1 / 25

大数定理： 　　讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理

第 5 章 中心极限定理与大数定律. 大数定理： 　　讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理. 中心极限定理： 　　讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理. 1. 大数定律. 定义 设随机变量序列 { X n } , 如果存在一个常数 列 , 使 得对任意的 ε>0 ，有. 则称 { X n } 服从大数定律. 　大数定理. 马尔可夫大数定理. 切比雪夫大数定理. 泊松大数定理. 伯努利大数定理. 辛钦大数定理. 定理 1 ( 马尔可夫大数定律 ) 设 {X n } 为随机变量序列 , 且有

bo-mccullough
Télécharger la présentation

大数定理： 　　讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第5章 中心极限定理与大数定律 大数定理： 　　讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理 中心极限定理： 　　讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理

  2. 1. 大数定律 定义设随机变量序列{Xn},如果存在一个常数列 ,使 得对任意的ε>0，有 则称{Xn}服从大数定律.

  3. 　大数定理 马尔可夫大数定理 切比雪夫大数定理 泊松大数定理 伯努利大数定理 辛钦大数定理

  4. 定理1 (马尔可夫大数定律) 设{Xn}为随机变量序列,且有 则对任意的ε>0 ,有 证:

  5. 定理2 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}是两两不相关随机变量序列,方差一致有界D(Xn)=σn2 <C (n=1,2,...),其中常数C与n无关,则对任意的ε>0,有 证:

  6. 定理3 (泊松大数定律) 设每次试验中事件A发生 的概率为 ，n次重复独立试验中事件A发生的次 数为 ,事件的频率 ,则对任意ε>0,有 证:

  7. 定理4 (伯努里利大数定律) 设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为 ，事件的频率有 ,则对任意ε>0, (伯努里利大数定律是泊松大数定律的特例) 意义：Bernoulli大数定理表明当试验次数无限增加时事件 A 的频率按概率收敛到事件 A的概率. 　　这为频率的稳定性提供了理论依据.

  8. 定理5 (辛钦大数定律)设{Xi}为相互独立的随机变量序列,且有相同期望E(Xi)=u,(i=1,2,...),则对任意的ε>0 ,有 注意辛钦大数定理成立的条件中只需 的数学 期望存在；而当　 的方差存在时，其即为切比雪夫大 数定理的直接推论. 大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.

  9. 1.中心极限定理： 概率论中有关论证随机变量和的 极限分布是正态分布(Gauss)分布 的一系列定理。 意义:大量的独立同分布的随机变量之和的分布 可近似认为是正态分布. 这是数理统计中大样本问题研究的理论基础.

  10. 定理6 林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理) 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ2>0,设 注以上定理表明只要n比较大,就有近似结果:

  11. 例1用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?例1用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率? 解 设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,…,200) 则 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且 由中心极限定理得X近似服从正态分布, EX=200EXi=20000, DX=200DXi=20000, 所求为P(X>20500)= 1-P(X≤20500) =0.0002 故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.

  12. 例2一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重 量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.9772. 解 设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则 X1,X2,…,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令 由中心极限定理得 所以 即最多可以装98箱.

  13. 定理7若随机变量μn～Ｂ(n,p)(n=1,2,…),则对任 意a<b有 注: (1) 定理称为棣莫佛-拉普拉斯定理. (2)它表示当n很大时,二项分布可用正态分布近似逼近: 即 若X~B(n,p),当n很大时,有近似结果X~N[np,np(1-p)].

  14. 定理8 (泊松定理)二项概率的泊松近似 例3:每颗子弹击中飞机的概率为0.01, 连发500发,求命中5发的概率.

  15. 例4某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户 中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯积分定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值. 解设X表示100户中被盗索赔户数,则 X~B(100,0.2) 由棣莫佛-拉普拉斯定理得： X近似服从正态分布, EX=np=20, DX=np(1-p)=16, 所以 X~N(20,16) 所求 P(14≤X≤30) =0.927

  16. 例5某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以此为准99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。例5某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以此为准99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。

  17. 例:6 某厂有400台同类机器，每台发生故障的概率 为0.02，假如各台机器彼此独立，求最多2台 机器发生故障的概率。 解：

  18. 例7： 某车间有200台独立工作的车床，各台车床开 工的概率都是0.6，每台开工车床要耗电1千瓦， 问供电所至少要供给这个车间多少千瓦电力， 才能以99.9％的概率保证这个车间不会因供电 不足而影响生产。 解： 则

  19. 查表得

  20. 应用: 用频率代替概率时误差的近似估计 Bernoulli大数定理: 而由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可得

  21. 例6 已知某厂生产一批无线电元件,合格品占1/6 (1)选出6000个这种元件,试问在这6000个元件中, 合格品的比例与1/6之差小于1%的概率是多少? (2)选出6000个这种元件,试问误差限定为多少时,才能保证频率与概率之差不大于 的概率为0.99? 此时合格品数落在哪个范围内? (3)选出多少个这种元件,使选出的这批元件中合格品的比例与1/6的差异不大于0.01的概率不小于0.95? 解:把任选n个元件看作n次Bernoulli试验, 为其中 的合格品数,则

  22. 说明相应的合格品数落在 925～1075 之间. 所以至少要选 5336 个元件. 注:若p 未知,则可利用

More Related