数学实验之十二迭代（2）---分形

数学实验之十二迭代（2）---分形 中国科学技术大学数学系陈发来

实验内容 • 什么是分形？ • 图形迭代 • 函数迭代 • IFS迭代 • 分形的应用

1、什么是分形 • 分形发展简史欧氏几何、解析几何、微分几何—正则微积分，复变函数---光滑反例 1，Cantor集合

Cantor 集合 中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！反例 2，Weierstrass函数其中 1<s<2 且，W(x) 是处处连续、处处不可微的函数。对应 s=1.4, 的图象是

反例 3，Van Koch 雪花曲线

大自然的不规则性： 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科---分形(Fractal) 英国的海岸线有多长？

B. B. Mandelbrot

分形的特性 • 1、具有无限精细的结构 • 2、局部与整体的相似性 • 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 • 拓扑维数 • 4、具有随机性 • 5、在大多数情况下，分形可以用非常 • 简单的方法确定，可能由迭代产生。

分形的维数 • 1、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为 • 例如，对于Cantor集， • 对于Van Koch 雪花曲线，

对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的1/N，共分为N段。对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的1/N，共分为N段。 • 将一个正方形每边等分成N段，共有N^2个小正方形。 • 将一个立方体每边等分成N段，共有N^3个小立方体。 • 一般地，设一图形可分解为m个与之相似的子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图形的维数D满足：c^D=m.

2、盒子维数：设是有界集合，其中 R 是正方形。将 R 分成边长为的子正方形。记为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为例如，对于 Weierstrass处处连续、处处不可微的函数，其分形维数为 s.

分形的应用领域 • 1、数学：动力系统 • 2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流 • 3、化学：酶的构造， • 4、生物：细胞的生长 • 5、地质：地质构造 • 6、天文：土星上的光环 • 其他：计算机，经济，社会，艺术等等

2、图形迭代生成分形 • 给定初始图形，依照某一规则对图形反复作用得到图形序列其极限图形是分形，作用规则称为生成元。

例如，Cantor 集的生成元是 Van Koch 雪花曲线的生成元是其它实例

2、Minkowski “香肠”

3、Sierpinski地毯

4、龙曲线

5、Hilbert曲线

6、花草树木(L系统） • 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合：其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。

例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。

6、花草树木(L 系统）

3、函数迭代产生的分形 用Z表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。任意给定初始复数值，定义复数序列对于什么样的初始值，复数序列收敛或有界？

Julia集 • 考虑复变函数迭代 • 固定复参数 c，使得迭代序列　　有界的初值在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即 • 迭代序列有界}

Mandelbrot集 • 固定初值，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 • 迭代序列有界} • 记 • 则（2）变为

Julia 集的绘制方法： • 1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. • 2、设定区域的界值 • 3、将区域　分成的网格，分别以每个网格点为初值利用（3）做迭代。如果对所有的都有　　，则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始，　　　　，则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。

４、IFS迭代产生分形 • 混沌游戏　给定平面上三点A, B, C。再任意给定初始点 , 做下列迭代当掷出的硬币呈正面当掷出的硬币呈反面当掷出的硬币呈侧面按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。

IFS迭代 • IFS--Iterated Function System • 取定 n 个仿射变换 • 以及 n 个概率 • 任给初值，以概率选取变换 • 进行迭代 • 则点集的聚点集合称为一个IFS吸引子。

用IFS绘制分形的方法 • １、设图形可视区域为 • 假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为N。 • ２、将 V 分成　　的网格，格点为用　　　　　　　　表示矩形区域。用　表示在N次迭代中落入　中点的个数。记则象素 (i,j)的灰度为

一些实例 • Cantor 树　

龙曲线

利用IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像，利用 IFS 迭代原理，确定一系列仿射变换，使得对任给的概率，由确定的IFS的吸引子就是给定的图像。即要解 IFS 迭代的逆问题。

5、分形欣赏

数学实验之十二 迭代（2）---分形