Az inverzió

1. Az inverzió • Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre • Az O pont az inverzió pólusa • Az r2 érték az inverzió hatványa • Az O ponthoz nem lehet inverz pontot rendelni • A P (O-tól különböző) ponthoz hozzárendeljük az OP félegyenesnek azt a P’ pontját, amelyre OP · OP’ = r2

2. Az inverzió • Ha P inverze P’, akkor P’ inverze P. • Az alapkör pontjai önmaguk inverzei. • Ha egy pont az alapkörön belül van, akkor az inverze kívül lesz; ha kívül, akkor az inverze belül lesz. • A póluson nem átmenő egyenes inverze póluson átmenő kör. A póluson átmenő egyenes inverze ugyanaz az egyenes. • A póluson nem átmenő kör inverze póluson nem átmenő kör. A póluson átmenő kör inverze póluson nem átmenő egyenes.

3. Pont inverzének szerkesztése csak körzővel • Adott egy kör (az inverzió alapköre) O középponttal és r sugárral • Adott P (O-tól különböző) pont, aminek meg kell szerkeszeni az inverz pontját

4. Pont inverzének szerkesztése csak körzővel • Rajzoljuk meg a P középpontú, OP sugarú kört. A 2 körvonal metszéspontjai: M1, M2 • Ha OP ≤ r/2, akkor viszont nem pontosan 2 metszéspont adódik, tehát ez esetben meg kell szerkeszteni a 2 · OP hosszú, OP-vel párhuzamos, O kezdetű szakaszt (aminek végpontját nevezzük Q-nak, tehát 2 · OP = OQ lesz)

5. Pont inverzének szerkesztése csak körzővel • Először nézzük azt az esetet, hogy két metszéspont van. Ezekből r sugarú köröket rajzolva, a metszéspontjuk megadja a P pont inverzét.

6. Pont inverzének szerkesztése csak körzővel • Kétszeres hosszúságú szakasz szerkesztése: • Ha r/4 < OP ≤ r/2, akkor meg kell szerkeszteni a már korrában leírt OQ szakaszt. • Ehhez két körvonalat kell megrajzolni: O középpontú OP sugarút és P középpontú OP sugarút. • A 2 körvonal metszéspontjai: N1, N2

7. Pont inverzének szerkesztése csak körzővel • N2 középpontú N1N2 sugarú kör és a P középpontú előzőleg megrajzolt körvonal (N1-től különböző) metszéspontja a keresett Q pont. • Mivel r/4 < OP ≤ r/2 ésOQ = 2 · OP, ezért r/2 < OQ, és így megszerkeszthető Q inverze. De nekünk P inverze kell!

8. Pont inverzének szerkesztése csak körzővel • Az inverzió definícióját felhasználva:r2 = OP · OP’ = OQ · OQ’OP · OP’ = 2 · OP · OQ’OP’ = 2 · OQ’ • Ez azt jelenti, hogy a Q inverz pontja (Q’) és az O által alkotott szakaszt kell megkétszerezni (O marad a kezdőpont) úgy, mint az OQ szerkesztésénél, és az új szakasz végpontja lesz a P pont inverze. • Tehát most már meg tudjuk r/4 < OP esetén P inverzét szerkeszteni. • Kisebb OP távolság esetén ezen szerkesztési lépések ismétlésével megszerkeszthető P inverze, ha r/8 < OP, r/16 < OP, r/32 < OP, és így tovább (mindig felezve a távolságot).

9. Kör inverzének megszerkesztése • Egy kör inverzének megszerkesztéséhez elegendő 3 különböző pontjának inverzét megszerkeszteni, amik meghatározzák majd a kör inverzét, ami vagy kör vagy egyenes. Ha a kör metszi az alapkört, akkor a metszéspontokat is felhasználva abban az esetben kevesebbet kell szerkeszteni, mivel az ha egy pont az alapkörön van, akkor inverze önmaga. Ellenkező esetben két lehetőség van: a pont az alapkörön belül, vagy azon kívül van. Szerkeszthetünk a néhány diával ezelőtt bemutatott körzős módszerrel is. De itt egy rövidebb, vonalzót is igénylő módszert közlök.

10. Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön belül van • Adott az alapkör O középponttalés a P pont • Húzzunk egyenes O-n és P-n keresztül • Erre az egyenesre állítsunk merőlegest P-ben • Ez a körvonalat két pontban: A-ban és B-ben metszi • Húzzuk meg az OA, OB szakaszt • Állítsunk ezekre merőlegest • Ezek metszéspontja a P inverze

11. Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön kívül van • Adott az alapkör O középponttalés a P pont • Rajzoljuk meg az OP szakaszt • Szerkesszük meg OP felezőpontját • Rajzoljunk M középpontú, OM sugarú kört • Ez az alapkört két pontban: A-ban és B-ben metszi • Rajzoljuk meg az AB szakaszt. • Az AB és az OP metszéspontja a P pont inverze

12. Kör inverzének megszerkesztése - példa Zöld kör: alapkör Lila kör: az eredeti kör Piros: a kör inverze Az ábrán látható 1 alapkörön belüli és egy azon kívüli pont inverzének megszer-kesztése

13. Egy egyszerű feladat • Adott egy kör és középpontja, illetve egy egyenes, ami érinti ezt a kört. • Feladat: szerkesszünk olyan kört, aminek az átmérője a megadot kör középpontja és az érintési pont által meghatározott szakasz.

14. Inverzió Euklidészi szerkesztés (csak körzővel)

15. I. 324. Fényes Balázs 10. o. t. Budapest, Szerb A. Gimn.