第四章 受弯构件的正截面受弯承载力

1. 第四章 受弯构件的正截面受弯承载力 • 构件的构造 • 试验研究的主要结论 • 基本假定 • 矩形、T形截面承载力计算

2. 4.1受弯构件的一般构造 4.1.1受弯构件的一般构造 与构件的计算轴线相垂直的截面称为正截面。 结构和构件要满足承载能力极限状态和正常使用极限状态的要求。梁、板正截面受弯承载力计算就是从满足承载能力极限状态出发的，即要求满足 M≤Mu (4—1) 式中的M是受弯构件正截面的弯矩设计值，它是由结构上的作用所产生的内力设计值；Mu是受弯构件正截面受弯承载力的设计值，它是由正截面上材料所产生的抗力。 （1） 截面形状 梁、板常用矩形、T形、I字形、槽形、空心板和倒 L形梁等对称和不对称截面

3. (2) 梁、板的截面尺寸 1)矩形截面梁的高宽比h/b一般取2.0～3.5；T形截面梁的h/b一般取2.5～4.0(此处b为梁肋宽)。矩形截面的宽度或T形截面的肋宽b一般取为100、120、150、(180)、200、(220)、250和300mm，300mm以下的级差为50mm；括号中的数值仅用于木模。 2)梁的高度采用h＝250、300、350、750、800、900、1000mm等尺寸。800mm以下的级差为50mm，以上的为l00mm。 3)现浇板的宽度一般较大，设计时可取单位宽度(b=1000mm)进行计算。

4. （3）材料选择 1）混凝土强度等级，梁、板常用的混凝土强度等级是C20、C30、C40。 2）钢筋强度等级及常用直径 ，梁中纵向受力钢筋宜采用HRB400级或RRB400级(Ⅲ级)和HRB335级(Ⅱ级)，常用直径为12mm、14mm、16mm、18mm、20mm、22mm和25mm。根数最好不少于3(或4)根。 3）梁的箍筋宜采用HPB235级(Ⅰ级)、HRB335(Ⅱ级)和HRB400(Ⅲ级钢筋)级的钢筋，常用直径是6mm、8mm和10mm。 4）板的分布钢筋，当按单向板设计时，除沿受力方向布置受力钢筋外，还应在垂直受力方向布置分布钢筋。分布钢筋宜采用HPB235级(Ⅰ级)和HRB335级(Ⅱ级)级的钢筋，常用直径是6mm和8mm。

5. 4）纵向受拉钢筋的配筋百分率 设正截面上所有纵向受拉钢筋的合力点至截面受拉边缘的竖向距离为a，则合力点至截面受压区边缘的竖向距离h0＝h－a。这里，h是截面高度，下面将讲到对正截面受弯承载力起作用的是h0，而不是h，所以称h0为截面的有效高度，称bh0为截面的有效面积，b是截面宽度。 纵向受拉钢筋的总截面面积用As表示，单位为mm2。纵向受拉钢筋总截面面积As与正截面的有效面积bh0的比值，称为纵向受拉钢筋的配筋百分率，用ρ表示，或简称配筋率，用百分数来计量，即 (％) （4—2) 纵向受拉钢筋的配筋百分率ρ在一定程度上标志了正截面上纵向受拉钢筋与混凝土之间的面积比率，它是对梁的受力性能有很大影响的一个重要指标。

6. 5）混凝土保护层厚度 纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离，称为混凝土保护层厚度，用c表示。 • 混凝土保护层有三个作用： • 保护纵向钢筋不被锈蚀； • 在火灾等情况下，使钢筋的温度上升缓慢； • 使纵向钢筋与混凝土有较好的粘结。

7. b h 0 h e c x n e s 4.2受弯构件的正截面的受力分析 4.2.1 受弯构件正截面受弯的受力过程 f As a

8. e b c f x M n b h h 0 As a e s b h 0 h c f x n h 0 h As a e e c s f x t n f M As e s a e M cr

