第六章 离散系统的 z 域分析

1. 第六章 离散系统的z域分析 §6.1 Z变换 §6.2 Z变换的性质 §6.3 逆Z变换 §6.4 离散系统的Z域分析 §6.5 离散时间系统的频率响应特性

2. z变换的历史可是追溯到18世纪； • 20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展； • 70年代引入大学课程； • 求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； • 今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。 • 本章主要讨论： • 拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程； • 利用z平面零极点的分布研究系统的特性。

3. 连续系统:时域分析:y(t);频域分析:Y(jw) →y(t); 复频域分析:Y(s) →y(t) (微分方程) (s) 离散系统:时域分析:y(k);频域分析: Y(jw) →y(t); 复频域分析:Y(z) →y(k) (差分方程) (z)

4. 主要内容 1.z变换定义 2.z变换性质 离散信号f(k) F(z) 3.逆z变换 4.离散系统的z域分析 F(z) LTI Y(z)

5. §6.1 Z变换 ( ) ( ) f t ( ) ( ) f k d - f kT t kT s t O O n 2 1 2 T T 一.定义 1.从拉氏变换导出Z变换： 抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换 ( ) f t ( ) ( ) f t g t ( ) ( ) f k g k 数字滤 s A/ D D/ A 波器 ( ) p t

6. 取样信号: fs(t)=f(t) δT(t)=f(t) = 拉氏变换:

8. 2.拉氏变换与z变换关系: z与s的关系:

9. 3.定义式: 设f(k),(k=0, ±1, ±2,………) …正变换 双边 z变换 ….逆变换

10. 对因果序列: f(k)=0，k＜0 单边 k≥0 Z[f(k)]=F(z) Z -1[F(z)]=f(k) f(k) ←→F(z)

11. 二.Z变换的收敛域: 充要条件: ＜∞ ,绝对可和 例：f(k)= 0 , k＜ 0 发散序列 2k k≥ 0 f(k) ….. 0 1 2 3 k

13. 1.有限长序列 : ①f(K)= δ(k) F(Z)= =1 z平面(全部) ② f(k)={1,2,3,2,1} k=0 3 2 2 1 1 …. -2 –10 1 2 k

14. f(k)={1,2,3,2,1} 双边:F(z)= = z平面: 0＜︱z︱＜∞ , z≠∞,z≠0.

15. f(k)={1,2,3,2,1} 单边z变换 z平面: 0＜︱z︱≤∞ , z≠0.

16. 2.因果序列 : z/(z-a) ,︱z︱> ︱a︱ = 不定 |z︱=︱a︱→收敛圆 无界 |z︱＜ ︱a︱

17. Im[z] ︱a︱ 0 Re[z] z平面---极坐标R s平面---直角坐标

18. = 3.反因果序列 : 不定 |z︱=︱b︱ 无界 ︱z︱＞︱b︱

19. 不同类型序列 收敛域范围 有正幂, z≠∞ 有限长序列 0＜︱z︱＜∞ 有负幂, z≠0 因果序列 ︱z︱> ︱a︱ (圆外) 非因果序列 ︱z ︱＜︱b︱ (圆内) 双边序列 ︱a︱＜ ︱z ︱＜ ︱b︱ (环状)

20. 三.常用序列的Z变换: 1.因果序列 :a为正实数 akε(k) ←→z/(z - a) ︱z︱＞ a (- a ) kε(k) ←→z/(z+a) ︱z︱＞ a a=1, ε(k) ←→z/(z - 1) ︱z︱＞ 1

21. δ(k) ←→1 , 0≤︱z︱≤ ∞

22. 2.反因果序列:b为正实数 bk ε(-k-1) ←→-z/(z-b) |z︱＜ b (-b)kε(-k-1) ←→-z/(z+b) ︱z︱＜ b b=1, ε(-k-1) ←→-z/(z-1) ︱z︱＜ 1

23. §6.2 Z变换的性质（9个） 一.线性:例正弦、余弦信号 二.移位（移序）特性: y(k-2)+y(k-1)+y(k)=f(k) Y(z) 1.双边z变换的移位:

24. 若 f(k) ←→F(z) , ＜︱z︱＜  f(k±m) ←→z±mF(z), ＜︱z︱＜  证明: Z[f(k+m)]

25. 2.单边z变换: f(k) ←→ ①向右移位: 推导:

