Operadores Difernciais

1. Operadores Difernciais Gradiente Divergente Rotacional Propriedades Aplicações

2. Gradiente: O gradiente de uma função escalar  é um vetor cujo módulo é a derivada direcional máxima no ponto considerado e cujo sentido é o sentido da derivada direcional máxima. Derivada direcional: É a taxa de variação da função em uma direção e sentido especificados. ds - deslocamento infinitesimal na direção e sentido ds - valor escalar de ds.

3. Considerando-se a função: (x,y)=x2+y2 • A derivada direcional depende da direção e do sentido. • Escolhendo-se dy/dx=-x0/y0 • Obtemos

4. Podemos escolher:dy/dx=y0/x0 como: escolhemos então

5. Se derivarmos f(a) em relação a a: igualando-se a derivada a zero, obtém-se o máximo ou mínimo:

6. Portanto a variação máxima da função: figura 1: figura2:

7. e grad Símbolos do Gradiente: A derivada direcional em termos de gradiente é dada por: A equação acima permite-nos definir o gradiente em qualquer sistema de coordenadas Coordenadas retangulares: Conseqüentemente:

8. Divergente: Definição: div F ou É o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o volume encerrado pela superfície tende a zero • Integração Vetorial: • - linha • - superfície • - volume • Maiores Interesses: • integral escalar de linha de um vetor • integral escalar de superfície de um vetor • integrais de volume de vetores e escalares Se F for um vetor a integral de linha é dada por:

9. Integral de linha ao longo de uma curva fechada Pode ou não ser zero Integral de Superfície e Superfície fechada Integral de Volume

10. Divergente: Definição: div F ou Para coordenadas cartesianas.

11. Rotacional: É o limite da razão entre a integral e o seu produto vetorial com a normal dirigida para fora, sobre uma superfície fechada, e o volume encerrado pela superfície quando o volume tende a zero. Em coordenadas retangulares:

12. O operador  (nabla ou del) Relações importantes: Teorema de Stokes Teorema do Divergente Linearidade do Operador