2. Hidrostatika

1. 2. Hidrostatika Hidrostatika yra skysčių mechanikos dalis, nagrinėjanti skysčių pusiausvyros dėsnius bei nejudančio skysčio poveikį į jį panardintus ir jo laisvajame paviršiuje plūduriuojančius kūnus. Kadangi pusiausviruose skysčiuose klampos jėgos nepasireiškia, todėl hidrostatikos išvados galioja tiek idealiajam, tiek realiajam skysčiui. Remiantis hidrostatikos dėsniais, galima apskaičiuoti sumines jėgas ir momentus, veikiančius užtvankas, kanalų ir šliuzų sieneles. Iš hidrostatikos lygčių, nusakančių nespūdžiojo skysčio santykinę pusiausvyrą, galima nustatyti cisternose vežamo skysčio, lėktuvo degalų bake esančių degalų laisvojo paviršiaus formą, numatyti, kokiomis sąlygomis jie gali išsilieti ir kita.

2. 2.1. Hidrostatinis slėgis, jo savybės Pagrindinė hidrostatikos sąvoka yra hidrostatinis slėgis. Šią sąvoką geriau suprasti padeda pateikta schema. Pusiausviras skysčio masyvas vertikaline plokštuma dalijamas į dvi dalis (pav., a). Viena dalis tariamai pašalinama. Kad skysčio antroji dalis, kurios skersinio pjūvio plotas yra A, toliau liktų pusiausvira, reikia pridėti jėgą, atitinkančią atmestos skysčio masyvo dalies veikimą. Apie laisvai pasirinktą tašką išskiriamas labai mažas plotelis ΔA, šį plotelį veikia jėga ΔF, vadinama hidrostatinio slėgio jėga (pav., b).

3. Padalijus jėgą ΔF iš ploto ΔA, gaunamas vidutinis hidrostatinis slėgis: Daroma prielaida, kad plotelis ΔA mažėja artėdamas prie nulio taip, kad laisvai pasirinktas taškas liktų plotelio ribose. Tuomet slėgis pvidartės prie tam tikros ribos p: Dydis p išreiškia slėgį taške ir vadinamas hidrostatiniu slėgiu. Pagrindinis slėgio matavimo vienetas pagal tarptautinę (SI) matų sistemą yra paskalis (Pa), lygus vieno niutono slėgio jėgai į kvadratinį metrą: 1Pa = 1N/m2.

4. Kadangi tai yra labai mažas slėgis, praktikoje taikomi kartotiniai slėgio matavimo vienetai su atitinkamais priešdėliais: hektopaskalis, 1hPa = 102 Pa, kilopaskalis, 1kPa = 103 Pa, megapaskalis, 1 MPa = 106 Pa. Inžinerinėje praktikoje taikomas nesisteminis slėgio matavimo vienetas yra baras: 1 bar = 105 Pa =100 kPa. Techninėje matų sistemoje taikomas slėgio matavimo vienetas yra techninė atmosfera (atm): 1 atm = 1 kg/cm2 = 98,1 kPa.

5. Hidrostatinis slėgis yra vektorinis dydis, apibūdinimas kryptimi ir dydžiu. Hidrostatiniam slėgiui būdingos 2 pagrindinės savybės. Pirmoji savybė – hidrostatinis slėgis yra statmenas slegiamam paviršiui ir yra nukreiptas į jį. Laikoma, kad jėga dF (pav., a) nėra statmena ploteliui dA. Tada ją galima išskaidyti į 2 dedamąsias: dFτ– tangentinę ir dFn – statmeną ploteliui dA.

