SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

1. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI “L’essenza della Matematica risiede nella sua libertà” G. Cantor

2. Saper scomporre un polinomio come prodotto di fattori è importante perché: • Affrontando le frazioni algebriche sorge la necessità di semplificarle, effettuare operazioni con esse e perciò occorre calcolare M.C.D. e m.c.m. tra polinomi • Nell’affrontare lo studio di funzione può risultare proficuo l’utilizzo della scomposizione in fattori del polinomio che la rappresenta, ad esempio per determinarne gli zeri (utilizzando la legge di annullamento del prodotto) o per studiarne la positività.

3. LAVORO IN CLASSE ANALOGIE CON LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI IN N Per scomporre un numero naturale in fattori primi esiste un metodo certo: si divide il numero per tutti i numeri minori di esso e si verifica quali sono i divisori. Se necessario si può ricorrere all’utilizzo dell’elaboratore; altrimenti si utilizzano i criteri di divisibilità che ci permettono di operare manualmente • ESERCIZI CHE EVIDENZIANO L’IMPORTANZA DELLA PROPRIETA’ • DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALL’ADDIZIONE • Calcola mentalmente la seguente somma algebrica in Q: • Calcola rapidamente l’area della figura qui sotto: 4 2 3 5 2 2

4. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO ESEMPIO Come già visto nella trattazione dei prodotti notevoli sappiamo che: Scomporre un polinomio P(x) significa determinare opportuni polinomi, diversi dall’unità, tali che, moltiplicati tra loro diano come prodotto P(x)

5. POLINOMI IRRIDUCIBILI Come esistono i numeri primi, così esistono polinomi che non si riescono a scomporre in fattori: tali polinomi si dicono IRRIDUCIBILI Occorre innanzi tutto stabilire in quale insieme si considerano i coefficienti di polinomi considerati Esempio: In Z[x] risulta irriducibile In R[x] può essere scomposto attraverso il prodotto notevole somma per differenza considerando Per cui

6. Risultati “parziali” Il fatto che un polinomio sia scomponibile non significa che si conosca un metodo per scomporlo: non c’è la possibilità di dividere per tutti i polinomi di grado inferiore (non sono individuabili) come invece è possibile fare per i numeri naturali. Come per i numeri naturali, però è possibile stabilire dei “criteri”, delle strategie per scrivere un polinomio sotto forma di prodotto di altri polinomi. Inoltre si può ricorrere all’utilizzo dell’elaboratore che con Derive ci permette di risolvere i problemi piuttosto semplicemente. Vediamo dapprima le strategie proposte e successivamente ci recheremo in laboratorio per verificare gli esercizi risolti in classe.

7. 1° STRATEGIARACCOGLIMENTOSi utilizza la proprietà distributiva dellamoltiplicazione rispetto all’addizione TOTALE: si mette in evidenza il fattore comune a (può risultare utile raccogliere M.C.D.dei termini) Esempio: ax+ay=a(x+y) PARZIALE: si applica la proprietà distributiva a parti del polinomio e successivamente si procede al raccoglimento totale del fattore comune Esempio: ax+by+ay+bx= a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b)

8. 2° STRATEGIAUSO DEI PRODOTTI NOTEVOLI Ritengo fondamentale che durante l’apprendimento dei prodotti notevoli si insista anche su esercizi che propongono anche esercizi di tipo inverso a quelli tradizionali: cioè di riconoscimento del tipo di prodotto notevole che è stato applicato. Ad esempio: Questo sia per evitare che le regole dei prodotti notevoli siano applicate in modo ripetitivo ed automatico, ma soprattutto per preparare i ragazzi al riconoscimento dei polinomi che incontrano. In questo modo questa parte di trattazione risulta limitata alla risoluzione di esercizi, a suggerimenti da parte dell’insegnante di quale prodotto notevole utilizzare, all’evidenziazione di alcuni errori che spesso ricorrono.

