Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung

1. Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung

2. Können wir mit Punktmengen geomodellieren? • ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome,Strings, ...) im 3d-Raum • Betrachtung der geologischen Körper als topologische Punktmengen mit Innerem und Rand (d.h. geol. Grenzfläche) • Das Problem: unendliche Mengen kann man nicht im Computer speichern

3. Die Lösung:Abstraktion durch Diskretisierung • Die Idee: • Alle Punkte einer Grenzfläche lassen sich als durch Triangulation interpolierte Punktmenge darstellen • Die Grenzfläche teilt den Raum in 2 topologische Punktmengen • der geologische Körper wird durch die Punktmenge in der geschlossenen Grenzfläche repräsentiert

4. Im Modell mit mehreren Objekten: • Grenzflächen unterteilen den Raum in topologische Räume, die geologischen Einheiten entsprechen • z.B. 2 Schichten, 1 Störung, 1 Box => 5 Räume: • ... wo ist der 5. Raum?

5. Zellen im Detail: 0d, 1d, 2d, 3d • Standardmethode in CAD: Modellierung von Objekten durch simpliziale Zell-komplexe • ein simplizialer Komplex besteht aus einer Menge gleichartiger, n-dimensionaler Simplex-Zellen: • 0d - Punkt • 1d - gerade Kante • 2d - Dreieck • 3d - Tetraeder

6. Zell-Hierarchie • Simplexe höherer Dimension sind aus Simplexen niederer Dimension (Teilsimplexen) aufgebaut: • Tetraeder besteht aus Grenzfläche + Innerem, Grenzfläche besteht aus 4 Dreiecken • Dreiecke bestehen aus Rand(=3 Kanten) + Innerem • Kanten bestehen aus 2 Knotenpunkten + Innerem

7. Simpliziale Komplexe Ein Simplizialkomplex besteht aus zusammenhängenden Simplexen. Beispielmodell mit 3 Simplizialkomplexen: in Gocad: 1 surface-Objekt "Störung" bestehend aus 1 part 1 surface-Objekt "Schichtgrenze" bestehend aus 2 parts

8. Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen

9. Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen 2d-Simplizialkomplexe =triangulierte Punktmenge, Fläche Doch was passiert an den Berührungslinien mehrerer Flächen? (Berührungslinie = topologischer Rand der Fläche)

10. Boundary Representation (BRep)-Weiler Modell • Hierarchisches topologisches Modell zur Behandlung nicht-mannigfaltiger Topologie (d.h. Elemente höherer Dimensionalität grenzen an Objekte niederer Dimensionalität) • Region (topologischer 3d Raum, 3d-Makrozelle) • Shell (Menge der Grenzflächen einer Region) • Face (eine Grenzfläche) • Loop (aneinandergrenzende Kanten einer Fläche) • Edge (Kante) • Vertex (Knotenpunkt)

11. Kante trifft Fläche:

12. Simpliz. Komplexe + Weiler Modell • Realisierung in Gocad: Kombination von Simplizialkomplexen und • Weiler - Modell

13. Beispiel - Gocad Model3d Datei GOCAD Model3d TSURF 2 boxGrenze ... TSURF 1 innereGrenze ... REGION 3 Universe -2 REGION 4 innen+1 REGION 5 aussen+2-1 - + - +

14. Geometrie und Topologie • Das topologische Modell ist abhängig von der Geometrie der Stützpunkte • 2 Möglichkeiten der Modellerstellung: • 1. ein topologisches Weiler-Modell kann aus einer Menge sich schneidender Flächen erzeugt werden (in Gocad: Model3d). Die Topologie ist hier implizit durch die Geometrie definiert. • 2. man definiert die Topologie explizit, dann kann sie bei der Modellerstellung berücksichtigt werden (z.B. automatisches Beseitigen von Lücken durch snapping). Dabei wird die Geometrie der Topologie angepasst.

15. Zusammenfassung • Ein Gocad-Geomodell umfasst im allgemeinen: • hierarchische Diskretisierung in topologische Zellen in 2 Stufen • Mikro-Zellen (Simplizialkomplexe) (triang. Surfaces mit Triangles, Segments, Nodes) • Makro-Zellen (Weiler Modell) • (Model3d mit Regions, Faces, Borders, BorderStones) • Geometrie wird nur für Nodes der Mikro-Zellen definiert, sonst (meist linear) interpoliert • Topologie und Geometrie werden auch im Datenformat getrennt gespeichert.

16. Vorteile der topologischen Geomodellierung • Konsistenz: es gibt keine Lücken (...Vakuum) im Modell oder Überlappungen (ein Punkt kann nicht gleichzeitig zu 2 geol. Einheiten gehören) • Änderungen der Geometrie (z.B. Faltung) sind möglich, ohne die Topologie zu ändern (topologische constraints) • man kann die geologischen Strukturen (= topologische Grenzflächen) später bei der Modellierung von Eigenschaften in Gittern berücksichtigen • Definition von Nachbarschaftsbeziehungen (GIS)

17. Der letzte Schrei: GMaps • Datenstruktur für n-dimensionale kombinatorische Topologie • einfacher geht's nicht: generalized maps haben nur einen Datentyp: Dart • Darts stehen in Beziehung: Inzidenzgraph • Vorteil gegenüber Weiler-Modell: generische, algebraische Formulierung

18. GMaps: Inzidenz-Graph, Beispiel

19. Topologie und Wahrscheinlichkeit • Kann ein Punkt zu mehreren Regionen gehören? • eineindeutige Abbildung • Natur ↔ topolog. Geo-Objekt ist bei kategoriellen • Variablen (z.B. stratigraph. Einheit) möglich, • wenn man die Geometrie exakt kennt • Geodaten haben Unsicherheiten → • Punkt a gehört mit einer bestimmten • Wahrscheinlichkeit 0.5<p<1 zu Geo-Objekt "Granit" • "fuzzy kombinatorische Topologie" gibt es nicht • Lösungen: • Berechnung der Zugehörigkeits-Wahrscheinlichkeit p, und Speicherung von p mit den Stützpunkten der Grenzflächen oder in einem Voxet-Gitter • Erstellen mehrerer Modelle (z.B. pGranit=1, pGranit=0.5) p(kalk)=1 p(kalk,granit)=0.5 a p(granit)=1 y x