9. f b b b M y As h h h 0 0 0 h h h a f y f M As e e e c c c a x x x f n n n y f e e e s s s As a M u f

10. 弹性受力阶段（Ⅰ阶段）:混凝土开裂前的未裂阶段弹性受力阶段（Ⅰ阶段）:混凝土开裂前的未裂阶段 从开始加荷到受拉区混凝土开裂，梁的整个截面均参加受力，由于弯矩很小，沿梁高量测到的梁截面上各个纤维应变也小，且应变沿梁截面高度为直线变化。虽然受拉区混凝土在开裂以前有一定的塑性变形，但整个截面的受力基本接近线弹性，荷载-挠度曲线或弯矩-曲率曲线基本接近直线。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率很小，钢筋的应力也很小，且都与弯矩近似成正比。 在弯矩增加到Mcr时，受拉区边缘纤维的应变值即将到达混凝土受弯时的极限拉应变实验值εtu0，截面遂处于即将开裂状态，称为第I阶段末，用Ia表示。

11. 带裂缝工作阶段（Ⅱ阶段）：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段带裂缝工作阶段（Ⅱ阶段）：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段 在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开裂前有较大上移。 M0=Mcr0时，在纯弯段抗拉能力最薄弱的某一截面处，当受拉区边缘纤维的拉应变值到达混凝土极限拉应变实验值εtu0时，将首先出现第一条裂缝，一旦开裂，梁即由第I阶段转入为第Ⅱ阶段工作。 随着弯矩继续增大，受压区混凝土压应变与受拉钢筋的拉应变的实测值都不断增长，当应变的量测标距较大，跨越几条裂缝时，测得的应变沿截面高度的变化规律仍能符合平截面假定，

12. 弯矩再增大，截面曲率加大，同时主裂缝开展越来越宽。由于受压区混凝土应变不断增大，受压区混凝土应变增长速度比应力增长速度快，塑性性质表现得越来越明显，受压区应力图形呈曲线变化。当弯矩继续增大到受拉钢筋应力即将到达屈服强度fy0时，称为第Ⅱ阶段末，用Ⅱa表示。弯矩再增大，截面曲率加大，同时主裂缝开展越来越宽。由于受压区混凝土应变不断增大，受压区混凝土应变增长速度比应力增长速度快，塑性性质表现得越来越明显，受压区应力图形呈曲线变化。当弯矩继续增大到受拉钢筋应力即将到达屈服强度fy0时，称为第Ⅱ阶段末，用Ⅱa表示。 第Ⅱ阶段是截面混凝土裂缝发生、开展的阶段，在此阶段中梁是带裂缝工作的。其受力特点是：1)在裂缝截面处，受拉区大部分混凝土退出工作，拉力主要由纵向受拉钢筋承担，但钢筋没有屈服；2)受压区混凝土已有塑性变形，但不充分，压应力图形为只有上升段的曲线；3)弯矩与截面曲率是曲线关系，截面曲率与挠度的增长加快了。

13. 屈服阶段（Ⅲ阶段）：钢筋开始屈服至截面破坏的 破坏阶段 纵向受力钢筋屈服后，正截面就进入第Ⅲ阶段工作。 钢筋屈服。截面曲率和梁的挠度也突然增大，裂缝宽度随之扩展并沿梁高向上延伸，中和轴继续上移，受压区高度进一步减小。弯矩再增大直至极限弯矩实验值Mu0时，称为第Ⅲ阶段末，用Ⅲa表示。 在第Ⅲ阶段整个过程中，钢筋所承受的总拉力大致保持不变，但由于中和轴逐步上移，内力臂z略有增加，故截面极限弯矩Mu0略大于屈服弯矩My0可见第Ⅲ阶段是截面的破坏阶段，破坏始于纵向受拉钢筋屈服，终结于受压区混凝土压碎。