9. LAVORO DI GRUPPO: “L’ESPERTO” La classe si divide in gruppi da 4 persone. Ad ogni ragazzo viene attribuito il ruolo di “esperto in un determinato prodotto notevole”. Un elemento del gruppo ha il compito di riconoscere tra i vari polinomi proposti la differenza di due quadrati, un altro deve riconoscere il quadrato di binomio e così via: un prodotto notevole per ogni ragazzo. Viene data una lista di polinomi ad ogni gruppo e ogni esperto deve riconoscere il “suo” prodotto notevole. I risultati vengono commentati alla lavagna. Vedi foglio allegato

10. LAVORO DI GRUPPO: “L’ESPERTO” Successivamente, fornendo altri polinomi, i ragazzi si scambiano i ruoli di “esperti”, anche se questa volta vengono inseriti anche polinomi che non sono risultati di prodotti notevoli. I risultati anche questa volta vengono commentati alla lavagna, sottolineando il motivo per cui certi polinomi non sono il risultato di prodotti notevoli Diamo un esempio di questa seconda lista: Vedi foglio allegato2 NOTA: ovviamente si cerca sempre di inserire in questo tipo di esercizi quelli che i ragazzi chiamano “tranelli”, ovvero possibilità di errore che ricorrono frequentemente. Questo per aiutare i ragazzi ad avere quella necessaria attenzione in questo tipo di esercizi.

11. SUGGERIMENTI PER INDIVIDUARE IL PRODOTTO NOTEVOLE • Quanti termini ha il polinomio? • Di che grado è? • Prova a svolgere il prodotto notevole che tu ipotizzi che corrisponda al • polinomio in questione: tutti i termini coincidono? • Si spiegano altre relazioni non incontrate nello studio precedente dei • prodotti notevoli: somma e differenza di cubi e trinomio speciale • Composizione di più prodotti notevoli, ad esempio: • Qualche “trucco”:

12. ERRORI DA EVITARE • Un modo per evitare errori dovuti ad un apprendimento meccanico • è giustificare (inizialmente anche per iscritto) quali procedimenti o • proprietà vengono applicate. • Nei raccoglimenti, attenzione a mantenere sempre lo stesso numero • di termini; ad esempio spesso si commette un errore di questo tipo: • Non confondere la somma o la differenza di cubi con un cubo di • binomio che è formato anche dai tripli prodotti. • METODO PER “TESTARE” UNA FATTORIZZAZIONE • Sappiamo che se l’espressione fattorizzata è uguale a quella di • partenza, essa assume lo stesso valore per ogni numero assegnato • alla x: scegliamo un valore a piacere; se sostituendolo alla • espressione iniziale e a quella finale ottengo sempre lo stesso • valore, allora è probabile che la fattorizzazione sia esatta. Tuttavia • se le due espressioni sono diverse, allora sicuramente c’è un errore.

13. 3° STRATEGIA:DIVISIONE TRA POLINOMITEOREMA DEL RESTO E TEOREMA DELLA RADICE Possediamo già le competenze necessarie per effettuare la divisione tra due polinomi. Esercizio in classe. Effettuare la seguente operazione: Essa ha per risultato il polinomio 4x+2 e per resto –4 Consideriamo ora il divisore x-1: tale polinomio è nullo se sostituiamo alla x il valore 1. Proviamo ora a sostituire il valore 1 al posto dell’incognita nel polinomio dividendo di partenza; avremo 4-2-6=-4 che coincide con il resto trovato dalla divisione. Alla base di tutto ciò c’è il seguente teorema:

14. TEOREMA DEL RESTO Sia un polinomio di grado 1, il valore che si ottiene sostituendo alla variabile x un numero è il resto della divisione di P(x) per il binomio (x-k) cioè: Se P(x)=Q(x)(x-k)+R allora P(k)=R Dimostrazione Se il polinomio P(x) è diviso per (x-k), possiamo scrivere P(x)=Q(x)(x-k)+R per ogni valore di x Sostituendo k al posto di x avremo P(k)=Q(k)(k-k)+R Da cui P(k)=R C.v.d. IMPORTANTE CONSEGUENZA: SE P(k)=0 ALLORA P(x) E’ DIVISIBILE PER (x-k) DEFINIZIONE DI ZERO O RADICE DI UN POLINOMIO Un numero si dice zero o radice del polinomio se, sostituendo k al posto della variabile x risulta P(k)=0

15. LA CONSEGUENZA PRECEDENTE SI PUO’ ESPRIMERE COSI’: SE k E’ UNO ZERO DI P(x) ALLORA P(x) E’DIVISIBILE PER (x-k) TEOREMA DELLA RADICE (O DI RUFFINI) Un polinomio P(x) è divisibile per (x-k) se e solo se P(k)=0 cioè se k è uno zero del polinomio P(x).

