Şartlı Olasılık

1. Şartlı Olasılık • Bir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının belirtilmesi şarttır. • Söz konusu örnek uzay her zaman açık olarak anlaşılamaz. Bu sebeple, veri örnek uzay (S) içindeki bir olayın (A) ihtimali sorulduğunda P(A / S) yazılarak veri örnek uzayı belirlenmiş olur. Burada P(A / S) sembolü S örnek uzayına göre A olayının şartlı olasılığını gösterir. Ancak, eğer örnek uzay (S) açıkça belli ise A olayının olasılığı P(A) şeklinde kısaltılmaktadır. • Örnek:Aşağıdaki tabloda 100 tükenmez kalem iki değişik marka (A ve B) ve iki renge (mavi ve siyah) göre sınıflandırılmıştır.

2. Kırmızı renk K, yeşil renk Y ile gösterilecek olursa rassal olarak seçilen bir kalemin kırmızı olması olasılığı herhangi bir şart dile getirilmediğinden bütün kütle dikkate alınarak hesaplanır. • Benzer şekilde Yeşil bir kalem seçme, markası A olan, markası B olan kalem seçme olasılıkları da benzer şekilde şartsız olasılık şeklinde hesaplanır.

3. Eğer markası A olan kırmızı bir kalemin seçilmesi olasılığı sorulursa örnek uzay daraltılmış olur. Yani markası A olan kalem sayısı veri örnek uzayı olur ve bu örnek uzay içindeki kırmızı bir kalemin seçilmesi olasılığı: • Markası A olan Yeşil bir kalem seçme olasılığı: • Markası B olan kırmızı kalem seçme olasılığı: • Diğer şartlı olasılıklar:

4. S örnek uzayın A ve B olaylarını göz önüne alalım. Eğer P(A)>0 ise, A olayının gerçekleşmesi şartıyla B olayının gerçekleşme olasılığı, • şeklinde yazılır. Bu olasılığa şartlı olasılık adı verilir. Burada şartlı örnek uzayı (indirgenmiş olay) A’dır. • Benzer şekilde B olayı gerçekleşmek şartıyla A olayının gerçekleşme olasılığı da P(B)>0 olmak üzere: • Şeklinde yazılır.

5. Örnek:Bir işletmede belli bir siparişin vaktinde sevke hazır hale getirilme olasılığı %90 sevke hazır olan siparişin yerine zamanında teslim edilme olasılığı 0,75’dir. Buna göre; Zamanında sevke hazır hale getirilen siparişin zamanında teslim edilme olasılığı nedir? • Çözüm:A: zamanında sevke hazır hale gelme olayı, B: zamanında yerine teslim edilme olayı. Zamanında sevke hazır hale getirilmek şartıyla, siparişin zamanında teslim edilme olasılığı: Örnek:Yapılan araştırmalara göre 10 yaşına gelen 100000 çocuktan 40 yaşında hayatta kalanların sayısı 82227 ve 70 yaşında hayatta kalanların sayısı 37877 dir. Buna göre 40 yaşına ulaşmış bir kişinin 70 yaşına kadar hayatta kalma olasılığı ne olur? (Cevap = 0,46)

6. Teorem:A ve B olayları bağımlı olaylar ise, bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı genel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre belirlenir. • P(AB)=P(B) . P(A/B) burada P(B) >0 • P(AB)=P(A) . P(B/A) burada P(A) >0 • Bu teoreme göre, A ve B olaylarının her ikisinin birden meydana gelme olasılığı, bunlardan birinin meydana gelme olasılığı ile, biri meydana geldikten sonra diğerinin meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir. • Mesela, yukarıdaki kalem örneğinde bir tükenmez kalem seçildiğinde bunun markasının A ve renginin kırmızı olması olasılığı, markasının A olması olasılığı ile markası A olarak seçilen bir kalemin kırmızı olması olasılığının çarpımına eşittir.

