Une petite histoire de la num ration

1. Une petite histoire de la num�ration La num�ration additive et la num�ration de position

2. La num�ration additive voici des exemples de graphismes de num�ration additive qui ont travers� les �ges Nous allons les revoir juste apr�svoici des exemples de graphismes de num�ration additive qui ont travers� les �ges Nous allons les revoir juste apr�s

3. 30 000 Av JC: l��re pal�olithique Pour m�moriser les quantit�s: les hommes faisaient des entailles dans du bois ou de l�os � l�aide de silex

4. C�est-�-dire, ils d�nombrent gr�ce � leurs corps (doigts, orteils, jambes, articulations�) afin de m�moriser les quantit�s. ci-contre: trace r�cente de cette pratique, image du 16�me si�cle D�j� les civilisations utilisent la cartographie corporelle ils utilisaient �galement couramment les gestes pour compter (d'o� d'ailleurs la num�ration de base 20, qui a �t� tr�s r�pandue) malheureusement, cette image n'est pas du tout d'�poque puisqu'elle date du 16e s de notre �reils utilisaient �galement couramment les gestes pour compter (d'o� d'ailleurs la num�ration de base 20, qui a �t� tr�s r�pandue) malheureusement, cette image n'est pas du tout d'�poque puisqu'elle date du 16e s de notre �re

5. Ils utilisent �galement les num�rotations figur�es Des objets, comme des cailloux, des perles, des coquillages, des n�uds,�repr�sentent des nombres et divers mat�riels vont commenc�s � �tre mis au point: les calculi, les abaques, les bouliers� qui pour certains vont traverser les si�cles. tout �tait bon pour compter, les cailloux, les ficelles, plus ou moins grosses, sur lesquelles on faisait des noeuds...tout �tait bon pour compter, les cailloux, les ficelles, plus ou moins grosses, sur lesquelles on faisait des noeuds...

6. 8000 Av JC: les calculi Au Moyen-Orient, apparaissent les calculi. Chaque caillou vaut ��un��, et vint l�id�e de remplacer un tas de cailloux par un caillou de nature ou de forme diff�rente.

7. D�faut: Ces dispositifs mat�riels souffrent d�une grande faiblesse: leur impuissance � garder trace du pass� puisque chaque �tape du calcul efface la pr�c�dente.

8. Les premi�res num�rations �crites arrivent vers 3300 Av JC en M�sopotamie. Elles servent � g�rer terres, troupeaux, grains� Le potier compte ses amphores

9. Les premi�res num�rations �crites sont sum�riennes La tablette d�argile (2400 ans av JC) en �criture cun�iforme, o� clous et chevrons repr�sentent les chiffres de leur num�ration (Sumer: partie m�ridionale de la M�sopotamie)

10. Les premi�res num�rations �crites sont sum�riennes St�le du 23�me si�cle Av JC, o� le nombre des offrandes est consign� dans le tableau de droite.

11. Les premi�res num�rations �crites sont sum�riennes Exemple de table de multiplication (2000 Av JC) conserv�e au mus�e du Louvre, provenant de Suse

12. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Moins de traces de cette num�ration que de la pr�c�dente car le support est tr�s fragile: ici le papyrus Rhind o� sont utilis�s des hi�roglyphes simplifi�s (hi�roglyphes signifie �criture des dieux, de hieros : sacr� et gluphein: graver) C�est ce qu�on appelle l��criture hi�ratique.

13. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Sur les monuments , ils utilisent les hi�roglyphes. A droite, le nombre 1527 Le 10, cordelette pour entourer un paquet de 10 Le 100 aurait une origine phon�tique Le 1000, la fleur de lotus Le 10 000, un doigt l�g�rement recourb�; avec les doigts, ils savaient, para�t-il, compter jusque 9 999Le 10, cordelette pour entourer un paquet de 10 Le 100 aurait une origine phon�tique Le 1000, la fleur de lotus Le 10 000, un doigt l�g�rement recourb�; avec les doigts, ils savaient, para�t-il, compter jusque 9 999

14. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Ils savent additionner, soustraire, multiplier et diviser, ils �crivent les premi�res fractions ci-contre: Horus, l�homme � t�te de faucon

15. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Les additions sont d�une grande simplicit� 784 + 133 = 917784 + 133 = 917

16. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Qui �tait: 784 + 133  917

17. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Une multiplication r�clame un peu d�organisation:soit � calculer 28 x 15 (Les Egyptiens d�composaient le plus grand des deux nombres en puissances de 2) Les Egyptiens travaillaient de mani�re empirique Ils cherchaient la plus grande puissance de 2 inf�rieure � 28 soit 16, soustrayaient 16 de 28 ce qui donne 12 et recommen�aient. La plus grande puissance de 2 inf�rieure � 12 est 8, on retranche, il reste 4, qui est une puissance de 2; d�o� 28 = 16 + 8 + 4 Et ils faisaient cela jusqu�� ce qu�il ne reste rien; le ��zero�� n�existait pas encoreLes Egyptiens travaillaient de mani�re empirique Ils cherchaient la plus grande puissance de 2 inf�rieure � 28 soit 16, soustrayaient 16 de 28 ce qui donne 12 et recommen�aient. La plus grande puissance de 2 inf�rieure � 12 est 8, on retranche, il reste 4, qui est une puissance de 2; d�o� 28 = 16 + 8 + 4 Et ils faisaient cela jusqu�� ce qu�il ne reste rien; le ��zero�� n�existait pas encore

18. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Ils utilisaient les fractions mais ne les �crivaient pas comme nous. Certaines fractions �taient m�me divines.

19. Vers 3000 Av JC: la num�ration �gyptienne Ci-dessus, l�oudjat , symbole de la clairvoyance, et qui signifie complet en �gyptien. Il repr�sente les fameuses fractions divines. Le 1/64 manquant serait le liant magique ajout� par le math�maticien Thot, pour permettre � l��il de fonctionner. La l�gende veut que l��il d�Horus ait �t� arrach� et dispers� en morceaux dans le royaume Les morceaux furent retrouv�s et l��il recompos�, mais�(la somme ne fait que 63/64) Horus devint roi La l�gende veut que l��il d�Horus ait �t� arrach� et dispers� en morceaux dans le royaume Les morceaux furent retrouv�s et l��il recompos�, mais�(la somme ne fait que 63/64) Horus devint roi

20. Vers 1800 av JC, le syst�me babylonien, num�ration de position d�j� La num�ration babylonienne n�a que 2 symboles: le clou et le chevron. Selon leurs positions, les symboles peuvent repr�senter des unit�s, ou des groupes de 60 unit�s, ou de 60 x 60 unit�s�C�est un syst�me de base 60.

21. Vers 500 Av JC: la num�ration romaine Num�ration toujours additive, dont les symboles ont �volu� au fil des si�cles, mais encore utilis�e aujourd�hui pour num�roter des paragraphes, des rois, �crire des si�cles�

22. Vers 500 Av JC: la num�ration romaine Voil� comment les Romains comptaient, ce qui demandaient �norm�ment de signes pour �crire un nombre (ici le nombre 23). Ceci a repr�sent� une nette r�gression par rapport � certaines num�rations ant�rieures. Par contre, abaques et bouliers �taient largement utilis�s. Ensuite on a plac� le 1 devant le 5 pour faire le 4 (le symbole plac� devant venait en soustraction s�il �tait plus petit)Ensuite on a plac� le 1 devant le 5 pour faire le 4 (le symbole plac� devant venait en soustraction s�il �tait plus petit)

23. Exemple d�abaque Abaque (abex en grec et abacus en latin) d�signe un objet � surface plane destin� � diff�rents usages, permettant entre autres d�effectuer des calculs. Sur les premiers abaques, on d�posait du sable sur lequel on �crivait Puis on y a trac� des colonnes (nos puissances de 10) et dans ces colonnes, on d�posait des calculi puis des jetons( appel�s epices (prononcer epic�s)) Sur les premiers abaques, on d�posait du sable sur lequel on �crivait Puis on y a trac� des colonnes (nos puissances de 10) et dans ces colonnes, on d�posait des calculi puis des jetons( appel�s epices (prononcer epic�s))

24. L�algoriste et l�abaciste Gravure du 16�me si�cle o� l�algoriste (� gauche) pratique ses algorithmes de calcul pendant que l�abaciste d�place les apices.