6. Jei jėga sukeltų tangentinius įtempimus ir skysčio dalelės pradėtų judėti jėgos kryptimi, būtų pažeista pusiausvyra. Taigi hidrostatinis slėgis visada statmenas slegiamam paviršiui. Jeigu hidrostatinis slėgis būtų nukreiptas priešinga slegiamam paviršiui kryptimi, tuomet jėga dF temptų skystį. Kadangi skystis nesugeba priešintis tempimui, jo dalelės pradėtų judėti, pažeisdamos skysčio pusiausvyrą. Taigi hidrostatinis slėgis tegali būti nukreiptas į slegiamą paviršių (pav., b). Antroji savybė – hidrostatinis slėgis taške yra visomis kryptimis vienodas. Norint įrodyti šią savybę, pusiausviro skysčio tūryje išskiriamas elementarusis tetraedras ABCO (2.3 pav.).

7. 2.3 pav. Schema hidrostatinio slėgio antrajai savybei įrodyti

8. Atmestosios skysčio dalies poveikį tetraedrui galima pakeisti paviršinėmis slėgio jėgomis ΔFx, ΔFy, ΔFz ir ΔFn, statmenomis atitinkamoms tetraedro plokštumoms. Be to, tetraedrą veikia masės jėgos, kurių atstojamoji ΔF=ρa ΔV, čia ρ skysčio tankis; a masės jėgų pagreitis; ΔV tetraedro tūris. Tam, kad nagrinėjamas skysčio tetraedras būtų pusiausviras, visų veikiančių jėgų projekcijos į koordinačių ašis turi būti lygios nuliui. Suprojektavus šias jėgas į ašį OX, gaunama:

9. Lygtį padalijus iš trikampio AOB ploto ΔAx gaunama: Trikampio AOB plotas yra o tetraedro tūris yra Trikampio ABC plotas yra , taigi

10. Įrašius atitinkamas trikampių ir tetraedro reikšmes į (2.3) lygtį, gaunama: • Atlikus matematinius veiksmus, gaunama • Siekiant apskaičiuoti hidrostatinį slėgį taške O, artėjant prie nulio tetraedro matmenys mažinami ir, remiantis (2.2) lygtimi, gaunama • Tada (2.4) lygtis atrodo taip:

11. Suprojektavus skysčio tetraedrą veikiančias jėgas į kitas koordinačių ašis, gaunama, kad ir. Taigi Kadangi plokštuma ABC ir jėga ΔFn orientuota laisvai, daroma išvada, kad taško O hidrostatinis slėgis visomis kryptimis yra vienodas. Kituose skysčio taškuose slėgis yra kitoks ir priklauso nuo taško padėties, t. y. nuo koordinačių:

12. 2.2. Atmosferos slėgis Atvirame inde skysčio laisvąjį paviršių bei indų ir rezervuarų, kuriuose gali būti laikomi įvairūs skysčiai, išorines sieneles veikia atmosferos slėgis.Atmosferos slėgis yra toks slėgis, kuriuo kiekviename atmosferos taške orą slegia aukščiau esantys oro sluoksniai. Atmosferos slėgio dydis bet kuriame atmosferos taške lygus aukščiau esančio oro stulpo sunkiui, padalytam iš veikiamo ploto. Atmosferos slėgis matuojamas barometrais, todėl be įprastų slėgio mato vienetų (paskalių) gali būti išreiškiamas barais arba milibarais: 1bar = 105Pa, 1mbar = 0,001bar = 100 Pa. Jūros lygyje esant 0 °C temperatūrai ir 45° geografinei platumai vidutinis atmosferos slėgis artimas 760mm aukščio gyvsidabrio stulpelio slėgiui ir yra lygus 101,3kPa = 1013mb. Didėjant aukščiui, atmosferos slėgis mažėja. 5 km aukštyje atmosferos slėgis maždaug per pusę mažesnis negu prie žemės paviršiaus.

13. Atliekant hidraulinius skaičiavimus paprastumo dėlei atmosferos slėgis skysčio laisvajame paviršiuje laikomas lygus 100,0 kPa. Meteorologijoje atmosferos slėgis, išmatuotas tam tikru momentu tam tikroje vietoje, paprastai redukuojamas į jūros lygį, 0 °C temperatūrą ir sunkio jėgos pagreitį, veikiantį 45° geografinėje platumoje. Aukščiausias redukuotas atmosferos slėgis buvo užregistruotas Sibiro anticiklone – 108,0kPa, žemiausias – tropiniame ciklone Japonijoje (88,4kPa), Lietuvoje aukščiausias – 104,5, žemiausias – 95,5kPa.

