§3.5 　函数的极值与最大值最小值

第3章 §3.5 　函数的极值与最大值最小值燕列雅权豫西王兰芳李琪

定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

函数极值的判定法 注意: 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数不存在的点. 3) 函数的最值是函数的全局性质. 为极大点为极小点不是极值点

(1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 定理 1(取得极值的充分条件) 且在空心邻域内有导数, (证明略) 例如, 容易验证x=0是的极小值点. 而 x=0不是的极值点.

例3 求函数 的极值 . 1) 求导数解 2) 求极值可疑点令得令得 3) 列表判别是极大值点，极大值为极小值为是极小值点，

定理2(第二充分条件) 证

思考与练习 则设在上的大小顺序是 ( ) B 或单调增加 , 及提示:利用

(1) 求在内的极值可疑点 利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用. 则其最值只能若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (2)最大值最小值

●当在 内只有一个极值可疑点时, • ●当在上单调时, 特别: 若在 (小) (小) 此点取极大值 , 则也是最大值 . 最值必在端点处达到. • ●对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点 .

最大利润问题 某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒. 其中r是瓶子的瓶子的制造成本是（分），半径，单位是厘米. 假设每售出1立方厘米的酒，他能制作的瓶子最大半径为商人可获利0.2分， 6厘米，问 1) 瓶子半径多大时，能使每瓶酒获利最大？ 2) 瓶子半径多大时，每瓶酒的获利最小？

解瓶子半径为r，每瓶酒能获利为 由得r=2. ；2<r<6时，当0<r<2时，故r=2是的一个极小值点，所以也是最小值点； r=6时，p(r)可达到最大值.

但p(2)<0，说明半径小于或等于2厘米的瓶装 酒，酒所获得的利润抵不上瓶子的成本. 又由p(3)=0知，当瓶子的半径达3cm时，酒的瓶子的半径越大，盈利与瓶子的成本恰好一样. 因而当商人要求售出同量酒制造商的盈利越多. 对半径小于3cm的瓶而又要获得同等的盈利时，所以，市场上小包装的货物一装酒定价要高些. 般比大包装的都要贵些。

§3.5 　函数的极值与最大值最小值