3.1.1 方程的根与函数的零点

1. 3.1.1 方程的根与函数的零点 池州市第八中学 许柳慧

2. 提出问题 引入新课 怎么解呢？

3. 花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。 阿贝尔(1802～1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。 方程解法史话:

4. 问题2：求下面这个方程的实数根 怎么解呢？

5. 怎么解一般的方程 问题3 ? 转换角度！用函数的思想去解决方程的问题。即：通过研究相应函数去解方程。

6. 问题4 ?

7. 思考探究一

8. 思考探究一 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数

9. y . . 2 1 . . 0 x －1 1 2 3 －1 －2 －3 . －4 . . . . y . y 5 4 2 3 1 2 1 0 x . －1 1 2 . 0 x －1 1 2 3 . . . 方程 x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 函数 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3 函 数 的 图 象 x1=－1,x2=3 无实数根 x1=x2=1 方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点 (－1,0)、(3,0) 无交点 (1,0)

10. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的图象，以 y x1 0 x2 x y 0 x1 x y 0 x 两个不相等的实数根x1 、x2 有两个相等的实数根x1 = x2 无实数根 两个交点(x1,0) , (x2,0) 函数的图象与 x 轴的交点 无交点 结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与X轴无交点。

11. 推广到更一般的情况，得：

12. 实数 零点是一个点吗? 1.函数的零点： (1)零点是一个实数

13. 所以：

14. 练习1 1.函数 的零点是：_____ 3.函数 的零点是：_____ 5.函数 的零点个数是：____ 1 2.函数 的零点是：_____ 0 0 4.函数 的零点个数是：_____ 2

15. 练习2 函数y=f( x)的图象如下， 则其零点为. -2,1,3

16. 思考探究二 所有函数都存在零点吗？ 什么条件下才能确定零点的存在呢？

17. 思考探究二 ①在区间[-2,1]上有零点______。 -1 5 -4 < ② 在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？

18. 思考探究二 y x a 0 b c d

19. 思考探究二 y y 0 x 0 x y x 0

20. 连续不断 如果函数 的一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0， 那么 （a,b）内有零点，即存在 c也就是方程 2.零点存在性定理： （1）两个前提条件缺一不可 （2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？ 至少有一个， 可以有多个。

21. 连续不断 如果函数 的一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0，并且是单调函数， 那么 y （a,b）内有且只有一个零点。 0 x （3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？

22. y x 0 (4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f( a )·f( b )<0的结论吗？ 反之不成立！ (5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。

23. 练习2： 练习2：已知函数f(x)的图象是连续不断的， 且有如下的x ,f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26 那么该函数在区间[1，6]上有（ ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定 练习1：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5 一定有零点（ ） A、(－1,0） 　B、(0,1） C、(1,2） 　 D、(2,3） C B

24. 小结 1.知识和要求：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会图象连续的函数在某区间上存在零点的判定方法。 2.数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。

25. 作业 第88页练习1；第92页A组第二题。

26. 再见