Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 2 w Gostyniu • ID grupy: 98/55_MF_G1 • Opiekun: Maria Szczęsna • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • W świecie liczb. • Semestr/rok szkolny: • IV/2011/2012

3. Plan prezentacji • Fascynująca historia odkrycia liczb. • Prymitywne sposoby liczenia. • Dawne sposoby zapisu liczb. • Liczby występujące w „przyrodzie”: liczby Fibonacciego, liczba złota. • Liczby olbrzymy. • Liczba PI i jej własności. • Liczby pierwsze • Ciekawe ciągi liczbowe: liczby trójkątne, kwadratowe, trójkąt Pascala. • Laboratorium alternatywne matematyki: • - konkurs szybkiego liczenia • - konkurs dokładności szacowania. • Zdjęcia z konkursów. • Łamigłówki i ciekawe zadania z pogranicza matematyki. • Autorzy. • Źródła.

4. Liczby rządzą światem • To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa: • Co jest najmądrzejsze? Liczba. • Co jest najpiękniejsze? Harmonia. • Czym jest cały świat?  Liczbą i harmonią. • Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków.

5. Historia liczby i liczenia • Pierwszeobliczeniapierwotnych – 1, 2, wiele. • Zerowy” szczebel poznania liczb prezentują obecnie plemiona prymitywne: Zulusi i Pigmeje w Afryce, Aranda i Kamilarai w Australii, krajowcy z Wysp Murray’a, Botokudzi z Brazylii. • 1 (żywa istota, człowiek), • 2 (dwie płcie, symetria w ciele człowieka, życie i śmierć), • dużo – tak liczą do tej pory, jak w epoce kamienia łupanego. • Co mądrzejsi kojarzą 2 jako parę, 3 jako parę i 1 a już niewielu 4 jako dwie pary.

6. Dawne sposoby zapisu liczb • Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej, choć nie znał jeszcze cyfr. Wyniki swoich obliczeń zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski. Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę znaleziono w Czechach w 1937r. • W latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad 25 000 lat. Na jednej z nich karby układają się w liczby 11, 13, 17, 19. Są to liczby pierwsze. • Wymieniona kość stanowi drugie najstarsze na Ziemi znalezisko matematyczne i można ją sobie obejrzeć w muzeum brukselskim. • Jednak to trochę później wykształcono zapis liczb…

7. Dawne sposoby liczenia: ludzie prymitywni • Dawno temu, kiedy ludzie nie znali jeszcze pisma i ich mowa była stosunkowo prymitywna, jedynymi liczebnikami były słowa jeden, dwa, wiele. Aby wyrazić 3,4,5,6 używali kombinacji słów: jeden, dwa, np. 5 = 2,2,1. Aby powiedzieć liczbę powyżej 6 trzeba było mówić wiele. Nie znaczy to jednak, że plemiona te nie potrafiły zrozumieć i pojąć większych liczb, mimo nieistnienia odpowiednich liczebników.

8. Dawne sposoby liczenia: ludzie prymitywni • Ludzie oceniali wtedy „na oko”. Myśliwi potrafili na przykład określić ile zwierzyny złowili. Ludziom tej epoki nie można jednak przypisać znajomości pewnych liczb w tym sensie, jak to dziś rozumiemy. Liczebnikowi zawsze wtedy przypisywano przedmiot, który miał być policzony: 5 krów, 10 strzał, 20 wojowników itd., ponieważ liczba jest pojęciem abstrakcyjnym, a ludziom wtedy do zrozumienia rzeczy abstrakcyjnych było daleko, pojecie liczby nie związanej ze zbiorem pewnych przedmiotów powstało znacznie później.

9. Dawne sposoby liczenia: liczenie grupami • Z czasem powstała potrzeba zapisu liczby przedmiotów. Najstarszym znanym sposobem jest narysowanie odpowiedniej liczby kresek, zrobienie odpowiedniej liczby nacięć na patyku lub na ziemi. Następny etap liczenia to liczenie grupami. Najwcześniej pojawia się liczenie parami, grupowanie po 12, którego pozostałości widzimy u nas w liczeniu na tuziny i grosy (12 tuzinów). Następnym krokiem w liczeniu jest wielokrotne grupowanie. Jeżeli np. grupowało się po 5 patyczków, to z kolei grupuje się na pewną ilość wiązek po 5 patyczków – otrzymując „stos”, później grupujemy stosy, itd.

