1 / 21

Beweisen in der Schule

Nr.3- 3.11.2014. 1. Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweis-methoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden. Beweisen in der Schule. Nr.3- 3.11.2014. 2. Satz: Wenn 6│ n, dann 3│n.

antionette-frankie
Télécharger la présentation

Beweisen in der Schule

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Nr.3- 3.11.2014 1 Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweis-methoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden Beweisen in der Schule

  2. Nr.3- 3.11.2014 2 Satz: Wenn 6│n, dann 3│n. Beweis: 6│n, also n = 6∙k ; Definition „teilt“ also n = 2∙3∙k ; elemen. Rechnen also n = 3∙(2∙k); Rechenregeln also n = 3∙j mit j=2k also 3│n; Definition „teilt“ Beweisen in der Schule

  3. Nr.3- 3.11.2014 3 Aussagenlogische Analyse: [A ᴧ (A→B)] → B Tautologie Direkter Beweis

  4. Nr.3- 3.11.2014 4 Aussagenlogische Analyse: [A ᴧ (A→B)] → B Mehrfache Hintereinanderausführung [A ᴧ (A→B)] → B [B ᴧ(B→C)] → C [C ᴧ(C→D)] → D usw. Direkter Beweis

  5. Nr.3- 3.11.2014 5 Warum habe ich bewiesen?Wenn 6│n, dann 3│n. • Weil Sie es vorher nicht wussten? • Weil man in Mathe alles beweist? • Weil ich den Satz später brauche?

  6. Nr.3- 3.11.2014 6 Warum habe ich bewiesen?Wenn 6│n, dann 3│n. • Weil der Beweis ein geeignetes Bei-spiel für einen direkten Beweis ist. • Hier geeignet weil: • Kein Vorwissen außer Aussagenlogik • Keine spezifischen Schwierigkeiten • Keine geniale Idee • Einfache Begründungsbasis

  7. Nr.3- 3.11.2014 7 • Beweise: α+β+γ = 180° • Zeichne g││h ; Idee • β´= α; Wech.W-Satz • α´= β; Wech.W-Satz • β´+γ+α´= 180°; • Neben-W-Satz • 5. α+β+γ = 180° Beispiel aus Klasse 7 C C h α´ γ γ β´ β β α α g B B A A

  8. Nr.3- 3.11.2014 8 • A: Fred hat am 1.11.11. in Stuttgart einen Mord verübt • B: Fred war am 1.1.11 in Stuttgart • Gerichtsfeste Logik: • A→B ist wahr • ¬B→¬ A ist wahr Direkt geht nicht? Was tun?

  9. Nr.3- 3.11.2014 9 1. A→B und ¬B→¬ A sind logisch äquivalent 2. ¬B→¬ A heißt Kontraposition zu A→B 3. Statt A→B zu beweisen ist es gleichwertig ¬B→¬ A zu beweisen. Beachte: Umkehrung von A→B ist B→A. Das ist nicht die Kontraposition Kontraposition

  10. Nr.3- 3.11.2014 10 Zeige: Wenn n² gerade, dann n gerade. Beweis mit Kontraposition. Zu zeigen: Wenn n ungerade, dann n² ungerade. n ungerade, also n = 2∙k+1; Def. ungerade also n²= 4k²+4k+1; Algebra also n² = 2(2k²+2k)+1; Algebra also n²= 2∙j+1 mit j=2k²+2k also n² ungerade Kontraposition

  11. Nr.3- 3.11.2014 11 Ein historisches Beispiel: Galilei ca.1600 Körper K: Masse M Körper k: Masse m<M Galilei möchte zeigen: A: K fällt nicht schneller als k Ich nehme an, A ist falsch, also ¬A: K fällt schneller als k Beweis durch Widerspruch

  12. Nr.3- 3.11.2014 12 Ein historisches Beispiel: Galilei ca.1600 Körper K: Masse M Körper k: m<M Galilei möchte zeigen: A: K fällt nicht schneller als k Galilei nimmt an, A ist falsch: ¬A: K fällt schneller als k Und erhält einen Widerspruch. Beweis durch Widerspruch

  13. Nr.3- 3.11.2014 13 Aussagenlogische Form: [¬ A→(Bᴧ¬B)] → A ist eine Tautologie* Aus¬ A folgt Kontradiktion. Es folgt ¬ ¬ A=A * Beweis mit Wahrheitstafel Beweis durch Widerspruch

  14. Nr.3- 3.11.2014 14 Zeige A: √2 kann man nicht als Bruch a/b schreiben (a,b aus Z) Beweis mit Widerspruch Annahme ¬ A: √2 = a/b dann 2 = a²/b² dann 2b²=a² Primfaktor 2 in ungerader Anzahl in gerader Anzahl Widerspruch! In der Schule?

  15. Nr.3- 3.11.2014 15 • Vorwissen: Primfaktorzerlegung • Logische Strategie schwer • „Unterprozedur“ des Widerspruchs lenkt ab von „Oberprozedur“ ab. Didaktische Bewertung

  16. Nr.3- 3.11.2014 16 • Unterscheidung: Satz – Definition • Unterscheidung: Satz - Kehrsatz • Voraussetzung – Folgerung identifizieren • Aussage eines Satzes verstehen In der Schule

  17. Nr.3- 3.11.2014 17 • Beweis mit Beispiel bzw. Gegenbeispiel • Direkte Beweise ab Klasse 7 • Stellenweise: Kontraposition • Beweis mit Widerspruch In der Schule

  18. Nr.3- 3.11.2014 18 • Beweis mit Beispiel bzw. Gegenbeispiel • Direkte Beweise ab Klasse 7 • Stellenweise: Kontraposition • Beweis mit Widerspruch In der Schule

  19. Nr.3- 3.11.2014 19 Zum Bildungswert der Mathematik an der Schule am Beispiel der deduktiven (logischen) Schulung. Zusatz 1

  20. Nr.3- 3.11.2014 20 Was leistet ein Beweis? Mathematischer Satz Wahr in der Wahr in Mathematik Wirklichkeit? Bsp: Winkelsumme im Dreieck Zusatz 2

  21. Nr.3- 3.11.2014 21 Einstein: "Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit". Zusatz 2

More Related