14. M/ M u M u Ⅲ a Ⅲ M a Ⅱ y Ⅱ M a Ⅰ cr Ⅰ 0 f 其特点是：1)纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区混凝土压应力曲线图形比较丰满，有上升段曲线，也有下降段曲线；2)弯矩还略有增加；3)受压区边缘混凝土压应变达到其极限压应变实验值εcu时，混凝土被压碎，截面破坏；4)弯矩—曲率关系为接近水平的曲线。

15. M/ M u M u Ⅲ a Ⅲ M a Ⅱ y Ⅱ M a Ⅰ cr Ⅰ 0 f Ⅰa状态：计算Mcr的依据 Ⅱ阶段：计算裂缝、刚度的依据 Ⅲa状态：计算Mu的依据

16. 受力阶段 主要特点 第Ⅰ阶段 第Ⅱ阶段 第Ⅲ阶段 习 称 未裂阶段 带裂缝工作阶段 破坏阶段 外观特征 没有裂缝，挠度很小 有裂缝，挠度还不明显 钢筋屈服，裂缝宽，挠度大 弯矩—截面曲率 大致成直线 曲线 接近水平的曲线 混 凝 土 应 力 图 形 受压区 直线 受压区高度减小，混凝土压应力图形为上升段的曲线，应力峰值在受压区边缘 受压区高度进一步减小，混凝土压应力图形为较丰满的曲线；后期为有上升段与下降段的曲线，应力峰值不在受压区边缘而在边缘的内侧 受拉区 前期为直线，后期为有上升段的曲线，应力峰值不在受拉区边缘 大部分退出工作 绝大部分退出工作 纵向受拉钢筋应力 σs≤20～30kN/mm2 20～30kN/mm2<σs<fy0 σs＝fy0 与设计计算的联系 Ia阶段用于抗裂验算 用于裂缝宽度及变形验算 Ⅲa阶段用于正截面受弯承载力计算 适筋梁正截面受弯三个受力阶段的主要特点

17. 4.2.2 试验研究分析及其主要结论 （1）正截面工作的三个阶段 1）第Ι阶段：从加载至混凝土开裂，弯矩从零增至开裂弯矩Mcr，该阶段结束的标志是混凝土拉应变增至混凝土极限拉应变，而并非混凝土应力增至ft。第Ι阶段末是混凝土构件抗裂验算的依据。 2）第Ⅱ阶段：弯矩由Mcr增至钢筋屈服时的弯矩 My，该阶段结束的标志是钢筋应力达到屈服强度,该阶段混凝土带裂缝工作，第Ⅱ阶段末是混凝土构件裂缝宽度验算和变形验算的依据。 3）第Ⅲ阶段：弯矩由My增至极限弯矩Mu，该阶段结束的标志是混凝土压应变达到其非均匀受压时的极限压应变，而并非混凝土的应力达到其极限压应力。第Ⅲ阶段末是混凝土构件极限承载力设计的依据。

18. （2）混凝土梁的三种破坏形态 1）延性破坏：配筋合适的构件，具有一定的承载力，同时破坏时具有一定的延性，如适筋梁ρmin≤ρ≤ρb。（钢筋的抗拉强度和混凝土的抗压强度都得到发挥） 2）受拉脆性破坏：承载力很小，取决于混凝土的抗拉强度，破坏特征与素混凝土构件类似。虽然由于配筋使构件在破坏阶段表现出很长的破坏过程，但这种破坏是在混凝土一开裂就产生，没有预兆，也没有第二阶段，如少筋梁ρb<ρmin、少筋轴拉构件；（混凝土的抗压强度未得到发挥） 3）受压脆性破坏：具有较大的承载力，取决于混凝土受压强度，延性能力较差，如超筋梁ρ>ρb和轴压构件。（钢筋的受拉强度没有发挥）

19. 4.1.2 正截面承载力计算 （1）正截面承载力计算的基本假定 1) 截面应变保持平面； 2) 不考虑混凝土的抗拉强度； 3) 纵向钢筋的应力—应变关系方程为: 纵向钢筋的极限拉应变取为0.01。 4) 混凝土受压的应力—应变关系曲线方程按规范规定取用。

