotný bod svoji hybnost a kinetickou energii. • Přímočarý pohyb je možné chápat jako okamžitou rotaci kolem počátku a definovat rotační pohybový stav hmotného bodu – moment hybnosti: • Tato veličina se zachovává. K zachování dochází i při působení nenulové síly, pokud je kolineární s průvodičem, například centrálnísíla při pohybu planet.

27. Skalární součin Ať DefiniceI (ve složkách) • Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

28. Příklad na výpočet těžiště I • Mějme čtyři koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, ležící na jedné přímce vždy 1 m od sebe. Kde je těžiště tohoto systému? • Leží-li koule na přímce je tato přímka osou symetrie, problém je jednorozměrný a je vhodné právě tuto přímku ztotožnit s jednou z os, například osou x. Poloha těžiště na volbě počátku samozřejmě nezávisí, ale je výhodné zvolit počátek ve středu jedné z koulí, např. první. Potom: Těžiště tedy leží ve středu třetí koule a můžete si vyzkoušet, že tam bude ležet i při jiné volbě počátku.

29. Příklad na výpočet těžiště II • Mějme opět čtyři koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, ležící v rozích čtverce o straně 1 m. Kde je těžiště tohoto systému? • Problém má nyní rovinu symetrie a je tedy dvourozměrný. Osy zavedeme, aby na nich ležely dvě kolmé strany čtverce, čili jedna koule leží v počátku. Ať tedy koulemajínapř. souřadnice: 1:[0,0], 2:[1,0], 3:[0,1] a 4:[1,1]. Potom: Těžiště má souřadnice [0.6, 0.7]. Koule s příslušnou souřadnici nulovou jsme již ve výpočtu vůbec neuvažovali.

30. Příklad na výpočet těžiště III • Mějme nyní koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg v některých rozích krychle o straně 1 m. Kde je těžiště tohoto systému? • Nyní problém nemá symetrii a je třírozměrný. Stále je ale výhodné zavést speciálně souřadnou soustavu, takže např. souřadnice koulí jsou: 1:[0,0,0], 2:[1,0,0], 3:[0,1,0] a 4:[0,0,1]. Potom: Těžiště má souřadnice [0.2, 0.3, 0.4]. Koule s příslušnou souřadnici nulovou jsme již ve výpočtu vůbec neuvažovali A neopakujeme již ani definice složek těžiště. ^

31. Příklad na výpočet těžiště IV • Kde leží těžiště půlkruhu, který vznikl rozpůlením kruhové desky o poloměru a? • Problém má jednak rovinu symetrie a je tedy dvourozměrný a dále dvojčetnou osu, procházející středem původní kruhové desky kolmo na řez. Tu ztotožníme s osou x a na ní hledáme těžiště. Osa y bude přímka řezu a počátek tedy původní střed. • Otočíme-li půlkruh kolem osy y o jednu otáčku, dostaneme kouli. Bude-li souřadnice těžiště xT, bude podle Pappova teorému platit:

32. Příklad na výpočet těžiště V • Poněkud složitější cestou řešení předchozího problému je integrace v polárních souřadnicích : • Integrací lze ale řešit problémy s podstatně slabšími požadavky na symetrii, než vyžaduje Pappův teorém. ^