Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: III LO W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM • ID grupy: 97_27_MF/G2 • Opiekun: IWONA WENDT • Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW. • Semestr/rok szkolny: V - 2011/2012

3. WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓWprojekt międzyszkolnyCZĘŚĆ I • PRZYGOTOWAŁA • GRUPA 97_27_MF/G2

4. NIEKTÓRE WIELOŚCIANY • Ostrosłup, czworościan, ostrosłup prawidłowy, ostrosłup ścięty, • ostrosłup czworościan • ostrosłup prawidłowy • ostrosłup ścięty • graniastosłup równoległościan romboedr • prostopadłościan • graniastosłup prosty graniastosłup prawidłowy • dwunastościan rombowy • wielościany foremne (platońskie) czworościan foremny • sześcian • ośmiościan foremny • dwunastościan foremny • dwudziestościan foremny • wielościany półforemne (archimedesowe) czworościan ścięty • sześcian ścięty • ośmiościan ścięty • dwunastościan ścięty • dwudziestościan ścięty • sześcio-ośmiościan • sześcio-ośmiościan rombowy wielki • sześcio-ośmiościan rombowy mały • dwunasto-dwudziestościan • dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki • dwunasto-dwudziestościan rombowy mały • sześcian przycięty • dwunastościan przycięty • graniastosłupy archimedesowe • antygraniastosłupy • pryzma • klin

5. NIEKTÓRE WIELOŚCIANY • Graniastosłup, równoległościan, romboedr, prostopadłościan, • graniastosłup prosty, graniastosłup prawidłowy, • dwunastościan rombowy, • ostrosłup czworościan • ostrosłup prawidłowy • ostrosłup ścięty • graniastosłup równoległościan romboedr • prostopadłościan • graniastosłup prosty graniastosłup prawidłowy • dwunastościan rombowy • wielościany foremne (platońskie) czworościan foremny • sześcian • ośmiościan foremny • dwunastościan foremny • dwudziestościan foremny • wielościany półforemne (archimedesowe) czworościan ścięty • sześcian ścięty • ośmiościan ścięty • dwunastościan ścięty • dwudziestościan ścięty • sześcio-ośmiościan • sześcio-ośmiościan rombowy wielki • sześcio-ośmiościan rombowy mały • dwunasto-dwudziestościan • dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki • dwunasto-dwudziestościan rombowy mały • sześcian przycięty • dwunastościan przycięty • graniastosłupy archimedesowe • antygraniastosłupy • pryzma • klin

6. Wielościany i bryły platońskie • Wielościany foremne (platońskie): • czworościan foremny, • sześcian, • ośmiościan foremny, • dwunastościan foremny, • dwudziestościan foremny

7. Wielościany foremne Wielościany wypukłe • Dotknij wielościoanu foremnego

8. WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW • Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych — twierdzenie o wielościanach zwykłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu. • W+S=K+2 • gdzie: • W — liczba wierzchołków • S — liczba ścian • K — liczba krawędzi

9. SPRAWDZENIE WZORU EULERA DLA RÓŻNYCH PRZYPADKÓW WIELOŚCIANÓW Na kilku przykładach ostrosłupów, gdzie w oznacza liczbę wierzchołków, s liczbę ścian, a k liczbę krawędzi. dziesięciokątw=11k=20s=1111-20+11=2 sześciokątw=7k=12s=77-12+7=2

10. Czy istnieje wielościan wypukły mający dokładnie 7 krawędzi? • Czworościan: liczba krawędzi K=6. • Ostrosłup o podstawie kwadratowej: liczba krawędzi K=8. • Nie istnieje wielościan o liczbie krawędzi równej 7.

11. dowÓD WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW • Wyobraźmy sobie wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan. Jeżeli go rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie. Otrzymamy w ten sposób szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających. Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian: wtedy S = 1, liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zależność W+S=K+2 • Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. Będzie wówczas S = 2, ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków: K=W+1, a więc będzie znowu W+S=K+2. Dołączając trzeci wielokąt, spostrzeżemy w taki sam sposób, że zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany. Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany (były one już rozważone poprzednio), przybędzie tylko jedna ściana, a zatem będzie ostatecznie W+S=K+2

12. SYLWETKA WIELKIEGO MATEMATYKA – euler Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk. Był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii. Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak: rachunek różniczkowy i całkowy oraz teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii. Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę:

13. Wzór Euleraprzygotowała grupa 97_12

14. Wzór Eulera eix = cosx + i sin x Xϵ R i - jednostka urojona w-k+s=2 Liczba ścianS, liczba krawędzi Ki liczba wierzchołków W

15. Wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera. Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

16. Zastosowanie Jeżeli wyznaczymy siłę krytyczną, to oczywiście uzyskamy naprężenia krytyczne (s kr = Pkr / F), przy których następuje utrata stateczności pręta ściskanego. Wprowadzając pojęcie minimalnego promienia bezwładności przekroju: a następnie wielkość charakteryzującą wymiary pręta: zwaną smukłością pręta, otrzymamy wzór na naprężenia krytyczne zwane wzorem Eulera:

17. Wzór Eulera możemy przedstawić na wykresie we współrzędnych s, s

18. Praktyczne zastosowanie wzoru Eulera W celu ominięcia kłopotów przy obliczaniu prętów ściskanych za pomocą wzoru Eulera i innych krzywych doświadczalnych skorzystajmy z normy PN-62/B-03200. Zgodnie z tą norma "Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie" sprawdzenie na wyboczenie pręta ściskanego siłą P przeprowadzamy według wzoru: gdzie (b < 1) jest współczynnikiem wyboczeniowym, zależnym od smukłości s pręta i granicy plastyczności Re materiału pręta (wg PN-62/B-03200).Nowsza norma PN-76/B-03200 wydana w miejsce poprzedniej normy zaleca przeprowadzać obliczenia według wzoru:

19. Wykorzystany wzór Wzór w-k+s=2 nosi nazwę wzoru Eulera. Opisuje on zależności między liczbą ścianS, liczbą krawędzi Ki liczbą wierzchołków W dla graniastosłupów.

20. Praktyczne zadania Sprawdź na kilku przykładach, czy dla ostrosłupów prawdziwy jest wzór Eulera: w-k+s=2, gdzie w oznacza liczbę wierzchołków, s liczbę ścian, a k liczbę krawędzi. Sformułuj słownie podaną zależność. czworokątw=5k=8s=55-8+5=2 sześciokątw=7k=12s=77-12+7=2 dziesięciokątw=11k=20s=1111-20+11=2 Podana zależność jest taka, że w każdym ostrosłupie jeżeli do różnicy wierzchołków i krawędzi dodamy liczbę ścian wynik będzie równy 2.

21. Koniec