16. Esercizio1: verifica se i binomi del tipo (x-k) sono divisori dei P(x) senza eseguire le divisioni. Esercizio 2: dati i seguenti polinomi P(x) verifica quali dei valori a fianco sono zeri dei polinomi a fianco

17. COME TROVARE IL BINOMIO (x-k) DIVISORE DI P(x) TEOREMA: Dato il polinomio P(x) di grado n>0 con coefficienti interi, i numeri razionali esprimibili mediante frazioni (ridotte ai minimi termini) della forma k=s/t che sono suoi zeri sono necessariamente tra quelli per cui il numeratore s è divisore del termine noto e il denominatore t è divisore del coefficiente direttivo ESERCIZIO: determina i possibili divisori del tipo (x-k) dei seguenti polinomi e verifica, senza effettuare la divisione, quali lo sono realmente

18. APPROFONDIMENTO POMERIDIANO (da effettuare con un gruppo di “potenziamento” di studio, non comprendendo questa parte nella normale attività didattica e soprattutto non nei tempi previsti) COME ESCLUDERE ALCUNI POLINOMI (x-k) 1° considerazione: TEOREMA: Se il polinomio P(x) di grado n>0 con coefficienti interi, ha il coefficiente direttivo uguale al 1 e k è un divisore del termine noto tale che p(k) 0, non solo k non è uno zero del polinomio, ma non lo sono neppure quei divisori del termine noto la cui differenza da k non sia un divisore.

19. 2° considerazione: REGOLA DI NEWTON Come già sappiamo, condizione necessaria e sufficiente affinchè un polinomio P(x) sia divisibile per (x-k) è che P(k)=0 Se ciò avviene e se k è intero e i coefficienti di P sono interi, avremo: P(x) è divisibile per x-k P(1) è divisibile per 1-k P(-1) è divisibile per –1-k … E viceversa se una delle seguenti divisioni: non è esatta, allora P(x) non può essere divisibile per x-k Cercando i divisori di P(x) della forma di x-k, dovremo escludere i binomi per i quali tali frazioni non risultano intere, con P(1) e P(-1) diversi da zero.

20. ESEMPIO Dato il polinomio P(x): I possibili zeri sono: +1,-1,+2,-2,+,-3,+6,-6 P(1)=1-2+5-10+3-6=-9, P(-1)=-1-2-5-10-3-6=-27 Con la regola di Newton possiamo escludere: 3 perché non intero -3 perché non intero 6 perché non intero -6 perché non intero Non possiamo escludere 2 e –2 con la regola di Newton perché: e Ricorrendo alla condizione necessaria e sufficiente: P(2)=0 e P(-2)=-156 Perciò l’unico zero del polinomio è 2

21. LA SCOMPOSIZIONE CON DERIVE • ESERCIZIO 1 • Scomporre in fattori il seguente polinomio di Q[x]: • Selezionare Author, scrivere il testo del polinomio e premere invio • Dal menù Simplify, selezionare Factor • Dal sottomenu scegliere Rational • ESERCIZIO 2 • Scomporre in fattori il seguente polinomio: • Scegliendo dal sottomenu le diverse opzioni rational e radical • ESERCIZIO 3 • Scomponi il seguente polinomio dapprima utilizzando, se riesci, • le strategie individuate in classe per scomporre in fattori, altrimenti • serviti di Derive:

22. ESERCIZIO 1 Stabilisci quali dei seguenti polinomi sono irriducibili e, nel caso sia possibile, scomponi in fattori. VERIFICASOMMATIVA (1h con qualche esercizio in più) CONSIDERA ORA I COEFFICIENTI DEI POLINOMI IN R ESERCIZIO 2 Trova l’errore nelle seguenti scomposizioni che utilizzano i prod. notevoli ESERCIZIO 3 Determina il resto ottenuto dalla divisione dei seguenti polinomi per i binomi a fianco:

23. ESERCIZIO 4 Determina quali dei valori a fianco rappresentano zeri dei polinomi: ESERCIZIO 5 Determina se i seguenti polinomi sono divisibili per i polinomi scritti a fianco (senza eseguire la divisione): ESERCIZIO 6 Scomponi in fattori i seguenti polinomi:

24. ESERCIZIO 7 Effettua le scomposizioni dei seguenti polinomi: