Ricapitolando….

1. Ricapitolando…. Sistemi P2P puri Sistemi Uniformi Sistemi Non uniformi Koorde Neighbor of Neighbor routing (NON) Abbiamo detto abbastanza

2. Koorde • E’ un protocollo chord like • ring • consistent hashing per mappare le chiavi nei nodi • De Bruijn graph • diametro log n con grado costante • APL O(log n / log(log n)) con grado O(log n)

3. de Bruijn graph • Un de Bruijn graph ha un nodo per ogni numero binario di b bits • Ogni nodo ha due archi uscenti, in particolare il nodo m ha • un link al nodo 2m mod 2b; • un link al nodo 2m+1 mod 2b; • In altre parole dato un nodo m per ottenere i suoi due vicini basta fare lo shift a sinistra della codifica binaria di m (eliminando il bit più significativo) e poi aggiungere 0 e 1;

4. de Bruijn graph 000 100 010 101 001 110 011 111 b=3 • Es.: supponiamo di voler conoscere i vicini del nodo 011 allora • facciamo lo shift a sinistra di 011 e otteniamo 0110; • eliminiamo il bit più significativo e otteniamo 110; • i due vicini sono quindi: • 110 + 0 = 110 • 110 + 1 = 111 • Denotiamo con m0 il primo vicino di m m1 il secondo vicino di m

5. de Bruijn graph 000 100 010 b passi diametro = b = log n 101 001 110 011 111 b=3 • Routing • Supponiamo di voler passare dal nodo s=(s0,s1,…,sb-1) al nodo t=(t0,t1,…,tb-1) • passo 1: s → s1 = st0 s1 =(s1,s2,…,t0) • passo 2: s1→ s2 = s1t1 s2 =(s2,…, t0,t1) • passo 3: s2→ s3 = s2t2 s3 =(…, t0,t1,t2) • passo b: sb-1→ sb = sb-1tb-1 sb =(t0,t1,…, tb-1)=t

6. de Bruijn graph 000 100 100 010 101 001 110 110 011 011 111 111 b=3 • Routing • Es.: b=3 vogliamo passare dal nodo 011 al nodo 100 • Passo 1: da 011 a 111 • Passo 2: da 111 a 110 • Passo 3: da 110 a 100

7. de Bruijn graph m nodo sorgente k nodo destinazione La prima chiamata è m.lookup(k,k) 000 100 010 101 001 110 011 111 b=3 m.lookup(k,ks) if k=m return m else t=m  topbit(ks) return t.lookup(k,ks<<1)

8. de Bruijn graph E’ difficile da guardare figuriamoci da implementare  000 111 001 010 110 011 101 b=3 100 000 100 primo vicino 010 101 001 secondo vicino 110 011 111 b=3

9. de Bruijn graph 000 E se manca un nodo? E se ne mancano tanti? 111 001 b è di solito 160 (SHA) 2160 Gli indirizzi IP sono 232 010 110 011 101 b=3 100 • La maggior parte delle applicazioni usa un numero di nodi effettivo molto più piccolo di 2b. • Evitare collisioni nell’assegnare chiavi; • In generale il sistema deve poter evolversi (n deve poter variare).

10. de Bruijn graph: Koorde Consideriamo ora un ring non completo Il nodo m ha due link ai nodi immaginari: 2m mod 2b 2m+1 mod 2b m b=160 • Aggiungiamo due ulteriori link per ogni nodo: • Un link al successore nell’anello • Un link al predecessore di 2m mod 2b Link a nodi effettivi

11. Koorde 000 100 010 101 001 110 011 111 b=3 b=160 • La nuova procedura di routing, invece di attraversare i nodi del grafo di de Bruijn ne attraversa i predecessori; • 2 fasi • Cerca il predecessore di si • Passa al nuovo nodo si+1

12. Koorde Abbiamo raggiunto la destinazione? Abbiamo raggiunto il predecessore del nodo immaginario? m.lookup(k,ks,i) if k (m, m.successor] return successor else if i (m, m.successor] return d.lookup(k,ks<<1, itopbit(ks)) else return m.successor.lookup(k,ks,i) d è il link al predecessore di 2m mod 2b m.lookup(k,ks) if k=m return m else t=mtopbit(ks) return t.lookup(k,ks<<1)

13. Koorde m.lookup(k,ks,i) • if k (m, m.successor] return successor • else if i (m, m.successor] • return d.lookup(k,ks<<1, itopbit(ks)) • else • return m.successor.lookup(k,ks,i) Passiamo al nuovo nodo del grafo di de Bruijn Cerchiamo il predecessore del nodo immaginario? Il passo 3 viene eseguito al massimo b volte Quante volte eseguiamo il passo 5, vale a dire quanto impieghiamo per trovare il predecessore di un nodo immaginario?