14. 2.3. Skysčių pusiausvyros diferencialinės lygtys Pusiausvirame skystyje išskiriamas elementarusis gretasienis (2.4 pav.), kurio briaunos Δx,Δy irΔz yra lygiagrečios su koordinačių ašimis OX, OY, OZ. 2.4 pav. Veikiančių jėgų schema

15. Suprojektavus gretasienį veikiančias jėgas į OX, OY ir OZ ašis, gaunama lygčių sistema: Šios lygtys vadinamos skysčių pusiausvyros diferencialinėmis lygtimis (jos dar vadinamos Oilerio hidrostatikos lygtimis). Jos rodo, kad, kai skystis yra pusiausviras, masės jėgos atsveria paviršines jėgas. Šiose lygtyse paprastai yra žinomos pagreičio projekcijos ax, ay, az, o reikia rasti slėgį p.

16. Skysčių pusiausvyros diferencialinių lygčių integravimas. Pagrindinis hidrostatikos dėsnis Norint apskaičiuoti slėgį bet kuriame pusiausviroje esančio skysčio taške, diferencialinių lygčių sistema integruojama, atliekami matematiniai pertvarkymai ir galutinai gaunamas pagrindinis hidrostatikos dėsnis:

17. 2.5. Pagrindinė hidrostatikos lygtis Remiantis pagrindiniu hidrostatikos dėsniu, gaunama formulė hidrostatiniam slėgiui skystyje skaičiuoti. Šis dėsnis taikomas dviems pusiausviro skysčio taškams A ir B, kurių vienas yra skysčio paviršiuje (2.5 pav.):

18. Iš pateiktos lygties gaunama: čia p – pilnutinis slėgis bet kuriame skysčio taške, p0 – slėgis skysčio laisvajame paviršiuje, h – taško įgilinimas nuo paviršiaus. Ši lygtis vadinama pagrindine hidrostatikos lygtimi.

19. 2.6. Pilnutinis, perteklinis (manometrinis) ir vakuuminis slėgis Pilnutinis slėgis išreiškiamaspagrindine hidrostatikos lygtimi: Nagrinėjant indo sienelę veikiantį slėgį, matyti, kad taške A (2.5 pav.) iš vidaus ją slegia pilnutinis slėgis p, o iš išorės – atmosferos slėgis. Taigi indo sienelę veikia slėgis, lygus pilnutinio slėgio p ir atmosferos slėgio skirtumui. Šis slėgis vadinamas manometriniu arba pertekliniu slėgiu, jis reiškia slėgio perteklių virš atmosferos slėgio:

20. Pilnutinis hidrostatinis slėgis p kartais gali būti mažesnis už atmosferos slėgį (p < patm). Šiuo atveju indo sienelę taške A veikia slėgis, lygus atmosferos slėgio patm ir pilnutinio slėgio skirtumui. Šis slėgis vadinamas vakuuminiu slėgiupvak ir yra lygus: Lotynų kalbos žodis „vacuum“ lietuviškai reiškia „tuštuma“. Taigi vakuuminis slėgis yra slėgio trūkumas iki atmosferos slėgio.

21. Pagrindinio hidrostatikos dėsnio geometrinė ir energetinė prasmė Geometrinė prasmė Pagrindinį hidrostatikos dėsnį apibūdina lygtis Šios lygties pirmasis narys z vadinamas padėties (geometriniu) aukščiu. Šis aukštis matuojamas nuo laisvai pasirinktos horizontalios plokštumos O–O (2.6 pav.), vadinamos palyginimo (atskaitymo) plokštuma. Dydis z matuojamas ilgio vienetais.