10. Dawne sposoby zapisu liczb: Sumerowie • Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie około 2000 r. p.n.e., a zapisywali je za pomocą znaków (klin) na glinianych tabliczkach.

11. Dawne sposoby liczenia: Sumerowie • W miarę jak liczenie stawało się coraz bardziej potrzebną czynnością życia codziennego, musiały też powstać pierwsze „narzędzia” ułatwiające liczenie. Pierwszym przyrządem do liczenia były palce jednej ręki, następnie dwóch rąk. • W starożytnym Sumerze pojawił się system dwunastkowy. Liczono na palcach, a dzięki odpowiednim gestom można było prowadzić handel nawet z ludźmi nieznającymi języka sumeryjskiego.

12. Dawne sposoby zapisu liczb: Aztekowie • Hieroglify azteckie wyglądały następująco: • liczby od 1 do 19 oznaczano kropkami lub palcami • liczba 20 – flagą • liczba 400 - znakiem podobnym do pióra • liczba 8 000 - symbolicznym workiem

13. Prehistoria Kość z Ishango, znaleziow źródłach Nilu (północno-wschodnie Kongo) pochodzi spared 20 tysięcy lat (górny paleolit). Jedna z typowych interpretacji głosi, że jest to najwcześniejsza znana demonstracja liczb pierwszych. Przeddynastyczni Egipcjanie z 5 tysiąclecia p.n.e. graficznie przedstawiali geometryczne konstrukcje przestrzenne. Geometryczne przedstawienia okręgu, elipsy, trójek pitagorejskich można odnaleźć na monumentach w Anglii i Szkocji z 3 millenium p.n.e.

14. Prehistoria • Pierwsze znaki liczbowe, to karby na kawałku drewna, nacięcia na skale. Były prostymi pionowymi kreskami: • Taki zapis zaczyna być mało przejrzysty. Dość szybko to zauważono. Pojawiły się udoskonalenia. Kreski zaczęto grupować. Oto kilka przykładów zmodyfikowanych zapisów:

15. Prehistoria Znaki używane przez wyższych urzędnikówelamickich (ok. 3500 lat p.n.e.): Znaki syryskie:

16. Dawne sposoby zapisu liczb: Majowie • Bardzo oryginalny system zapisywania liczb stworzyło indiańskie plemię Majów. Jako jedni z pierwszych wynaleźli zero - zaznaczane rysunkiem przypominającym skorupkę ślimaka. Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły (wraz z zerem) podstawowy zestaw ,,cyfr'' od 0 do 19.

17. Prehistoria Znaki Majów (cywilizacja Majów powstała w IV tysiącleciup.n.e.;wyginęła w XIV w n.e.)‏ Cyfry Majów służące do zapisu liczbyw systemie dwudziestkowym:

18. Liczby majów

19. StarożytnyWschód~Chiny~ W 212 p.n.e. chiński cesarz Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) rozkazał spalić wszystkie książki spoza państwa Qin. Rozkaz ten nie wszędzie został wykonany, jednak w konsekwencji niewiele dziś wiadomo o starożytnej matematyce chińskiej. Najwcześniejszy istniejący do dziś matematyczny artefakt z Chin to pochodząca z epoki Shang (1600 p.n.e.–1046 p.n.e.) skorupa żółwia z zapisaną liczbą 123. Użyty jest system dziesiętny, od góry do dołu wydrapane zostały: cyfra 1, symbol setki, cyfra 2, symbol dziesiątki, cyfra 3. Podówczas był to najbardziej zaawansowany system liczbowy na świeci. Późniejsi Chińczycy liczyli na przyrządach takich jak suanpan i chiński abakus. Nie wiadomo dokładnie, kiedy suan pan został wynaleziony, najwcześniejsza wzmianka znajduje się w Dodatku do sztuki figur Xu Yue z roku 190 n.e..

20. StarożytnyWschód~Mezopotamia Cywilizacja sumeryjska (ok. 3500 lat p.n.e.) - znaki liczbowe były glinianymi żetonami:.