14. Koorde Lemma Il numero medio di passi, durante una operazione di lookup in Koorde è 3b Prova Nel passare dal nodo immaginario i al nodo immaginario itopbit(ks), ci muoviamo dal nodo m=predecessor(i) al nodo m.d (predecessor di 2m mod 2b) e poi ci spostiamo usando i successor pointer fino a raggiungere il predecessor del nodo immaginario itopbit(ks), Ogni hop su un grafo di de Bruijn si traduce in una path in koorde. Quanto è lunga questa path in media? Le frecce gialle sono b Quante sono le frecce verdi?

15. Koorde 2i+1 2i 2m m i I nodi attraversati fra due frecce gialle sono i nodi che si trovano fra 2m e 2i+1 Quanti nodi ci sono nell’intervallo I =(2m,2i+1)? |I|=(2i-2m)/(2b/n) Sapendo che il valore atteso di i-m= 2b/n I(2*2b/n )/(2b/n) =2 In totale dunque per ogni freccia gialla vi sono in media 2 frecce verdi In totale 3b passi Distanza media fra due nodi 2b/n

16. Koorde m.lookup(k,ks,i) • if k (m, m.successor] return successor • else if i (m, m.successor] • return d.lookup(k,ks<<1, itopbit(ks)) • else • return m.successor.lookup(k,ks,i) Poiché m è responsabile di tutti i nodi immaginari che vanno da m e m.successor è possibile migliorare ulteriormente l’algoritmo. La distanza fra m e il suo successore è con alta probabilità maggiore di 2b/n2

17. Koorde Claim La distanza fra m e il suo successore è con alta probabilità maggiore di 2b/n2 Prova (Sketch) Fissato un nodo la probabilità che un altro nodo qualsiasi sia più vicino di 2b/n2 è (2b/n2)/2b= 1/n2. La probabilità che nessuno degli altri n-1nodi sia più vicino di 2b/n2 è (1-1/n2)n-1>1-1/n. Distanza media 2b/n Distanza 2b/n2

18. Koorde Abbiamo dimostrato che la distanza fra m e il suo successore è con alta probabilità maggiore di 2b/n2 Questo significa che il nodo m è responsabile di nodi immaginari con tutte le possibili combinazioni degli ultimi log(2b/n2)= b-2logn bit. Scegliendo come nodo immaginario iniziale il nodo che ha gli ultimi b-2logn bit uguali a i primi b-2logn del nodo destinazione, dobbiamo effettuare alla fine soltanto (b-(b-2logn))*3 passi = 6logn passi circa.

19. Koorde • Koorde (base 2) • Ha APL O(log n) con grado costante • Si può dimostrare che anche il diametro è con alta probabilità (WHP) O(log n). • Koorde (base k) • Utilizziamo i grafi di de Bruijn base k • Scegliamo k = log n

20. de Bruijn graph base k 000 100 010 101 001 110 011 b=3 k=2 111 Diametro O(logk n) • Per ogni k, in un grafo di de Bruijn base k, ogni nodo m è connesso a altri k nodi: • km mod kb • km+1 mod kb • … • km+(k-1) mod kb • Esempio • k=4, b=3, n=kb=64 e m=3214= 57 • Il primo vicino è 2104=36 • Il secondo vicino è 2114=37 • Il terzo vicino è 2124=38 • Il quarto vicino è 2134=39

21. 10 b=2 k=3 11 01 12 00 20 02 21 b=160 22 de Bruijn graph base k • Esempio • k=3, b=2, n=kb=9

22. 10 b=2 k=3 11 01 12 00 20 02 21 b=160 22 Koorde base k • k+1 nuovi link • Il link al successore nell’anello • k link ai predecessori dei vicini • E’possibile fare routing con grado k e APL O(logk n)

23. 10 b=2 k=3 Koorde base k 11 01 12 00 20 02 21 22 • Scegliendo k = O(log n): • Grado = O(log n) • APL = O(log n / log (log n)) • Svantaggi • Bisogna stimare n a priori; • Non è possibile cambiare il grado in un sistema attivo; • E’ molto complicato stabilizzare la rete;

24. Ricapitolando…. Sistemi P2P puri Sistemi Uniformi Sistemi Non uniformi Koorde Neighbor of Neighbor routing (NON)