Approximation des Equilibres et recherches sur petits supports

1. SOGEA Vendredi 16 février 2007 Approximation des Equilibres et recherches sur petits supports Sébastien Hémon LRI-Université paris Sud Orsay

2. Plan de l’exposé • Introduction : Jeux, équilibres • Approximations et exemples • Résultats connus • Construction de cas pathologiques non rares • Etat des recherches et ouvertures

3. Les jeux sous forme normale Nous nous restreignons ici au cas de jeux à deux joueurs. Nous rappelons les données d’un jeu sous forme normale :

4. Les jeux sous forme normale Nous nous restreignons ici au cas de jeux à deux joueurs. Nous rappelons les données d’un jeu sous forme normale : • Deux joueurs A et B qui jouent sur des ensembles de stratégies Set T.

5. Les jeux sous forme normale Nous nous restreignons ici au cas de jeux à deux joueurs. Nous rappelons les données d’un jeu sous forme normale : • Deux joueurs A et B qui jouent sur des ensembles de stratégies Set T. • Des fonctions d’utilité et ℝ ℝ

6. Les jeux sous forme normale Nous nous restreignons ici au cas de jeux à deux joueurs. Nous rappelons les données d’un jeu sous forme normale : • Deux joueurs A et B qui jouent sur des ensembles de stratégies Set T. • Des fonctions d’utilité • Des distributions de probabilités λ et μ sur les stratégies de A et B resp. et ℝ ℝ

7. Les jeux sous forme normale Nous nous restreignons ici au cas de jeux à deux joueurs. Nous rappelons les données d’un jeu sous forme normale : • Deux joueurs A et B qui jouent sur des ensembles de stratégies Set T. • Des fonctions d’utilité • Des distributions de probabilités λ et μ sur les stratégies de A et B resp. • Les profils stratégiques (couple de distributions sur les stratégies). et ℝ ℝ

8. Les jeux sous forme normale Nous nous restreignons ici au cas de jeux à deux joueurs. Nous rappelons les données d’un jeu sous forme normale : • Deux joueurs A et B qui jouent sur des ensembles de stratégies Set T. • Des fonctions d’utilité • Des distributions de probabilités λ et μ sur les stratégies de A et B resp. • Les profils stratégiques (couple de distributions sur les stratégies). et ℝ ℝ Matériel supplémentaire :Deux matrices A et B pour représenter les utilités Enumération des stratégies :S = {σ1, σ2, … , σn } et T = {τ1, τ2, … , τm } Supports :S S et T T de taille d. Gain moyen :tλAμ pour A et tλBμ pour B

9. L’équilibre de Nash L’équilibre intervient lorsqu’aucun joueur n’a intérêt à changer de stratégie. On dit que (λ;μ ) est un équilibre de Nash lorsque :

10. L’équilibre de Nash L’équilibre intervient lorsqu’aucun joueur n’a intérêt à changer de stratégie. On dit que (λ;μ ) est un équilibre de Nash lorsque : • Chaque joueur maximise son gain contre la stratégie adverse :

11. L’équilibre de Nash L’équilibre intervient lorsqu’aucun joueur n’a intérêt à changer de stratégie. On dit que (λ;μ ) est un équilibre de Nash lorsque : • Chaque joueur maximise son gain contre la stratégie adverse : • Aucun joueur n’a intérêt seul à dévier de sa stratégie :

12. L’équilibre de Nash L’équilibre intervient lorsqu’aucun joueur n’a intérêt à changer de stratégie. On dit que (λ;μ ) est un équilibre de Nash lorsque : • Chaque joueur maximise son gain contre la stratégie adverse : • Aucun joueur n’a intérêt seul à dévier de sa stratégie :

13. L’équilibre de Nash L’équilibre intervient lorsqu’aucun joueur n’a intérêt à changer de stratégie. On dit que (λ;μ ) est un équilibre de Nash lorsque : • Chaque joueur maximise son gain contre la stratégie adverse : • Aucun joueur n’a intérêt seul à dévier de sa stratégie : • Chaque stratégie pure impliquée est meilleure réponse à la stratégie adverse

14. La classe PPAD Les problèmes PPAD :

15. La classe PPAD Les problèmes PPAD : • Une classe de problèmes totaux

16. La classe PPAD Les problèmes PPAD : • Une classe de problèmes totaux • Argument d’existence de solution : Si un graphe orienté a un sommet dont la différence entre degré entrant et sortant est non nulle, il doit en exister un autre.

17. La classe PPAD Les problèmes PPAD : • Une classe de problèmes totaux • Argument d’existence de solution : Si un graphe orienté a un sommet dont la différence entre degré entrant et sortant est non nulle, il doit en exister un autre. • PPAD-complet : les plus durs d’entre eux.