25. De l�abaque au boulier Un abaque antique et un boulier chinois

26. L�art de compter avec un boulier Les boules du haut valent 5 Et celles du bas valent 1. De droite � gauche, on lit les unit�s, les dizaines, etc. Ci-contre: 723

27. Vers 400 Av JC: la num�ration grecque Une nette avanc�e par rapport � la num�ration romaine Une virgule devant le nombre signifiait qu�on multipliait par 1000, et cette num�ration permettait d��crire des nombres jusque 999 999.Une virgule devant le nombre signifiait qu�on multipliait par 1000, et cette num�ration permettait d��crire des nombres jusque 999 999.

28. Enfin arrive l�invention du z�ro Son introduction se fait en trois �tapes. Le z�ro est introduit dans un premier temps quand on d�sire multiplier par dix. Le premier z�ro est babylonien. Il est apparu au 3�me si�cle Av JC. Il devient possible d�exprimer tout nombre dans un syst�me � position, qui seul permet l�utilisation g�n�ralis�e d�algorithmes arithm�tiques, et qui rend superflu l�usage de bouliers ou d�abaques�Il devient possible d�exprimer tout nombre dans un syst�me � position, qui seul permet l�utilisation g�n�ralis�e d�algorithmes arithm�tiques, et qui rend superflu l�usage de bouliers ou d�abaques�

29. Puis la num�ration positionnelle d�cimale fait son apparition Initi�e au 2�me si�cle Av JC par les Chinois et finalis�e vers l�an 500 de notre �re en Inde, la mise en place des syst�mes arithm�tiques positionnels (en particulier le syst�me d�cimal) fut une d�couverte majeure de l�histoire des math�matiques.

30. La num�ration positionnelle utilise alors le z�ro Chaque signe repr�sente un chiffre et c�est la position du signe dans le nombre qui donne son ordre de grandeur. Notre num�ration d�cimale est une num�ration positionnelle. Mais un chiffre doit marquer la position vide et on r�utilise le z�ro (2�me �tape de l�introduction du z�ro) 

31. La num�ration positionnelle utilise alors le z�ro Il devient possible d�exprimer tout nombre dans un syst�me � position, qui seul permet l�utilisation g�n�ralis�e d�algorithmes arithm�tiques et qui rend superflu l�usage de bouliers, etc. Algorithme: m�thode de r�solution de probl�me, �nonc�e sous la forme d�une s�rie d�op�rations � effectuer.

32. En Inde alors appara�t le nombre z�ro Le z�ro n��tait alors qu�un chiffre, et il faudra attendre le 5�me si�cle de notre �re, en Inde, pour qu�il soit consid�r� comme chiffre et comme nombre. (3�me �tape de l�introduction du z�ro) Un nouveau nombre demande une d�finition: le z�ro est le r�sultat de la soustraction d�un entier par lui-m�me. Le mot indien (s�nya) signifiait: vide, espace, vacant; et la graphie (d�abord un cercle) �tait inspir�e de la vo�te c�leste.

33. Le z�ro arrive en Europe Au 9�me si�cle, le z�ro est introduit en Espagne par les Arabes (z�ro tout comme chiffre vient de l�arabe sifr) En 982, un moine auvergnat, Gerbert d�Aurillac qui deviendra le pape Sylvestre II, apr�s un voyage en Espagne, introduit les chiffres arabes en Europe occidentale. Ils �volueront jusqu�au 12�me si�cle o� ils prendront leur forme d�finitive, gr�ce entre autres � L�onard de Pise dit Fibonacci. Gerbert D�Aurillac utilisait des abaques qui ne r�clamaient pas l�usage duz�ro; il laissait une case vide C�est Fibonacci, qui en 1202, dans son trait� ��Liber Abaci�� ��crit apr�s de nombreux voyages, qui lance d�finitivement l�usage du z�ro en Europe.Les algoristes ont, para�t-il, beaucoup frein� l�introduction du z�ro, car ainsi, leur pr�sence �tait indispensable.Gerbert D�Aurillac utilisait des abaques qui ne r�clamaient pas l�usage duz�ro; il laissait une case vide C�est Fibonacci, qui en 1202, dans son trait� ��Liber Abaci�� ��crit apr�s de nombreux voyages, qui lance d�finitivement l�usage du z�ro en Europe.Les algoristes ont, para�t-il, beaucoup frein� l�introduction du z�ro, car ainsi, leur pr�sence �tait indispensable.

34. L��volution de la num�ration moderne De haut en bas: La nagari ancienne La nagari moderne L�arabe ancienne orientale L�arabe moderne orientale L�arabe occidentale La moderne

35. Fin