21. Nazwy sumeryjskie Nazwy akadyjskie mas mislu susana sussanu sanabi sinipu kingusilla parasrabi StarożytnyWschód~Mezopotamia~ W starożytnym Babilonie zamieszkałym przez Sumerów i Akadów,  oprócz koncepcyjnego rozwinięcia pojęcia części ułamkowych, wprowadzono symbole ułamków. Niektóre ułamki miały własne oznaczenia

22. System Babiloński • System babiloński może wydawać się skomplikowany, jednak w rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla oznaczenia jedności i dziesiątek. Znak oznaczał jedności, znak oznaczał dziesiątki. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków.

24. Starożytny Egipt Jak zapisać liczenie czyli zbyt wiele kresek... Starożytni Egipcjanie, podobnie jak wiele innych ludów, zapisywanie liczb zaczęli od bardzo prostej metody. Jedna pionowa kreska | oznaczała, że policzono jeden przedmiot, dwie kreski || – dwa przedmioty, trzy kreski ||| – trzy, cztery kreski |||| – cztery. Im większą liczbę trzeba zanotować, tym bardziej uciążliwy staje się ten sposób. Wyobraźmy sobie, że chcemy zapisać liczbę 82: Mnóstwo kresek wymaga sporo pracy przy pisaniu. A przy odczytywaniu? Sprawdź, czy powyżej rzeczywiście zapisano liczbę 82.

25. Starożytny Egipt Do zapisania liczby 100 trzeba by już było użyć dziesięciu symboli dziesiątki. Poradzono sobie z tym wprowadzając kolejny symbol, wyobrażający zwinięty sznur mierniczy. Podobnie jak w przypadku liczb od 11 do 99, liczby od 101 do 999 zapisywano używając odpowiedniej liczby znaków dla setek, dziesiątek i jedności. Jak łatwo się domyślić, dla tysiąca wymyślono kolejny znak, przedstawiający kwiat lotosu. Z kolei dziesięć tysięcy symbolizował wizerunek palca wskazującego, sto tysięcy rysunek kijanki czy też ryby, zaś milion wyobrażała sylwetka klęczącego człowieka wznoszącego ręce w górę w geście zdumienia.    101001000 10.000 100.000 1.000.000 0   1000   10.000     100.000   1.000.000

26. Kiedy Egipcjanie rozwinęli swoje pismo, hieroglify, dla większych liczb wymyślili specjalne symbole. Liczby od 1 do 9 nadal zapisywano odpowiednią ilością pionowych kresek. Ale już 10 zapisywano specjalnym, pojedynczym znakiem – rysunkiem pięty.    1    2    3    4    5    6    7    8    9 Starożytny Egipt 1 2 3 4 5 6 7 8 9

27. A jak dodawali Egipcjanie? W gruncie rzeczy tak samo, tylko, nie mając cyfr, grupowali symbole: Starożytny Egipt 234 równa się dodać 689 równa się 923 równa się

28. A następne liczby? Polskie „jede-na-ście” oznacza „jeden-na-dziesięcie”, czyli 10+1, dwanaście to 10+2, trzynaście to 10+3. W podobny sposób spojrzeli na to Egipcjanie. Liczby następujące po 10 zapisywali rysując znak dziesiątki oraz odpowiednią liczbę znaków jednostek. Podobnie „dwa-dzieścia” to dwie dziesiątki, dwadzieścia jeden to dwie dziesiątki i jeden, dwadzieścia dwa to dwie dziesiątki i dwa. „Trzy-dzieści” to trzy dziesiątki... i tak dalej aż do dziewięć-dziesiąt dziewięć. 10 11            11 12 1313 1919            220 212122 23 29            22            23            29         90          91          92          93 Starożytny Egipt 90 91 92 93 99

29. SYSTEM LICZBOWY STAROŻYTNYCH GREKÓW Podczas pierwszego millenium przed narodzeniem Chrystusa w Grecji nie istniały obowiązujące normy państwowe, gdyż poszczególne wyspy greckie tworzyły oddzielne państwa. Oznacza to, że każde z nich miało swoją własną walutę, system wag i miar, a system liczbowy nieznacznie różnił się. W owych czasach liczby wykorzystywano głównie w transakcjach handlowych.Istniały również inne systemy liczbowe zaproponowane przez  różnych greckich matematyków, ale nie weszły one do powszechnego zastosowania.    Pierwszym greckim systemem liczbowym, któremu się przyjrzymy jest system akrofoniczny, który stosowany był w pierwszym milenium przed naszą erą. „Akrofoniczny” oznacza, iż symbole liczb pochodzą od pierwszej litery nazwy liczby, tak więc symbol pochodzi od skrótu nazwy liczby. Oto symbole dla liczb 5, 10, 100, 1000, 10000. Akrofoniczne  5, 10, 100, 1000, 10000.