20. 上升段： 水平段： ◆《规范》应力—应变关系

21. (2)适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率

22. 适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即在受拉纵筋屈服的同时，混凝土受压边缘纤维也达到其极限压应变值 ，截面破坏。设钢筋开始屈服时的应变为 ，则 此处为钢筋的弹性模量。 设界限破坏时中和轴高度为xcb，则有 设 ，称为界限相对受压区高度

23. 式中 h0——截面有效高度； xb——界限受压区高度； fy——纵向钢筋的抗拉强度设计值； ——非均匀受压时混凝土极限压应变值。 当相对受压区高度 时，属于超筋梁。 当时，属于界限情况，与此对应的纵向受拉钢筋的配筋率，称为界限配筋率，记作ρb，此时考虑截面上力的平衡条件，在式(4—20)中，以xb代替x，则有 故 其中， 中的下角b表示界限。

24. （3） 适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率 少筋破坏的特点是一裂就坏，所以从理论上讲，纵向受拉钢筋的最小配筋率 应是这样确定的：按Ⅲa阶段计算钢筋混凝土受弯构件正截面受弯承载力与按Ia阶段计算的素混凝土受弯构件正截面受弯承载力两者相等。但是，考虑到混凝土抗拉强度的离散性，以及收缩等因素的影响，所以在实用上，最小配筋率 往往是根据传统经验得出的。为了防止梁“一裂即坏”，适筋梁的配筋率应大于 。 我国《混凝土设计规范》规定： (1)受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件，其一侧纵向受拉钢筋的配筋率不应小于0．2％和45ft/fy中的较大值； (2)卧置于地基上的混凝土板，板的受拉钢筋的最小配筋率可适当降低，但不应小于0.15％。

25. a f c a = C f bx c b = x x n M fy = T A s s （2）受弯构件正截面承载力计算 1）单筋矩形截面 ◆基本公式

26. ◆适用条件 防止少筋脆性破坏 防止超筋脆性破坏 ◆受弯构件正截面受弯承载力计算包括截面设计、截面复核两类问题。

27. ★截面设计 已知：弯矩设计值M 求：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度fy、fc 未知数：受压区高度x、 b，h(h0)、As、fy、fc 基本公式：两个 根据环境类别及混凝土强度等级，确定混凝土保护层最小厚度，再假定as，得h0，并按混凝土强度等级确定α1，解二次联立方程式。然后分别验算适用条件 和 当环境类别为一类时(即室内环境)一般取：梁内一层钢筋时，as=35mm；梁内两层钢筋时，as=50~60mm； 对于板 as=20mm。

28. ★截面复核 已知：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度 fy、fc 求：截面的受弯承载力 Mu>M 未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu 基本公式： x≥xbh0时， Mu=？ As<rminbh？

29. 如果满足 ， 及两个适用条件，则有 或 当Mu≥M时，认为截面受弯承载力满足要求，否则为不安全。当Mu大于M过多时，该截面设计不经济。 其中ξ的物理意义：①由 知，ξ称为相对受压区高度；②由 知，ξ与纵向受拉钢筋配筋百分率ρ相比，不仅考虑了纵向受拉钢筋截面面积As与混凝土有效面积 的比值，也考虑了两种材料力学性能指标的比值，能更全面地反映纵向受拉钢筋与混凝土有效面积的匹配关系，因此又称ξ为配筋系数。由于纵向受拉钢筋配筋百分率ρ比较直观，故通常还用ρ作为纵向受拉钢筋与混凝土两种材料匹配的标志。

30. 受压钢筋 A ' s A s 2）双筋矩形截面 双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。 受拉钢筋

