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欢 迎 指 导 !

欢 迎 指 导 !. . 利用法向量求 点到平面的距离. 一、复习引入. 二、探索新知. 三、归纳小结. 四、巩固迁移. 五、反馈总结. 六、反思作业. 一、复习引入. 问题 1. 设. 则. AB. =. ( x 2 -x 1 , y 2 -y 1 , z 2 -z 1 ). 问题 2. 若 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 则. (1). (2) 若 M （ x ， y ， z ）是线段 AB 的中点， 则.

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Presentation Transcript

  1. 欢 迎 指 导 ! 

  2. 利用法向量求 点到平面的距离 一、复习引入 二、探索新知 三、归纳小结 四、巩固迁移 五、反馈总结 六、反思作业

  3. 一、复习引入 问题1 设 则

  4. AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 问题2 若A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2) , 则 (1) (2)若M（x，y，z）是线段AB的中点，则

  5. 如果n,那么向量n叫做平面的法向量. 问题3 平面的法向量  如果 是平面的法向量, 那么

  6. 问题4 则 ①设 A ②向量a在轴l上或在e方向（e是l上同方向的单位向量）上的投影: l O B A O B l

  7. A o B 二、探索新知 ? 已知平面 ,点A , 设 是平面 的 法向量，则点 A到 的距离AO的长如 何表示呢 

  8. A o B 由 在直角三角形AOB中,得   即点 A到平面 的距离为

  9. A o B 其中,是平面 的 单位法向量 

  10. A o B B' 重点理解： 点A到平面 的距离 可以看成 （点B是平面 内任一点）在平面 的法向量 的方向上的射影的长度: 其中,是平面 的 单位法向量 

  11. A o B 1

  12. A A' d B B' 即向量 在法向量 上的射影的长度

  13. 教师引导，学生总结： 法一：设 是平面 的法向量，在 内取一点B, 则点 A到 的距离 法二：设 于O,利用 和点O在 内的向量表示，可确定点O的位置，进而求出 ． A B O A B 说明： 用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，利用平面的法向量，把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度，此种方法具有程序化，不需技巧，可以人人学会。

  14. 例 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离． 解 : G D C F A B E

  15. ∴ 解： 如图建立空间坐标系， 则 F（2, 0, 0） ,E（4, 2, 0） , G（0，4，2）, 设平面的法向量为 ,则 G z D y C ∴x=-y，z=-3y． F 令y=-1， A x B E ∵ ∴ 返回

  16. =0 , = 0 , z =(1,1,3). x 设面GEF的法向量为 y 解:如图建立空间直角坐标系，则G(0，O，2)，F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)． G =(2,-2,0), =(2,4,-2), D C ∴ 2x-2y=0，2x+4y-2z=0， F ∴x=y，z=3y． 令y=1，则 A B E =(2,0,0). ∴点B到面GEF的距离为 返 回

  17. 三、归纳小结 (1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标; 用法向量求点到平面距离的一般过程是: (2)求出平面的法向量 ; (3)作向量 (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点); (4)求向量 在法向量 上的射影的长度 ( 其中 是与 同方向的单位法向量)

  18. 三、归纳小结 (1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标; 用法向量求点到平面距离的一般过程是: (2)求出平面的法向量 ; (3)作向量 (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点); (4)求向量 在法向量 上的射影的长度 ( 其中 是与 同方向的单位法向量)

  19. D1 C1 A1 B1 D C A B 四、巩固迁移 变式题 ：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点A 到平面A1C1D的距离． z y x

  20. S C A B 迁移题 如图，已知 ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平面ABC, SA= 3a, 求点A到平面SBC的距离． z y x

  21. 五、反馈总结 (1)建立空间直角坐标系是关键,求点的 坐标要准确; (2)在求法向量的过程中,解方程组之后, 不能令x或y或z 为0; (3)点到平面的距离公式 中, 点A为平面外一定点,点B为平面内任一点, 为平面 的法向量. (4)公式实质为

  22. 五、归纳总结 利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题 运用平面的法向量求立体几何中的距离问题时，首先要建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，求出平面的法向量，再代入公式求解。需要注意的是: (1)在求法向量的过程中,解方程组之后,不能令x或y或z 为0; (2)建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确; (3)对点到平面距离公式的推导过程要认真领会, 掌握公式: , 并会应用.

  23. D1 C1 A1 B1 D C A B 六、反思与作业 反思: 通过本节课谈谈自己的收获 是什么? 作业: 在棱长为２的 正方体 中， E、F分别是棱 的中点． 试用向量方法 求点 到平面EFBD的距离. E F

  24. 法向量的应用：点到面的距离 z y x

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