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Thema. Ebenen. von: Sarah Otto. Überblick. 1. Parameterformen 1.1 Punkt - Richtungsform 1.2 Drei - Punkte – Form 2. Die Koordinatenformen 2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalform 3. Umwandlung 4. Lagebeziehungen / Schnitte 5. Schnittwinkel. 1/22.

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Presentation Transcript

  1. Thema Ebenen von: Sarah Otto

  2. Überblick 1. Parameterformen 1.1 Punkt - Richtungsform 1.2 Drei - Punkte – Form 2. Die Koordinatenformen 2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalform 3. Umwandlung 4. Lagebeziehungen / Schnitte 5. Schnittwinkel 1/22

  3. 1. Parameterformen Die beiden Parameterformen: 1.1 Punkt-Richtungs-Form 1.2 Drei-Punkte-Form 2/22

  4. 1.1 Punkt-Richtungs-Form x = a + *u + *v x y z a1 a2 a3 v1 v2 v3 u1 u2 u3 A (5/0/1) u = v = = + * + * Gegeben: - Der Punkt A mit dem Ortsvektor a - Zwei linear unabhängige Richtungsformen u und v - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene 2 1 3 1 1 4 3/22

  5. 1.2. Drei-Punkte-Form x = a + *(b-a) + *(c-a) x y z a1 a2 a3 c1 - c2 - c3 - a1 a2 a3 b1- b2 - b3 - a1 a2 a3 = + * + * Gegeben: - drei Punkte A,B,C auf der Ebene - Richtungsvektoren sind jetzt z.B. b-a und c-a - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene A (1/3/2) B (-2/2/-1) C (3/1/5) 4/22

  6. 2. Koordinatenformen • Die Koordinatenformen • 2.1 Achsenabschnittsform • 2.2 Normalenform • 2.3 Hessesche Normalenform 5/22

  7. 2.1 Achsenabschnittsform x s y t z u 1 = + + Die Ebene E ist durch die Achsenschnittpunkte S (4/0/0) T (0/-2/0) U (0/0/3) ...gegeben Schneidet die Ebene E die x-Achse im Punkt S (s/0/0), die y-Achse im Punkt T (0/t/0) und die z-Achse im Punkt U (0/0/u), so gilt für einen beliebigen Punkt X (x/y/z) auf der Ebene E: die Achsenabschnittsform 6/22

  8. 2.2 Normalenform 1 2 3 n = A (-4/5/3) 0 = n (x – a)  0 = n x – n a ° ° ° n1 n2 n3 x - y - z - a1 a2 a3 0 = ° Gegeben: - ein Punkt A der Ebene - ein Normalenvektor n der Ebene - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene E 7/22

  9. 2.3 Hessesche Normalenform no1 no2 no3 x - y - z - a1 a2 a3 0 = ° a b c 1 2 2 1  no = n = 1² + 2² + 2² 1 2 2 1 3 * no = 0 = no ° (x – a) 1x + 2y + 2z - 12 = 0 * 8/22

  10. 3. Umwandlung Umwandeln in andere Darstellungsformen: 3.1 Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform und – Normalenform 3.2 Umwandlung von der Koordinatenform in die - Normalenform - Hessesche Normalenform und - Parameterform 9/22

  11. 3.1 Umwandlung 1 3 -1 x - 2 = 0 ° Umwandlung von der Parameterform in - Koordinatenform und - Normalenform x y z -1 2 3 4 -1 1 8 -3 -1 + = * + * -1 2 3 Ermittlung der Normalenform: 0 = n ° (x – a) =n ° x - n ° a a = 8 -3 -1 Berechnung des Normalenvektors mit dem Kreuzprodukt n ° a = - 2 = ((-3) * 1) – ((-1) * (-1)) ((-1) * 4) – (8 * 1) (8 * (-1)) – ((-3) * 4) u x + 3y - z - 2 = 0 n = 4 -1 1 = v 1 3 -1 uy * vz – uz * vy uz * vz – ux * vz ux * vy – uy * vx -4 -12 4 *(-1/4) n = n = 10/22