7. Eğer iki olaydan birinin meydana gelme olasılığı diğerinin meydana gelip gelmemesinden etkilenmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. • Teorem:İki olay bağımsızsa bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı özel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre bulunur. • P(AB)=P(A) . P(B) yazılır. • İspat: A ve B bağımsız ve P(B)0 ise • P(A)=P(A/B) olur. Diğer taraftan teorem 1’e göre • P(AB)=P(B) .P(A/B) olduğundan • P(A) . P(B) = P(B) . P(A/B) olur. bu eşitliğin her iki tarafı P(B)’ye bölünürse, • P(A)=P(A/B) elde edilir. • Mesela:İki para birlikte atıldığında, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı bağımsız olaylardır.

8. Genel çarpım kuralını A, B, C gibi üç olay için şöyle yazabiliriz. • P(ABC) = P(AB) . P(C/AB) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB) • Dört olay için şöyle yazabiliriz. • P(ABCD) = P(ABC) . P(D/ABC) • = P(A) . P(B/A) . P(C/AB) . P(D/ABC) • Örnek:5’i siyah, 10’u mavi toplam 15 kalem bulunan bir kutu olsun. Kutudan iadesiz olarak peş peşe 3 siyah kalem çekme olasılığı nedir? 1. Çekilişte siyah kalem çıkma olasılığı: 1.de siyah çekildiğinde 2. de de siyah çekme olasılığı : 1 ve 2.de siyah çekildiğinde 3.de de siyah kalem çekme olasılığı: • Bu üç olasılığın çarpımları, ard arda 3 siyah kalem çekme olasılığını verecektir.

9. Örnek:Bir kutuda 1 den 9 a kadar numaralanmış biletler vardır. Kutudan artarda 3 bilet çekildiğinde; • a) tek, çift, tek veya çift, tek, çift çekilme olasılığını bulunuz. • b) çekilen biletlerden en az 2 tanesinin çift olma olasılığını bulunuz. • Çözüm: • a) • b)

10. Teorem:A ve B bağımsız olaylar ise, iki olayın bağımsız olması için aşağıdaki şartların sağlanması gerekir. • 1) P(AB’) = P(A) . P(B’) • 2) P(A’B) = P(A’) . P(B) • 3) P(A’B’) = P(A’) . P(B’) . Örnek:Bir fabrikaya alınacak bir mühendisin uzun boylu (U) ve işinin ehli olması (E) ihtimali 0,1 , uzun boylu ve işten anlamaması ihtimali (E’) 0,15 , kısa boylu (U’) ve işinin ehli olması ihtimali 0,3 , kısa boylu ve işten anlamaması ihtimali 0,45 dir. Bu iki olay birbirinden bağımlı mıdır, değil midir?. P(UE)=0,1 P(UE’)=0,15 P(U’E)=0,3 P(U’E’)=0,45

11. Tanım:Eğer A1, A2,.......Ar olaylarından 2,3,.....,r tanesinin kesişiminin olasılığı (kombinasyonlarının olasılığı) bunların tek tek olasılıkları çarpımına eşit ise, bu olaylar bağımsızdır. • Mesela A, B, C gibi üç olay için • P(AB) = P(A) . P(B), • P(AC)=P(A) . P(C), • P(BC)=P(B) . P(C), • P(ABC)=P(A).P(B).P(C) ise A, B, C olayları bağımsız olaylardır. Söz konusu 3 olayın bağımsız olabilmesi için yukarıdaki şartların tamamının gerçekleşmesi gerekir

