Рассеяние на PT- симметричных δ - потенциалах

1. Рассеяние на PT-симметричных δ-потенциалах Галимзянов Р. М. Физико-технический институт АН РУз “Актуальные проблемы теоретической и ядерной физики” , НУУз, 25 - 26 октября 2013 г. Ташкент - 2013

2. Структура доклада • Введение • Квантовая задача рассеяния на δ-потенциалах • Проблема собственных значений • Численное моделирование солитона НУШ на РТ потенциале • Выводы

3. Введение Использование комплексных потенциалов имеет давнюю история, - они, например, использовались в квантовой теории для фено-менологического описания различных ядерных реакций. Самое первое Взрыв интереса к системам с PT-симметричным гамильтонианом, наблюдаемый в последние годы, был вызван работой Bender (PT-Symmetric Quantum MechanicsPhys. Rev. Lett., 80, (1998) 5243), которому предшествовала важная работа математика Caliceti(Perturbation theory of odd anharmonic oscillatorsCommun. Math. Phys. 75, 51-66 (1980)), где автор развил теорию возмушения ангармонического осциллятора с чисто мнимой ангармоничностью. Бендер рассмотрел PT-симметричные Гамильтонианы вида H = р2 + x2(ix)ε. Оказалось, что их спектр дискретен и вещественен, что является следствием РТ-симметрии. Это позволило ему усомниться в одном из постулатов квантовой механики о том, что операторы, ставящиеся в соответствие каждой физической величине должны быть эрмитовыми. По определению РТ-симметричные операторы являются неэрмитовымии формулировка канонической квантовой механики, по мнению Бендера, должна быть расширена, заменой условия эрмитовости на условие РТ-симметрии.

4. Введение Это и вызвало резко повышенный интерес к задачам с РТ симметрией. Прежде чем идти дальше, сделаем несколько замечаний по нашей терминологии. 1) Мы рассматриваем одномерные системы. 2) Под РТ-симметрией понимается инвариантность по отношению к одновременному обращению времени и изменению четности прстранства. P: – изменение четности: x => -x, p => -p; T:– обращение времени x => x, p =>-p, i => -i. 3) Определение РТ-симметричного собственного состояния φn(x) РТ φn(x) = φ*n(-x) = φn(x)

5. Рассеяние на δ-потенциалах В данной работе основы квантовой механики не затрагиваются и рассматривается решение задачи рассеяния для уравнения Iψt (x,t)= -1/2ψxx(x,t)+ VPT(x) ψ (x,t)-γ|ψ (x,t) |2ψ (x,t), которое может описывает динамику различных физических систем,- например, плотность конденсата, огибающую электромагнит-ного поля (при t<=>x). При γ=0 по форме оно совпадает с уравнением Шредингера.Положительная мнимая часть в потенциале соответствует поглощению поля, а отрицательная – источнику полей. Одной из причин интереса является необычная динамика процессов в системах с PT-симметрией, где вследствие неэрмитовости (наличие источника и поглотителя поля) не соблюдаются некоторые законы сохранения. Здесь мы рассмотрим простейшую линейную задачу (γ=0) рассея-ния на δ-потенциалах, раскрывающую основные особенности систем с PT-симметрией. PT-симметричный комплексный потенциал:VPT(x) = Vs(x) + i Va(x) Vs(-x) = Vs(x), Va(-x) = -Va (x)

6. Рассеяние на δ-потенциалах V(x) eikx + Be-ikx eikx + F eikx Область взаимодействия Стационарное уравнение Шредингера -1/2ψ (x)xx + [-iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)] ψ (x) = Eψ(x), E = k2 /2

7. Рассеяние на δ-потенциалах Рассеяние на δ-потенциалах Рассеяние на δ-потенциалах iβδ(x-d) eikx + Be-ikx C-eikx + D-e-ikx C+e-ikx + D+eikx eikx + F eikx -d 0 +d I II III IV -iβδ(x+d) -αδ(x) Vs(x) = -αδ(x), Va(x) =-iβδ(x+d) + iβδ(x-d) Другая запись проходящей волны eikx + F eikx = T eikx,