  12. 3.1 Umwandlung 1 3 -1 x - 2 = 0 ° x y z -1 2 3 4 -1 1 8 -3 -1 = + * + * Ermittlung durch Gauß:   x - (-1) y - 2 z - 3 8 -3 -1 4 -1 1 -8x - 24y + 8z + 16 = 0 :(-8) x + 3y - z - 2 = 0 x +1 3x+3+8y-16 -9x–9 -24y+48+1x+1+8z-24 8 0 0 4 4 0 -8x - 24y + 8z + 16 = 0 11/22

  13. 3.2 Umwandlung 6 -4 2 n = 6 -4 2 - 12 = 0 x ° Umwandlung Koordinatenform in die Normalenform Hessesche Normalen- und Parameterform 6x – 4y + 2z – 12 = 0 Normalenform: Hessesche Normalenform: 1  6 -4 2 no = * 6² + (-4)² + 2² 6 -4 2 1  * 0 x - 12 = 0 = ° 56 12/22

  14. 3.2 Umwandlung 1 0 -3 x y z 0 0 6 + * + * = Parameterform: I. Wähle drei Punkte die in der Ebene 6x – 4y + 2z – 12 = 0 liegen, z.B. A (2/0/0) B (0/-3/0) C (0/-2/2) -2 -3 0 -2 -2 2 x y z 2 0 0 + * + * = II. Setze x =  und y =  und setze in die (nach z umgeformte) Gleichung z = 6 -3 + 2 x = 0 0 y = 0 0  z = 6 - 3  + 2 0 1 2 13/22

  15. 4. Lagebeziehungen • Lagebeziehungen: • 4.1 Lage von Punkt und Ebene zueinander • 4.2 Lage von Gerade und Ebene zueinander 14/22

  16. -3 3 1 -1 -1,5 2 x y z 3 1,5 0 + * * = + -1 -1,5 2 -3 3 1 5 -3 3 3 1,5 0 + * + * = 4.1 Punkt - Ebene P (5/-3/3) II. Ermitteln der Parameter  und  durch Gauß:   2 -4,5 3 -1 -1,5 2 -3 3 1 2 -7,5 7 -1 0 0 -3 7,5 -5 -5  = 7   = - 1,4 7,5  = -7,5   = -1 Daraus folgt: P  E 5 = 3 -  - 3   = -3  - 2 -3 = 1,5 – 1,5  + 3 3 = 0 + 2 +  15/22

  17. -3 1 4 x y z 2 -1 0 + * + * = -1 2 4 x y z 1 2 3 G: + * = 1 2 4 -3 1 4 1 -2 -4 -1 3 3 + * + * * = 4.2 Gerade - Ebene E: 1 2 4 Eine Gerade kann: - zu einer Ebene echt parallel sein - in der Ebene liegen oder genau einen Schnittpunkt haben 16/22

  18.   1 -2 -4 -1 3 3 -3 1 4 1 2 4 0 0 0 4 4.2 Gerade - Ebene Ebene parallel zu Geraden 0  4 g || E  es gibt keinen Schnittpunkt 17/22

  19.   -1 3 3 1 -2 -4 -3 1 4 1 2 4 0 0 0 0 4.2 Gerade - Ebene Gerade liegt in / auf Ebene 0 = 0 g  E  es gibt unendlich viele Schnittpunkte 18/22

  20.   1 -2 -4 -1 3 3 -3 1 4 1 2 4 6 0 0 3 4.2 Gerade - Ebene Gerade schneidet Ebene 3 = 6   = 2  es gibt einen Schnittpunkt 19/22

  21. 5. Schnittwinkel Schnittwinkel bei Ebenen: 5.1 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 5.2 Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene 20/22

  22. 5.1 Schnittwinkel Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 3 1 2 E: 2 1 3 2 1 -2 x y z 2 1 3 G: + x * - = 0 ° = 2 1 -2 u = 3 1 2 n = 21/22

  23. 5.2 Schnittwinkel Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene 0 3 2 E: 0 0 6 E: 4x + 3y + 2z - 12 = 0 x - = 0 ° 0 3 2 n1 = 4 3 2 n2 = 22/22

  24. Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit =)

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