12. Örnek: 1 den 8 e kadar sayılar arasında tesadüfi olarak bir sayı çekiliyor, her sayının çekilme şansı eşit ve ihtimali 1/8 dir. A olayı: 2 ye tam olarak bölünebilen sayılar B olayı: 4 ten büyük sayılar C olayı: 2 en küçük tek sayı ve 2 en büyük çift sayı ise bu 3 olay bağımsızmıdır? A={2,4,6,8} B={5,6,7,8} C={1,3,6,8} P(A)=4/8=1/2 P(B)= 4/8=1/2 P(C)= 4/8=1/2 P(A∩B)=2/8=1/4 P(A).P(B)=(1/2).(1/2)=1/4 1.şart sağlandı P(A∩C)=2/8=1/4 P(A).P(C)=(1/2).(1/2)=1/4 2.şart sağlandı P(B∩C)=2/8=1/4 P(B).P(C)=(1/2).(1/2)=1/4 3.şart sağlandı P(A∩B∩C)=2/8=1/4 P(A). P(B).P(C)=(1/2).(1/2) .(1/2)=1/8 4.şart sağlanmadı Sonuç: 3 olay bağımsız değildir, bağımlıdır.

13. Örnek: Bir torbada 6 beyaz 4 siyah top vardır. 2 top iadesiz ve tesadüfi olarak çekiliyor. • a) İkisinin de beyaz • b) İkisinin de siyah • c) Birinin beyaz, diğerinin siyah olma olasılığı nedir? • Çözüm: • a) • b) • c)

14. Olasılıkların Çarpımının Toplanması Kuralı ve Bayes Teoremi Çoğu zaman son meydana gelen olay, daha önce bazı olayların meydana gelip gelmemesine dayanır. Mesela bir hastanın iyileşmesi olayı, hastalığın doğru teşhisi olayı ve uygun tedavinin tatbiki olayına dayanır. Bir cihazın güvenilir olarak çalışabilir olması, cihazın dizaynından, mamul hale gelene kadar geçirdiği safhaların başarılı bir şekilde neticelendirilmiş olmasına bağlıdır. Bu ve benzeri konularda kullanılabilecek genel bir teknik geliştirmek için aşağıdaki problemi inceleyelim. Örnek:İçerisinde çeşitli sayılarda top bulunan üç kutu veriliyor. Bu kutulardan 1. sinde 4’ü siyah 10 top, 2.sinde 2’si siyah 8 top, 3.sünde 5’i siyah 15 top mevcuttur. Bu kutulardan birisi tesadüfi olarak seçiliyor. Bu kutudan rassal olarak çekilen topun siyah olma olasılığı ne olur?

15. Çözüm:Burada önce bir kutu seçimi söz konusu, 1.2. ve 3. kutulardan birini seçme olasılığı eşit olup 1/3 ‘tür. Seçilen kutulara göre siyah top çekme olasılıkları: • 1. Kutudan siyah top çekme olasılığı: • 2. Kutudan siyah top çekme olasılığı: • 3. Kutudan siyah top çekme olasılığı: • Ağaç diyagramı ile problem şöyle gösterilebilir.

16. Genel çarpım kuralına göre, • 1. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: • 2. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması i olasılığı: • 3. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: • Yukarıdaki üç olasılık birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen olayların olasılığı olduğundan • Yukarıdakine benzer problemleri çözmek için “olasılıkların çarpımlarının toplamı kuralı” olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi kullanmak gerekmektedir.

17. Teorem: (Olasılıkların çarpımlarının toplamı) Birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen B1, B2,…., Bn olaylarının birleşimi S örnek uzayını teşkil ediyorsa ve bu olaylardan biri mutlaka meydana geliyorsa bu durumda bu olaylar vasıtasıyla meydana gelen herhangi bir A olayının olasılığı şöyle yazılır. • Eğer bir olayın gerçekleşmesi, birbirinin alternatifi olan iki olaya bağlı ise eliminasyon kuralının özel bir durumu söz konusu olur. • Eğer B ve B’ iki alternatif olay ise yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde yazılabilir.