30. Opuściliśmy symbol dla jedności, czyli “I”, która jest naturalną prostą notacją nie pochodzącą z żadnej pierwszej litery cyfry. Dla cyfry 5 symbolem powinien być P, jeżeli nazwa brzmi Pente; jednak później nastąpiły zmiany w greckim alfabecie, a nazwa liczby pozostała bez zmian. Pierwotnie Pente brzmiało Gente.    System liczbowy był oparty o zasadę addytywności, podobnie jak liczby rzymskie. Oznacza to, że 8 jest po prostu VIII, czyli symbol 5 razem z dodanymi trzema symbolami jedności.     Oto 1 – 10 w greckim systemie akrofonicznym.

31. 5678 drachm było zapisywane w ten sposób: 3807 talentów byłoby zapisane w sposób następujący: 3807 drachm i 3 obole:

32. Zapis cyfr w różnych czasach

33. Zapis liczb

34. Dawne sposoby liczenia: Rzym • Społeczeństwo pierwotne ciągle się rozwijało. Pojawiło się piśmiennictwo. Gdy patrzymy na cyfry rzymskie, występują tu wyraźnie pozostałości liczby węzłowej 5 (oddzielne znaki dla 5,50,500) i zasada odejmowania liczb odpowiadających symbolom stojącym z lewej strony innego symbolu.

35. System rzymski • Rzymski (łaciński) system zapisywania liczb – addytywny system liczbowy, w podstawowej wersji używa 7 znaków • I = 1, V = 5, X = 10, • L = 50, C = 100, • D = 500, M = 1000

36. System Arabski • System zapisu liczb, którym posługujemy się dzisiaj, nosi nazwę systemu arabskiego. Nazwa sugeruje, iż został on wynaleziony przez Arabów. Tymczasem prawda jest inna. Arabowie przejęli i rozpowszechnili ten system od Hindusów. To uczonym bramińskim przysługuje palma pierwszeństwa w opracowaniu zapisu pozycyjnego.

37. Różnorodne systemy liczenia – geneza powstania. • System piątkowy (pięć piątek, czyli 25 na obu dłoniach plus wolne 5 palców dłoni) – do tej pory w użyciu przez niektórych kupców indyjskich w Bombaju. • System dziesiętny, czyli liczba palców obu dłoni – współczesne słowa indoeuropejskie, semickie lub mongolskie, chińskie posiadają odrębne nazwy na 10 pierwszych liczb. • System dwudziestkowy (Malinkowie w Górnym Senegalu i Gwinei, Banda w Afryce środkowej, Jebu i Joruba w Nigerii, Tamani w Wenezueli, Eskimosi na Grenlandii, Ajnów na Sachalinie, Majowie i Aztekowie w Ameryce Środkowej) – cztery piątki palców kończyn. • System dwunastkowy (Sumerowie: 12 danna = doba, podział koła izodiaku na 12 beru; Rzymianie: masa 1 as = 12 uncji; narody europejskie do WRF obliczały pieniądze: solid = 12 denarów, stopa = 12 cali) – prawy kciuk wskazuje kolejno 12 (3x4) członów palców dłoni, Do dziś używany jeszcze w Indiach, Indochinach, Pakistanie, Afganistanie, Egipcie, Syrii, Turcji, Iraku i Iranie.