18. La classe PPAD Les problèmes PPAD : • Une classe de problèmes totaux • Argument d’existence de solution : Si un graphe orienté a un sommet dont la différence entre degré entrant et sortant est non nulle, il doit en exister un autre. • PPAD-complet : les plus durs d’entre eux. • Exemples : Brower, Sperner, Nash

19. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet :

20. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :»

21. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :» • Feder & al. dans [FNS] : « an ε-approximate Nash is : »

22. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :» • Feder & al. dans [FNS] : « an ε-approximate Nash is : » • Les algorithmiciens aiment travailler avec l’erreur relative :

23. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :» • Feder & al. dans [FNS] : « an ε-approximate Nash is : » • Les algorithmiciens aiment travailler avec l’erreur relative : • Chen & al. dans [CDT] : « An well-supported Nash Equilibrium is : »

24. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :» • Feder & al. dans [FNS] : « an ε-approximate Nash is : » • Les algorithmiciens aiment travailler avec l’erreur relative : • Chen & al. dans [CDT] : « An well-supported Nash Equilibrium is : »

25. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :» • Feder & al. dans [FNS] : « an ε-approximate Nash is : » • Les algorithmiciens aiment travailler avec l’erreur relative : • Chen & al. dans [CDT] : « An well-supported Nash Equilibrium is : »

26. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :» • Feder & al. dans [FNS] : « an ε-approximate Nash is : » • Les algorithmiciens aiment travailler avec l’erreur relative : • Chen & al. dans [CDT] : « An well-supported Nash Equilibrium is : »

27. Approximation(s) Le fameux ε –Nash c’est quoi ? Une bonne question en effet : • Lipton & al. dans [LMM] : « It is well-known in the litterature that :» • Feder & al. dans [FNS] : « an ε-approximate Nash is : » • Les algorithmiciens aiment travailler avec l’erreur relative : • Chen & al. dans [CDT] : « An well-supported Nash Equilibrium is : »

28. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve :

29. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : Stratégies B Stratégies A Utilités Alice Utilités Bob

30. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : Stratégies B Stratégies A Utilités Alice Utilités Bob

31. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : Stratégies B Maximum Stratégies A Utilités Alice Utilités Bob

32. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : Stratégies B Maximum Stratégies A Utilités Alice Utilités Bob

33. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : Stratégies B Maximum Stratégies A Maximum Utilités Alice Utilités Bob

34. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob

35. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob ½-Nash (add), par [PMD]

36. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob ½-Nash (add), par [PMD] Preuve :

37. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob ½-Nash (add), par [PMD] Preuve : Bob gagne au moins Max/2

38. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob ½-Nash (add), par [PMD] Preuve : Bob gagne au moins Max/2 Alice gagne au moins Max/2

39. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob ½-Nash (add), par [PMD] Manque à gagner : Preuve : Bob gagne au moins Max/2 Alice gagne au moins Max/2

40. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob ½-Nash (add), par [PMD] Manque à gagner : ε ≤ Max/2 ≤ 1/2 Preuve : Bob gagne au moins Max/2 Alice gagne au moins Max/2 Jeu normalisé sur [0;1]

41. Exemple : Pour un Nash additif, procédure Naïve : 1 Stratégies B Maximum 1/2 Stratégies A 1/2 Maximum Utilités Alice Utilités Bob ½-Nash (add), par [PMD] Manque à gagner : ε ≤ Max/2 ≤ 1/2 Preuve : Bob gagne au moins Max/2 D’après [DMP] Alice gagne au moins Max/2 Jeu normalisé sur [0;1]

42. Résultats connus

43. Résultats connus • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium

44. Résultats connus • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium • Nash à plus de joueurs aussi par conséquent.

45. Résultats connus • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium • Nash à plus de joueurs aussi par conséquent. • Trouver un schéma d’approximation complet en temps poly(n,1/ε)

46. Résultats connus • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium • Nash à plus de joueurs aussi par conséquent. • Trouver un schéma d’approximation complet en temps poly(n,1/ε) • Trouver un ε –Nash (sens add )

47. Résultats connus • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium • Nash à plus de joueurs aussi par conséquent. • Trouver un schéma d’approximation complet en temps poly(n,1/ε) • Trouver un ε –Nash (sens add ) • Trouver un bon Nash approché (sens mul) avec petit support

48. Résultats connus PPAD-Complete • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium • Nash à plus de joueurs aussi par conséquent. • Trouver un schéma d’approximation complet en temps poly(n,1/ε) • Trouver un ε –Nash (sens add) • Trouver un bon Nash approché (sens mul) avec petit support

49. Résultats connus PPAD-Complete • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium • Nash à plus de joueurs aussi par conséquent. • Trouver un schéma d’approximation complet en temps poly(n,1/ε) • Trouver un ε –Nash (sens add) • Trouver un bon Nash approché (sens mul) avec petit support Impossible

50. Résultats connus [CDT] PPAD-Complete • Nash à 2 joueurs pour un ε–well supported Nash Equilibrium • Nash à plus de joueurs aussi par conséquent. • Trouver un schéma d’approximation complet en temps poly(n,1/ε) • Trouver un ε –Nash (sens add) • Trouver un bon Nash approché (sens mul) avec petit support Impossible