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第四章 Z 变换 §4-1 引言

第四章 Z 变换 §4-1 引言. 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一 . 时域 分析法 1. 连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2. 离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。. 二 . 变换域 分析法 1. 连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2. 离散时间信号与系统： Z 变换， DFT(FFT) 。 Z 变换可将差分方程转化为代数方程。. §4-2 Z 变换的定义及收敛域.

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第四章 Z 变换 §4-1 引言

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  1. 第四章 Z变换§4-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。

  2. 二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。

  3. §4-2 Z变换的定义及收敛域 一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。

  4. 二.收敛域 • 1.定义: • 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 • 集合称作X(z)的收敛域. 2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

  5. 3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。

  6. 同样,对于级数 ，满足 • 的z，级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。

  7. (n) . . . n 0 n2 n1 (2).有限长序列

  8. x(n) ... . . n n1 0 1 3. 右边序列 *第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,

  9. 第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞; Rx-为最小收敛半径。 收敛域

  10. (4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：

  11. x(n) 0 n n 2 (5)左边序列

  12. 第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .

  13. x n 0 (6)双边序列 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

  14. 第一项为右边序列(因果)其收敛域为： 第二项为左边序列，其收敛域为： 当Rx-<Rx+时，其收敛域为

  15. [例2-1] 求序列 的Z变换及收敛域。 解：这相当 时的有限长序列， 其收敛域应包括 即 充满整个Z平面。

  16. [例2-2] 求序列 的Z变换及收敛域。 解： 当 时，这是无穷递缩等比级数。

  17. 收敛域： *收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。

  18. [例2-3]求序列 变换及收敛域。 • 同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。 收敛域： *收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。

  19. §4-3 Z反变换 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。

  20. z变换公式： C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线. 0 c

  21. 二.求Z反变换的方法 1.留数法 由留数定理可知： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res[ ]表示极点处的留数。

  22. 留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：

  23. [例2-4] 已知 ，求z反变换。 解: 1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此

  24. 2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:

  25. 2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。

  26. 通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：

  27. 分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54 表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。 [例2-5]利用部分分式法，求 的z反变换。 解：

  28. 3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。

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