38. historia urządzeń do liczenia. • Pierwsze - palce. Następnie - kamienie, paciorki, nacięcia na kościach itp. • Kamyki w dołkach, po 10 w każdym (liczenie wojowników na Madagaskarze) poprzednik ABAK-u. • 3000 lat p.n.e. Sumerowie zaczęli stosować tabliczki gliniane z pięcioma i dwoma kamykami w podłużnych wyżłobieniach (system piątkowy). • 2600 lat p.n.e. Chińczycy udoskonalili ABAK i powstało liczydło (SUAN-PAN) w postaci kilku prętów z nanizanymi 7 kulkami (5 i 2). • 1642r. Pascal konstruuje sumator – mechaniczną maszynę do dodawania, opartą na przekładniach kół zębatych. • Od połowy XIX wieku liczydło japońskie (SOROBAN) wzorowane na chińskim składało się tylko z kilku kompletów 5 kulek (4 i 1). • 1820r. Charles Babbage opisuje budowę maszyny liczącej znanej nam jako komputer. Rozwój techniki umożliwił budowę tego urządzenia dopiero na przełomie wieków XX i XXI. • 1886r. Herman Hollerith buduje pierwszą elektryczną maszynę liczącą i zakładając w 1917r. firmę International Buissines Machine rozpoczyna erę komputerów.

39. Historia urządzeń do liczenia cd • 1642r. Pascal konstruuje sumator – mechaniczną maszynę do dodawania, opartą na przekładniach kół zębatych. • Od połowy XIX wieku liczydło japońskie (SOROBAN) wzorowane na chińskim składało się tylko z kilku kompletów 5 kulek (4 i 1). • 1820r. Charles Babbage opisuje budowę maszyny liczącej znanej nam jako komputer. Rozwój techniki umożliwił budowę tego urządzenia dopiero na przełomie wieków XX i XXI. • 1886r. Herman Hollerith buduje pierwszą elektryczną maszynę liczącą i zakładając w 1917r. firmę International Buissines Machine rozpoczyna erę komputerów.

40. Leonardo Fibonacci • W XIII wieku włoski matematyk Leonardo Fibonacci (1170- 1250) odkrył ciąg liczb naturalnych nazwany następnie jego imieniem.

41. Liczby Fibonacciego • Pierwsze dwa wyrazy ciągu są równe 1, każdy następny wyraz jest sumą dwu poprzednich.

42. Liczby Fibonacciego • Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę ją poprzedzającą wówczas otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1,61804 - znany w geometrii jako złota proporcja, zapisywana przy pomocy dwudziestej pierwszej litery alfabetu greckiego "Φ" (phi) - im większe liczby dzielimy, tym iloraz jest bliższy złotej proporcji. Odwrotnością 1,618 jest 0,618.

43. Liczby Fibonacciego • Podział prostokąta – złota proporcja, złoty środek • Inwestowanie (akcje, obligacje, towary, waluty)

44. Liczby Fibonacciego • W literaturze spotkamy określenie "inwestowania harmonicznego" - jest to metoda, która używa liczb Fibonacciego w celu określenia miejsc o wysokim prawdopodobieństwie zwrotu na wykresie ceny instrumentu finansowego (akcji, obligacji). • Metoda polega na tym, że pewne formacje rynkowe lub cykle powtarzają się podobnie jak wzorce i cykle w codziennym życiu. • Kluczem do nich jest identyfikacja tych wzorców oraz wejście i wyjście z rynku.

45. Liczby Fibonacciego

46. Liczby Fibonacciego Właściwości liczb: • Złoty podział odcinka stworzony po raz pierwszy przez Euklidesa • Złoty podział prostokąta • Spirala logarytmiczna • Elipsa logarytmiczna Zależności: • Φ2 - Φ=1 • (1 + Φ)2 = Φ4 • 1/Φ2+ 1/Φ=1 • Φ - 1/Φ=1 • Suma dowolnych dziesięciu kolejnych liczb ciągu Fibonacciego jest podzielna przez 11

47. Liczby Fibonacciego Złoty podział odcinka

48. Liczby Fibonacciego Spirala logarytmiczna

49. Liczby Fibonacciego Elipsa logarytmiczna

50. Liczby Fibonacciego Zależności: • Co trzecia liczba ciągu Fibonacciego jest podzielna przez 2, a co czwarta przez 3, co piąta przez 5, itd. Kolejne dzielniki są liczbami ciągu Fibonacciego • Różnica kwadratu liczby ciągu Fibonacciego i iloczynu sąsiednich wyrazów jest stałą, której znak zmienia się w miarę wzrostu indeksu. • Dla każdych czterech kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego: A, B, C, D prawdziwa jest zależność: C2 - B2 = A× B