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AJUSTE DE CURVAS. 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos 6.2.1 Caso discreto 6.2.2 Caso contínuo 6.3 Caso não-linear. AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO. No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial.
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AJUSTE DE CURVAS • 6.1 Introdução • 6.2 Método dos quadrados mínimos 6.2.1 Caso discreto 6.2.2 Caso contínuo • 6.3 Caso não-linear
AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO • No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial. • Nem sempre a interpolação é aconselhável. • Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação. • Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos.
AJUSTE DE CURVAS6.1- INTRODUÇÃO • Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo: Curva ajustada Barra de erros Curva extrapolada
AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO • Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança. • Dado os pontos num intervalo [a,b], devemos escolher funções , e constantes tais que a função se aproxime de
AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO • Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente. • Note que as funções podem ser funções não-lineares, por exemplo: PROBLEMA 1 Como escolher as funções ?
AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO Podemos escolher as funções observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento.
AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO • Seja dada na tabela: • Devemos construir o diagrama de dispersão
AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO • Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão. • Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma (parábola passando pela origem) • PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola?
AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO • Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções todas contínuas em [a,b], devemos determi-nar as constantes de modo que a função se aproxime ao máximo de .
AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO • Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima? • Idéia: A função é tal que o módulo da área sob a curva seja mínimo!!!
6.2 Método dos Mínimos Quadrados • Objetivo: encontrar os coeficientes aj tais que a função se aproxime ao máximo de f(x) • MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os aj’s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto • Desvio em : • Se a soma dos quadrados dos desvios é mínima, cada desvio será pequeno. Assim, aj’s devem ser tais que minimizem a função
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto • Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, aj’s tais que onde
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto • Calculando as derivadas, temos • Igualando a zero,
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto • Ou seja, temos um sistema linear a resolver
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto • Reescrevendo o sistema, Sistema linear de n equações com n incógnitas
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Retas • Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Retas • Logo,
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas • Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela • Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja,
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas Logo temos apenas uma equação dada por Calculando as somas, segue que:
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por Comentário 2: Uma parábola da forma permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa-mento.
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo • Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste • Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério. • Desejamos encontrar mais próxima de . Neste caso quais são ? • Do critério de mínimos quadrados: ser mínimo!!!!!!!!
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo • Calculando
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo • Analogamente ao caso discreto, minimizando
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo • Segue o sistema linear • Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para .
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta • Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja , logo • Calculando os termos do sistema linear 2X2
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta • Calculando os termos do sistema linear
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta • Obtemos o sistema linear • Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por
6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta > plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);