8. Рассеяние на δ-потенциалах Сшивка волновых функций Пусть x=x0, тогда ψ(x0+ε)= ψ(x0-ε). ψx(x0+ε) - ψx(x0-ε) = e-ikd + Beikd =C-e-ikd + D-eikd ik(C-e-ikd - D-eikd ) – ik(e-ikd - Beikd ) = -2iβ(e-ikd + Beikd ) C- + D- = C+ + D+ ik(-C+ + D+) – ik(C- - D-) = -2α(C- + D-) C+e-ikd + D+eikd=Teikd ik Teikd– ik(- C+e-ikd + D+eikd ) = 2iβ Teikd

9. Рассеяние на δ-потенциалах Решая эти 6 уравнений относительно B, C+/-, D+/- , T найдем Амплитуда рассеяния Амплитуда прохождения

10. Рассеяние на δ-потенциалахрезультаты расчетов R = |B|2 , P = |1+F|2 V(x) = -αδ(x), B = -α/(α+ik) , T = ik/(α+ik) B ≡ F, 1 + F = T, 1 = |B|2 + |1+F|2 = |B|2 + |T|2 V(x) = -iβδ(x) , B = - β/(β+k) , T = k/(β+k) V(x) = -iβδ(x+d) + iβδ(x-d) k = 0 : R = 1, P = 0 k = +β : R = 0, P = 1 V(x) = -iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d) k = α : B = -α/(α+ik) , T = ik/(α+ik)

11. Связанные состояния Спектр связанных состояний определяется полюсами амплитуды рассеяния B При E < 0(вспомним, что E = k2/2) вводим новую переменную κ= -ik. Тогда собственные значения будут определяться нулями выражения Это же выражение будет получено, если с самого начала решать задачу на собственные значения.

12. Связанные состояния Комплексные собственные значения Re(E) = -1/2[Re(κ)2 - Im(κ) 2], Im(E) = - Re(κ)*Im(κ) Область значений параметров α,β , где собственное значение E = 0 задается следующим соотношением между параметрами: αd = 4(βd)2 / (1 + 4(βd)2 Здесь d – расстояние между потенциалами

13. Связанные состояния

14. Связанные состояния Волновые функции при различных значениях параметров РТ-симметричный случай α = 0.75, β = 0.5, k = 0.6273462 (E=-0.197) Нарушение РТ-симметрии α = 0.75, β = 0.9, k = 0.1253+0.1110i (E=-0.0017-0.0014i)

15. Связанные состояния Волновые функции при различных значениях параметров Локализованное резонансное состояние α = 0.4, β = 0.5, k = 0.7464393-2.0771768i (E=1.8787459+1.5504864i) Состояние с чисто Положительной энергией α = 0.2, β = 0.535, k = 0.6322792i (E=+0.2)

16. Рассеяние солитона НУШ на потенциале iψt + 1/2ψxx - [-iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)] ψ + |ψ|2ψ = 0 v = 0.5, α = 0.6, β = 0

17. Рассеяние солитонов v = 2, α = 0.6, β = +/-0.5

18. Рассеяние солитонов v = 0.1, α = 0.5, β = +/-0.5

19. Рассеяние солитонов v = 0.2, α = 0.2, β = -0.5

20. Выводы • Решена квантовая задача рассеяния на РТ-симметричном потенциале, составленном из δ-потенциалов • Получена область значений параметров потенциала, при которых система РТ-симметрична (собственные значения вещественны) • Получено решение при положительной энергии с разными амплитудами рассеяной и падающей волны • При численном моделировании рассеяния солитона на РТ потенциале показана неравнозначность падения солитона на РТ-потенциал слева и справа

22. Солитон НУШ

23. Рождение комплексных собственных значений при изменении βα = 0.2 • Физическим состояниямс правильной ассимптотикой |ψ| => 0 при |x| => ¥ соответствуют значения k>0.