第六章代数结构的概念与性质

第六章代数结构的概念与性质

6.1 代数运算及其性质 代数运算是代数结构的基本要素之一。代数运算是一种特定的函数，按函数中自变元的个数，代数运算可分为二元运算、三元运算等等。我们主要介绍二元运算。定义6.1.1设A, B, C为集合，称函数为从 AxB到 C的一个代数运算，简称代数运算。

由定义，给定集合 A和 B的元素 a和 b，就可以通过 f 得到集合 C中唯一的元素 c。代数运算 f 能够对 a和 b进行运算，而得到运算结果 c，正是通常数的运算的特征。通常用◦表示代数运算：f (a, b) = c 记为a◦b = c 例6.1.1定义函 f : Zx(Z-{0}) → Q, (a, b) → a/b, 则 f是从Zx(Z-{0})到Q的一个代数运算。也可用◦表示为：a ◦b = a/b

运算表：设有限集合 ，代数运算◦可用左下表来说明：例如，代数结构 (A,◦)，其中 A={a, b, c}，运算 ◦ 由右上表给出。

定义6.1.1如果◦是从 AXA到 A的一个代数运算，则称◦是 A上的一个二元运算。设◦是 A上的一个二元运算，S 是 A的一个子集，若对任意 a, b ∈ S，都有 a◦b ∈ S，则称S 对二元运算◦是封闭的。例6.1.2自然数N上通常的乘法和加法都是N上的二元运算；而通常的除法及减法不是N上的二元运算。

下面讨论代数运算满足的规律。 定义6.1.3设◦为A上的二元运算，若对任意a, b ∈A都有 a◦b= b◦a，则称二元运算◦满足交换律；若对任意a, b, c ∈ A 都有 (a◦b)◦c = a◦(b◦c)，则称二元运算◦满足结合律。

例6.1.3在实数R上通常的加法和乘法都满足交换律和结合律，而减法和除法不满足交换律和结合律；实数 R上全体n阶方阵构成的集合Mn(R)上的方阵的乘法不满足交换律但满足结合律，而加法满足交换律和结合律。二元运算◦满足结合律可以让我们方便地定义并计算 a1◦a2◦ ∙ ∙ ∙ ◦an

设⊗是从 BxA到 A的一个代数运算，⊕是A上的一个代数运算。对于b ∈ B, a1, a2 ∈A, b⊗ (a1⊕a2)和(b⊗a1)⊕(b⊗a2)都是A的元。但是一般来说二者并不一定相等。定义6.1.5 设a1, a2 ∈A,b ∈ B, 若 b⊗(a1⊕a2)=(b⊗a1)⊕(b⊗a2) 则称代数运算⊗对⊕适合第一分配律, 或左分配律; 同样，若 (a1⊕a2)⊗b = (a1⊗b)⊕(a2⊗b) 则称代数运算⊗对⊕适合第二分配律, 或右分配律.

例6.1.5（1）数的乘法x对加法+满足左分配律，即对数a, b, c，有 ax(b+c)= axb+axc （2）设实数上全体阶矩阵构成的集合为 Mmxn(R)，则 MmxnxMnxl 到 Mmxl 上矩阵的乘法x对 Mnxl 上矩阵加法的满足分配律。即对 mxn矩阵 A以及 nxl的矩阵B, C，有Ax(B+C)= AxB+ AxC。（3）设P(S)为集合S的幂集，则集合的交∩，并U及差-运算都是P(S)上的二元运算，且集合的交∩对并U满足分配律，同时并U对交∩也满足分配律

第六章 代数结构的概念与性质