22. 2.6 pav. Schema pagrindinio hidrostatikos dėsnio geometrinei prasmei paaiškinti

23. Antrasis hidrostatikos dėsnio narys vadinamas slėgio aukščiu. Jis rodo slėgį nagrinėjamame taške, išreikštą skysčio stulpo aukščiu (jis taip pat matuojamas ilgio vienetais). Skiriami pilnutinio, manometrinio ir vakuuminio slėgio aukščiai. Kai prie indo sienelės taško A gylyje (2.6 pav.) prijungiamas vamzdelis „a“ atviru galu, vadinamas pjezometru (graikų k. žodis ,,pjezo“ reiškia „slegiu“ + ,,metreo” – matuoju), tai tokiame vamzdelyje skystis, veikiamas manometrinio slėgio pman, pakyla į aukštį kuris vadinamas manometrinio slėgio aukščiu arbatiesiog manometriniu aukščiu.

24. Taško A gylyje prijungus vamzdelį uždaru galu „b“, iš kurio pašalintas oras ir skysčio garai ( ), skystis šiame vamzdelyje pakyla į kitą aukštį, vadinamą absoliutiniu aukščiu. Jo dydis Absoliutiniu aukščiu jis vadinamas todėl, kad tokiame vamzdelyje yra absoliuti vadinamoji Toričelio tuštuma. Taikant taškui A pagrindinę hidrostatikos lygtį tuo pačiu metu iš uždarojo (b) ir iš atvirojo (a) vamzdelio pusių gaunama

25. Kadangi ir tai Taigi pilnutinis slėgis yra lygus atmosferos ir manometrinio slėgių sumai. Uždarame inde (2.7 pav.) nagrinėjamas atvejis, kai taške A yra vakuumas, t. y. pilnutinis slėgis jame yra mažesnis už atmosferos slėgį (p <p atm). Vakuuminį slėgį galima išmatuoti U formos vamzdeliu, kuris vadinamasvakuumetru. Kadangi skysčio paviršių vakuumetre slegia atmosferos slėgis, kuris šiuo atveju yra didesnis už pilnutinį slėgį (p atm> p), tai šis paviršius vamzdelyje bus žemiau taško A dydžiu:

26. 2.7 pav. Schema vakuuminio slėgio aukščiui paaiškinti

27. Dydis hvakvadinamas vakuuminio slėgio aukščiu arba tiesiog vakuuminiu aukščiu. Tašką A vertinant iš vakuumetro pusės ir taikant pagrindinę hidrostatikos lygtį, gaunama Atsižvelgiant į tai, kad, paskutiniąją lygtį galima perrašyti taip: Kai p = 0 (absoliučioji tuštuma), . Taigi vakuumo dydis negali būti didesnis už atmosferos slėgį.

28. Pagrindinio hidrostatikos dėsnio abiejų narių zir suma vadinama pjezometriniu aukščiu ir žymima raide Hp.

29. Kadangi šių narių suma yra pastovus dydis, be to, taško A padėtis (2.6 pav.) pasirinkta laisvai, tai galima teigti, kad pusiausviro skysčio visuose taškuose pjezometrinis aukštis Hp yra pastovus. Kai uždaro indo skirtinguose taškuose (1, 2, 3) prijungiami pjezometrai (2.8 pav.), juose skystis nusistovi vienodu lygiu, pakilusiu nuo palyginimo plokštumos O–O per pjezometrinį aukštį Skysčio lygius pjezometruose jungianti plokštuma (linija) P – P yra horizontali ir vadinama pjezometrine plokštuma (linija).

