第 7 章 气体分子动理论

1. 第7章 气体分子动理论 玻耳兹曼：奥地利物理学家，统计物理学的奠基人之一。于1868年提出麦克斯韦-玻耳兹曼分布定律 。在 1872年从非平衡态的分子动力学得到 H定理 ，这是经典分子动力论的基础。1877年提出热力学第二定律与微观几率态数 W的关系以及熵的统计解释。 1900年普朗克运用玻耳兹曼的理论得出 S＝k lnW 并证明了斯忒藩的实验结论 u ＝σT4（斯忒藩 - 玻耳兹曼黑体辐射公式），掀开了量子时代的帷幕。 Ludwig Boltzman (1844~1906)

2. 热力学与统计物理学的异同 宏观理论 （热力学） 微观理论 （统计物理学） 热现象 热现象 研究对象 物 理 量 宏观量 微观量 出 发 点 观察和实验 微观粒子 方 法 总结归纳 逻辑推理 统计平均方法 力学规律 优 点 普遍，可靠 揭露本质 缺 点 不深刻 无法自我验证 二者关系 热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质

3. §7.1 气体分子动理论的基本概念 一、分子动理论的三个基本概念 宏观物体是不连续的，由大量微观粒子——分子（或原子）所组成 物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度与温度有关

4. 布朗运动

5. f r O 分子间有相互作用力 斥力 ( 平衡位置) 分子力表现为引力 合力 r0 分子力表现为斥力 势能 引力 r0 分子有效直径

6. 二、气体分子热运动服从统计规律 每个宏观点的气体分子数量巨大； 气体分子间距很大，除碰撞外，分子间相互作用可忽略； 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的； 一秒内一个分子大约要发生几十亿次 ( 109 ) 碰撞 气体分子的微观力学量取值无法预测，气体的宏观量稳定； 气体分子热运动服从统计规律

7. 统计规律 大量偶然事件在整体上表现出来的规律性 单个小球落入位置 偶然事件 少量小球按位置的分布 规律不明显 大量小球按位置的分布 确定的规律 伽尔顿板实验

8. 随机试验： 　在相同条件下可重复进行； 　每次试验有多种可能结果； 　试验结果事先不可预测； 　不同试验之间无关联。 （随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件。） • 　伽耳顿板实验中粒子落入的位置 • 　掷色子出现的点数 • 　气体分子的速率、动量、动能等

9. 概率 对随即变量 M进行抽样试验： Ｍ Ｍ１ Ｍ２ Ｍ３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … M取 M i的概率。 ( N = ΔN1 + ΔN2 + ΔN3 + … )

10. 例 掷色子出现４的概率 小球出现在第３个小槽

11. 概率的归一化条件 ( N = ΔN1 + ΔN2 + ΔN3 +… )

12. 平均值 Ｍ Ｍ１ Ｍ２ Ｍ３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …

13. 例 掷色子出现的点数的平均值 气体分子速率的平均值 建立三维直角坐标系 Oxyz

14. z y O x 气体分子速率的平均值 … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … vx v１x v２x v３x … … vy v１y v２y v３y … … vz v１z v２z v３z … …

15. 气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。

16. 气体分子速率平方的平均值 … … z Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … … … … … y O x … …

17. z y O x 即

18. z 气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。 y O x

19. 气体分子平动动能的平均值 z O x

20. Ep Ep Ep O O O r r r §7.２ 理想气体的压强 一、理想气体的微观模型 气体分子的性质相同，质量相等，相对于分子间距大小可忽略不计； r0 r0 理想气体分子 一般物质分子 刚性小球模型

21. 除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动；除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动； 所有的碰撞为完全弹性碰撞； 每个分子频繁地发生碰撞，速度也因此不断变化；

22. 二、压强形成的微观解释 单个分子与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成，大小、位置具有偶然性； 大量分子（整个气体系统）与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成，大小、位置具有偶然性； 压强是气体分子给容器壁冲量的统计平均量