18. Problem:Bir fabrikada yapılan üretimin; %55’i A %30’u B, %15’i C makinesinde gerçekleştirilmektedir. Bu makinelerin kusurlu oranları sırasıyla %2, %3, %8 şeklindedir. Bu fabrikadaki üretimin kusurlu oranı ne olur? • Çözüm: • P(A) = 0,55 P(K/A) = 0,02 • P(B) = 0,30 P(K/B) = 0,03 • P(C) = 0,15 P(K/C) = 0,08 • P(K ) = P(A) . P(K/A) + P(B) . P(K/B) + P(C) . P(K/C) • P(K) = 0,55 x 0,02+0,3 x0,03 + 0,15x0,08  P(K)= 0,032 • Örnek: Bir hastalığın tedavisinde iki ilaç geliştirilmiştir. Bu ilaçların hastalığı tedavi etme olasılıkları: A İlacı için 0,7 B İlacı için 0,5 olarak ölçülmüştür. • Herhangi bir doktorun hastasına bu ilaçları tatbik ettiğinde hastaların iyileşme olasılıkları A ilacı için 0,6 Bilacı için 0,4 olduğu görülmüştür. Bu hastalığa yakalanan bir hastanın tedavi sonucu iyileşme olasılığı ne olur? (T: Tedavi olma durumu) • Çözüm:

19. Bayes Teoremi:B1, B2, B3, …….., Bk olayları birbirini karşılıklı engelleyen olaylar olmak üzere bu olaylar vasıtasıyla ulaşılan bir olay A olayı olsun. A olayı meydana geldiği takdirde bu durumun Br olayından kaynaklanmış olma olasılığı Bayes teoremi ile şöyle ifade edilir. (P(A)>0) • Veya kısaca şöyle yazılır.

20. Problem:İki ayrı fabrika tarafından imal edilen elektronik cihazların %70 ‘i A, %30 ‘u B fabrikası tarafından üretilmektedir. A fabrikalarında üretilen cihazların %4’ü, B fabrikasında üretilen cihazların %7’si kusurludur. Bu cihazlardan biri rasgele seçildiğinde kusurlu olduğu görülüyor. • a) Bu cihazın B fabrikasında üretilmiş olma olasılığını, • b) Bu cihazın A fabrikasında üretilmiş olma olasılığını bulunuz. • Çözüm: K: Cihazın kusurlu olma olasılığı • A: Cihazın A fabrikasının ürünü olma durumu B: Cihazın A fabrikasının ürünü olma durumu

21. Problem:Bir mamul B1, B2 ve B3 gibi 3 makine tarafından üretilmektedir • Üretilen mamullerin %60’ı B1 de • %30’u B2 de • %10’u B3 makinesinde gerçekleşmektedir. • Bu makinelerin hatalı üretim oranları ise sırası ile %2,%4,%6 ‘dır. Bu makineler tarafından üretilen mamul yığınından rastgele seçilen bir mamulün • a) Hatalı olma olasılığı • b) Sağlam olma olasılığı • c) Hatalı olarak seçilen bu mamulün B3 tezgahında üretilme olasılığı ne olur?

22. Çözüm:K olayı mamulün kusurlu, S olayı sağlam olma olasılığı olmak üzere:

23. Problem: Bir doktor hastasının H1, H2 ve H3 hastalıklarından birine yakalandığını eşit olasılıklarla tahmin etmektedir. Bu hastalığı belirlemek için bir test işlemi yapmaktadır. Bu test ile hastalığın H1 olması halinde pozitif sonuç vermesi olasılığı 0.8, H2 için 0.6, H3 için 0.4 olduğu bilinmektedir. Test pozitif sonuç verdiğine göre doktorun • a) H1 teşhisi koyma olasılığı • b) H2 teşhisi koyma olasılığı • c) H3 teşhisi koyma olasılığını bulunuz. • Çözüm:

24. a) • b) • c)

25. a) Herhangi bir günde havanın soğuk olma olasılığını bulunuz. b) Havanın soğuk olduğu bilindiğine göre güneşli olma olasılığı ne olur? Problem: Bir bölgede hava durumu ve havanın durumuna göre soğuk olma olasılıkları verilmiştir. Buna göre;