31. 一般来说在正截面受弯中，采用纵向受压钢筋协助混凝土承受压力是不经济的，工程中从承载力计算角度出发通常仅在以下情况下采用：一般来说在正截面受弯中，采用纵向受压钢筋协助混凝土承受压力是不经济的，工程中从承载力计算角度出发通常仅在以下情况下采用： • ◆弯矩很大，按单筋矩矩形截面计算所得的ξ又大于ξb，而梁截面尺寸受到限制，混凝土强度等级又不能提高时；即在受压区配置钢筋以补充混凝土受压能力的不足。 • ◆在不同荷载组合情况下，其中在某一组合情况下截面承受正弯矩，另一种组合情况下承受负弯矩，即梁截面承受异号弯矩，这时也出现双筋截面。 • ◆ 此外，由于受压钢筋可以提高截面的延性，因此，在抗震结构中要求框架梁必须配置一定比例的受压钢筋。

32. e cu s = ' ' C A s s s as'  e x ' s A M a s = C f bx c c h 0 A s = T f A a y s e > y ◆基本公式

33. As1 As2 ◆基本公式 单筋部分 纯钢筋部分

34. 单筋部分 纯钢筋部分 ◆基本公式 受压钢筋与其余部分受拉钢筋As2组成的“纯钢筋截面”的受弯承载力与混凝土无关。因此，截面破坏形态不受As2配筋量的影响，理论上这部分配筋可以很大，如形成钢骨混凝土构件。

35. ◆适用条件 • 防止超筋脆性破坏 • 保证受压钢筋强度充分利用 注意：双筋截面一般不会出现少筋破坏情况，故可不必验算最小配筋率。

36. 是 按单筋计算 否 取x = xb 即 ★截面设计 已知：弯矩设计值M，截面b、h、a和a ，材料强度fy、 fy 、 fc 。 求：截面配筋 未知数：x、 As 、As 基本公式：力、力矩的平衡条件

37. ★截面复核 已知：b、h、a、a、As、As、fy、 fy、fc 求：Mu≥M 未知数：受压区高度 x 和受弯承载力Mu两个未知数，有唯一解。 问题：当x >xb时，Mu=? 当x<2a时，Mu按x＝2a计算:

38. 中和轴 挖去 3）T形截面 • 受弯构件在破坏时，大部分受拉区混凝土早已退出工作，故将受拉区混凝土的一部分去掉。只要把原有的纵向受拉钢筋集中布置在梁肋中，截面的承载力计算值与原有矩形截面完全相同，这样做不仅可以节约混凝土且可减轻自重。剩下的梁就成为由梁肋( )及挑出翼缘 ，两部分所组成的T形截面。 • 受拉钢筋较多，可将截面底部宽度适当增大，形成工形截面。工形截面的受弯承载力的计算与T形截面相同。

39. ◆ 分类 第一类T形截面 界限情况 第二类T形截面

40. ◆基本公式 第一类T形截面 计算公式与宽度等于bf'的矩形截面相同： ◆为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足x ≤xb。对第一类T形截面，该适用条件一般能满足。 ◆为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足As≥rminbh，b为T形截面的腹板宽度。 ◆对工形和倒T形截面，受拉钢筋应满足： As≥rmin[bh + (bf -b)hf]

41. 第二类T形截面 = +

42. 第二类T形截面 = + 为防止超筋脆性破坏，单筋部分应满足：

43. N Y 按单筋截面计算As1 为防止少筋脆性破坏，截面配筋面积应满足： As≥rminbh。 对于第二类T形截面，该条件一般能满足。 第二类T形截面的设计计算方法也与双筋矩形截面类似 ?

44. 则其计算方法与 的单筋矩形梁完全相同。 • 截面设计 一般截面尺寸已知，求受拉钢筋截面面积As，故可按下述两种类型进行： 1)第一种类型，满足下列鉴别条件 令 2)第二种类型，满足下列鉴别条件 令

45. 取 As2＝？ 验算

46. 当满足 按 矩形梁的计算方法求Mu。 • 截面复核 1)第一种类型 2)第二种类型 ？ 是

47. Mu≥M ?