23. y x O z 三、理想气体的压强公式 建立三维直角坐标系 Oxyz c x, y, z方向规律相同，压强相同 b a 分析 x方向

24. x方向速度分量为 vix的分子 i与气体分子 j碰撞， y 互换 　　由于气体分子是全同的，而且每次碰撞是弹性碰撞，因此气体分子间的碰撞对结果的影响可忽略。 A1 c x O b a z 可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有”碰撞

25. x方向速度分量为 vix的分子 i与 A1碰撞，动量变化： y 对 A1的冲量： A1 c x 连续两次与 A1 发生碰撞的时间间隔为： O b a 2a / vix z Δt时间内与 A1 发生碰撞的次数：

26. Δt时间内分子 i对 A1 的冲量： y A1 c Δt时间内所有分子对A1的冲量： x O b a z

27. 其中 为气体分子数密度 理想气体压强公式：

28. §7.3 温度的微观本质 一、温度与理想气体分子平均平动动能的关系 理想气体的能量方程 温度的微观本质

29. 二、道尔顿分压定律 混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。 混合气体的分子数密度 证明： 混合气体各组分温度相同 混合气体的压强

31. §7.4 能量按自由度均分原理 一、自由度的概念 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。 下列物体看作质点时，自由度为多少？看作刚体时又为多少？ 火车 轮船 飞机 质点 1 2 3 刚体 1 ? ?

32. y x O 轮船（看作刚体）： (x, y) 确定质心： 3个自由度 确定方向： θ y’ 海面 θ x’ O’ (x, y)

33. y’ y O’ x’ z’ x O z 飞机（看作刚体）： (x, y, z) 确定质心： 确定转轴： 6 个自由度 确定方向： (x, y, z)

34. y’ y O’ x’ z’ x O z 细棒： (x, y, z) 确定质心： ５个自由度 (x, y, z) 确定方位：

35. 气体分子的自由度： 分子模型 自由度 刚性单原子分子 ３ 刚性双原子分子 ５ 刚性多原子分子 ６

36. 二、能量按自由度均分原理 或 其中 沿 x方向运动的平均平动动能 沿 y方向运动的平均平动动能 沿 z方向运动的平均平动动能

37. 处于平衡态的理想气体 （温度为 T），气体分子在每一个平动自由度上的平均能量为 kT / 2 原因： 碰撞 不同自由度上的能量相互转化 不同自由度上的能量平均化

38. 刚性双原子分子的动能 平动动能 分子动能 转动动能 温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分

39. 理想气体分子的平均能量 分子模型 总平均能量 自由度 刚性单原子分子 ３kT/2 ３ 刚性双原子分子 ５kT/2 ５ 刚性多原子分子 3kT ６ i →气体分子的自由度

40. 三、理想气体的内能 E 理想气体分子动能之和 1 mol 理想气体的内能： 质量为 m、摩尔质量为 M的理想气体的内能：

41. 理想气体的摩尔热容量

42. §7.5 麦克斯韦速率分布律

43. 一、分布的概念 小槽宽度为 Δx 小球落入某个槽的概率： 小槽宽度为 dx 小球落入某个槽的概率： ???

44. 某一时刻理想气体分子的速率 v的分布： v v１ v２ v３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … 速率为 vi的概率为： 长时间“观测”理想气体分子的速率 v： v 0 ~ +∞ 连续分布 速率为 v → v + dv的概率为： ???

45. 速率分布函数 速率在 v附近的单位速率区间的分子数占分子总数的比率 意义： 速率分布函数的实质是相对概率，或者称为概率密度； 速率分布函数的归一化条件

46. 二、麦克斯韦速率分布律 μ 分子质量 T 热力学温度 k 玻耳兹曼常数

47. 速率在 v ~ v + dv间的分子数占总分子数的比率： 速率在 v1 ~ v2间的分子数占总分子数的比率： 归一化条件： dv v1 v2

48. 三、气体分子速率的三种统计平均值 平均速率 气体分子的速率 v离散分布： v v１ v２ v３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … 气体分子的速率 v连续分布：

49. 对于理想气体:

50. 方均根速率 气体分子的速率 v离散分布： … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … … … 气体分子的速率 v连续分布：