26. 令n=k-m 结论: f(k-1) ←→ z-1F(z)+f(-1) f(k-2) ←→z-2F(z)+z-1f(-1)+f(-2)

27. f(k) 4 f(-2) f(1) 1 2 3 …. ….. -2 -1 0 1 2 3 k f(k-2) f(-2) f(-1) 1 2 3 4 ….. 0 k

28. 对因果序列: f(k)=0,k＜0,f(k-m)= F(z) ②向左移位: f(k+1) ←→ zF(z)-zf(0) f(k+2) ←→ z²F(z)- z²f(0)-zf(1) f(k+m) ←→

29. f(k+2) 3 4 5 f(0) f(1) -2 -1 0 1 2 k

30. 任意周期序列的Z变换（因果序列） N=4 f(k) f0(k) ….. 0 1 2 3 4 7 8 k

31. 设: f0(k) ←→ F0(z) f(k) =f0(k) + f0(k-N)+…..+f0(k-mN)+….. F(z)= F0(z)[1+ + +… +…] ∴ F(z)= F(s)=

32. 三. 序列乘 ←→ Z域尺度变换 若 f(k)←→F(z) ＜︱z︱＜  则 f(k) ←→F(z/a) ＜︱z/a︱＜  ,  ︱a︱＜︱z︱＜  ︱a︱ 当a=-1, f(k) ←→F(-z)

33. 四. 卷积定理: f1(k)*f2(k)=F1(z)F2(z) 证明: Z[f1(k)*f2(k)]= = = =F2(z) F1(z)

34. 例: 求kε(k) 的Z变换 解: ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)=kε(k)+ε(k) kε(k)= ε(k)*ε(k)- ε(k) Z[k ε(k)]= ︱z︱＞1

35. 五. 序列乘k←→z域微分 若 f(k) ←→F(z) 则；kf(k) ←→ k² f(k) ←→ ∴ f(k) ←→

36. 证明:F(z)= ∴ Z[kf(k)]=

37. 六. 序列除（k+m） ←→Z域积分

38. 证明: Z[ ]=

39. 例：求f(k)=1/k, k≥1,的z变换 解: f(k)= ε(k-1)/k ε(k-1)←→

40. 七.k域反转: 若 f(k) ←→F(z) ＜︱z︱＜  则；f(-k) ←→F( ) ＜︱1/z︱＜  ∴ 1/ ＜︱z︱ ＜1/

41. 八.部分和: 相当于连续系统中时域积分 若 f(k) ←→F(z) 则；g(k)= ←→ F(z) 证明: f(k)* ε(k)= = ∴ Z[ ] =Z[(k)* ε(k)]=F(z)

42. 九.初值定理和终值定理: F(z) →f(0),f(1)和f(∞) 1.初值定理：因果序列 F(z) = =f(0)+f(1) +f(2) +…+f(m) +… ∴zF(z)=zf(0)+f(1)+f(2) +..+f(m) .. ∴f(0)=limF(z) z→∞

43. f(1)=lim[zF(z)-zf(0)] z→∞ ……………. ∴f(m)=lim [F(z)- ] z→∞

44. 2.终值定理: f(∞)=lim F(z) z→1 应用条件: ①收敛域含z=1 ②limf(k)收敛 k→∞

45. 例: F(z)= ︱z︱ ＞ ︱a︱因果序列 f(∞)=lim =lim z→1 z→1 f(k)= ε(k)

46. §6.3 逆z变换 F(z) →f(k) 方法: 幂级数展开法(长除法) 部分分式展开 反演积分(留数法) 双边变换 注意: F(z) ︱z︱ ＞ →因果 f(k)ε(k) ︱z︱＜  →反因果 f(k)ε(-k) ＜︱z︱＜  →双边 相加

47. 一.幂级数展开法:因果序列 =f(0)+f(1) +f(2) +…+f(i) +… f(k) 例: F(z)= =1+x+ +…+ +… 令x=

48. =1+(- )+ +…+ F(z)= =1+(-a) + +…+ +.. ∴f(k)= k≥0

49. 例:F(z)= 长除法 解: -z-2 3z 3z-3-6 3+6 3-3 -6 9 +6 9 -9 -18 …….

50. ∴F(z)= f(k)={0, 3, 3, 9, 15, …..} k=0 缺点:不易求得闭合解.