30. 2.8 pav. Schema pjezometrinės linijos ir hidrostatinio aukščio sąvokoms paaiškinti

31. Uždaro indo 4 taške prijungus uždaru galu vamzdelį, iš kurio pašalintas oras ir skysčio garai (2.8 pav.), skystis vamzdelyje pakyla į aukštį Habs, kuris vadinamas absoliutiniu hidrostatiniu aukščiu:

32. Energetinė (fizinė) interpretacija. Skystis, būdamas pusiausviras, turi sukaupęs mechaninės energijos atsargą, todėl jis gali atlikti tam tikrą darbą. Pusiausviros būsenos skystis turi tik potencinę energiją. Narys z reiškia padėties lyginamąją potencinę energiją, o narys p/ρg – slėgio lyginamąją potencinę energiją. Taigi pagrindinis hidrostatikos dėsnisenergetine prasme reiškia, kadpilnutinė lyginamoji potencinė energija lygi padėties ir slėgio lyginamųjų potencinių energijų sumai.

33. 2.9. Slėgio matavimo prietaisai Manometrinio slėgio matavimo prietaisai vadinami manometrais. Jie skiriami į skystinius ir mechaninius manometrus. Slėgių skirtumas matuojamasdiferenciniais manometrais, o vakuumas – vakuumetrais. Paprasčiausias skystinis manometras yra pjezometras. Tai vamzdelis atviru galu, prijungiamas tame taške, kuriame norima išmatuoti slėgį. Vamzdelis (dažniausiai stiklinis, gali būti plastmasinis) imamas ne mažesnio kaip 10–20 mm skersmens, kad skystyje nepasireikštų kapiliariniai reiškiniai. Pjezometru išmatuojamas pjezometrinis (manometrinis) slėgio aukštis.

35. 2.13 pav. Slėgio matavimo diferenciniu momentu schema

36. 2.14 pav. Slėgio matavimo vakuumetru schema

37. Spyruoklinio manometro schema Membraninio manometro schema

38. 2.10. Paskalio dėsnis ir jo taikymas. Hidraulinis presas Taikant pagrindinį hidrostatikos dėsnį bet kuriems dviems pusiausviro skysčio taškams galima parašyti tokią lygtį: Jeigu pirmajame taške slėgis pakito dydžiu Δp1, antrajame taške slėgis taip pat pakis kol kas nežinomu dydžiu Δp2. Šiems taškams taikant pagrindinį hidrostatikos dėsnį galima parašyti lygtį Kad lygtyje nurodytos sumos būtų pastovios, būtina ši lygybė:

39. Šia lygtimi užrašytas B. Paskalio dėsnis: bet koks slėgio pokytis pusiausviro skysčio viename taške perduodamas visiems taškams vienodai. Paskalio dėsnis taikomas technikoje. Juo pagrįstas hidraulinio preso, hidraulinio keltuvo, multiplikatoriaus ir kitų hidraulinių mašinų veikimas. Hidraulinis presas susideda iš dviejų skirtingų skersmenų cilindrų, kurie užpildyti alyva (2.17 pav.). Hidraulinio preso veikimo principas toks: jėga F1 paspaudus d skersmens stūmoklį, po juo susidarys toks slėgis: čia A1 mažesniojo stūmoklio skersinio pjūvio plotas.

40. 2.17 pav. Hidraulinio preso schema

41. Veikiant slėgiui p1 skersmens D stūmoklį slėgs papildoma jėga F2, kurios dydis, remiantis Paskalio dėsniu, bus lygus: čia A2 didesniojo stūmoklio skersinio pjūvio plotas. Iš (2.62) lygties matyti, kad hidraulinio preso slėgio jėga tiesiog proporcinga stūmoklių skersmenų kvadratų santykiui. Hidraulinio preso jėgai padidinti naudojamas svertas. Paspaudus jėga F0, jėgų momentas bus

42. Įrašius šią reikšmę į lygtį, gaunama Įvedus naudingumo koeficientąη , įvertinantį stūmoklių ir skysčio dalelių tarpusavio trintį, gaunamas jėgos, kuri veikia hidraulinio preso didesnįjį stūmoklį, dydis Naudingumo koeficientas η= 0,800,85. Pašalinus atramą A (2.17 pav.), gaunamas hidraulinis keltuvas (domkratas).