Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes

1. Apprentissage des mathématiquesRésolution de problèmes Roland Charnay - 2007

2. Ce qui est dit dans le socle… • … les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. • Elles développent la pensée logique, les capacités d'abstraction et de vision dans le plan et dans l'espace par l'utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes. • Il s'agit aussi de développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration. • La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Roland Charnay - 2007

3. Plan • Etat des lieux : quelques données sur les acquis des élèves • Analyse des difficultés • Pistes pour l’action pédagogique Roland Charnay - 2007

4. Etat des lieux Quelques données Roland Charnay - 2007

5. Evaluation sixième • Plus d'1 élève sur 5a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés). • Deux domaines particuliers de difficultés • le calcul mental: • 72 % de réussite aux questions "de base" • Exemples : le quart de 100 (68 %) 36 divisé par 4 (56 %) 52 divisé par 4 (37 %) • la résolution de problèmes Roland Charnay - 2007

6. Priorité au calcul mentalparmi tous les moyens de calcul sous ses 2 aspects • Mémoriser des résultats et des procédures • Construire des résultats Roland Charnay - 2007

7. La résolution de problèmes Roland Charnay - 2007

8. Evaluation 6e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland Charnay - 2007

9. Procédures possiblesProblème des photos • Division par 6 • Division (CM1) • Essais de produits par 6 • Table de multiplication (CE2) • Addition de 6 en 6 • Addition (CE1) • Schématisation des pages et des photos • Dénombrement (CP) Roland Charnay - 2007

10. Une question Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… • ne pensent-ils pas… • n’osent-ils pas… • ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question? Roland Charnay - 2007

11. Comparaison internationale (PISA 2003)Deux points faibles caractéristiques • "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants". • Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles". • Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006 Roland Charnay - 2007

12. Un exemple Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure : Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches. Roland Charnay - 2007

13. Le dessin ci-dessous représente un terrain clos. On a indiqué la longueur de quatre des cinq côtés de ce terrain. 40 m 55 m 35 m 80 m La clôture qui entoure ce terrain a une longueur de 260 m. Trouve la longueur du cinquième côté. Ecris tes calculs. Démarche : 64 % Réponse : 57 % Raisonnement (exemple 1 : éva 6e, 2000) Roland Charnay - 2007

14. Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. La plaque est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et pour largeur 10 cm. 12 cm 10 cm a) Calcule la longueur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 44 % b) Calcule la largeur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 23 % 22 % des élèves ont mesuré Raisonnement (exemple 2 : éva 6e, 2000) Roland Charnay - 2007

15. Analyse des difficultés Quelques pistes Roland Charnay - 2007

16. Julie (éva 6e) Julie a acheté pour un goûter : • deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune • quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune • un sac de brioches. Elle a payé 56 F. Quel est le prix du sac de brioches ? 8 F x 6 F = 54 F Le prix du sac de brioches est 2 F. Roland Charnay - 2007

17. Schéma d’analyse sommaire Roland Charnay - 2007

18. A la bonne place (éva CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 Roland Charnay - 2007

19. Quelques pistes… … pour le travail avec les élèves Roland Charnay - 2007

20. Apprendre ce qu’est chercher Un mot à double sens • Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées • Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Roland Charnay - 2007

21. Exemples au CP/CE1… Roland Charnay - 2007

22. Exemple au CM1(tiré de Cap maths CM1) Combien chaque enfant a-t-il mangé de papillotes ? Alex en a mangé trois fois plus que Céline. Brice en a mangé deux de plus qu’Alex. Au total, ils en ont mangé 44. Roland Charnay - 2007

23. Aider à l’appropriation du problème • Plusieurs supports de présentation • Vécu • Dessin, schéma, document • Oral • Ecrit • Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est peu favorable, dans la phase d’apprentissage Roland Charnay - 2007

24. Dix dans la boîte (Cap maths CP) - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup. Roland Charnay - 2007

25. Dix dans la boîte : 3 problèmes • Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup • Plusieurs solutions… dont les nombres • Connaître le contenu de la boîte • Vers l’addition • Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant • Vers le complément Roland Charnay - 2007

26. REEL / ANTICIPATION Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Roland Charnay - 2007

27. Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. • Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours • Eviter les aides « de surface » Roland Charnay - 2007

28. Exploiter la diversité des procédures • Favoriser la diversité • Exploiter la diversité • Aider au progrès des élèves Roland Charnay - 2007

29. Extrait Cap maths CE1 Roland Charnay - 2006

30. Cinq catégories de solutions A                                                             B                     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20                21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 C D 2 5 + . . 6 0 E 25 + 5 = 30 + 30 = 60 5 + 30 = 35 60 – 25 = 35 Roland Charnay - 2007

31. Correction ou mise en commun ? Roland Charnay - 2007 Correction • Aboutir au corrigé, à LA solution • Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible Mise en commun • Inventorier les « résolutions » • Débattre de leur validité • Les comparer • Conséquence : la diversité est possible

32. Trace écrite ? • Pas de trace écrite cette fois-ci • Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève • Un montage de différentes « résolutions » correctes Roland Charnay - 2007

33. Aider à progresser… • Prise de conscience au cours de la mise en commun • Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes • Choix des variables Exemple : 250 passagers, 240 adultes • Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions »(ici validation expérimentale) Roland Charnay - 2007