2009 台南市市長盃國民中學數學能力競賽 第二階段試題分析

1. 2009台南市市長盃國民中學數學能力競賽第二階段試題分析2009台南市市長盃國民中學數學能力競賽第二階段試題分析 • 左太政/國立高雄師範大學數學系

2. 第一部分 （第1題到第20題每題3分，共60分）

3. 1.在一個三位數的百位數之前與個位數之後皆加一個數字6，結果新數比原數多64110，試求原三位數。　 (A) 123 (B) 246 (C) 456 (D) 567 • (參考解答) 設此三位數為x，則新的五位數＝60000＋x．10＋6所以60000＋10x＋6－x＝64110∴ x＝456 答案為(C)

4. 2.傑克老師把某一班寒假到校掃地的學生分組分派工作。若每5人一組，則餘4人，每6人一組，則餘3人，若此班學生的女生共21人，則這一班男生至少有多少人？(A) 21人 (B) 20人 (C) 19人 (D) 18 人 (參考解答)Ans: D • 設全班m人，則m＝5x＋4，且m＝6y＋3， 其中 x,y皆為正整數， 由題意知5x＋4＝6y＋35x＝6y－1 (1) 若y＝1時x＝1（不含） (2) y＝2, 3, 4, 5皆不含(3) y=6時，x＝6＋1＝7為最小的解 ∴m＝39，39－21＝18表示男生最少18人

5. 另解 • 設男生人數為x人，由題意知， 21+x-4為5的倍數，且21＋x-3為6的倍數， 即x+17為5的倍數，且x+18為6的倍數， 若x=3,8,13，不合。 若x=18，符合題意。

6. 圖一 3.如右圖一，為一個邊長為3的正方形，且每一個小方格也都是正方形；試求：之值。 (A) (B) (C) (D) • Ans:(D) 由圖形觀察得知 正好是 故

7. 另解 圖一

8. 4.試求:(A) 1002 (B) 1003 (C) 1004 (D) 1005 • Ans:(C)

9. 5.若、都是整數，已知x 的一元二次方程式的相異兩根都是質數，試求之值。 (A) 300 (B) 301 (C) 302 (D) 303Ans:B

10. (參考解答)假設 為 的相異兩質數根。 所以兩根 為 7,41 故

11. 6.已知標準身材的定義是 = ， 此值稱為黃金比值，現有一女生身高152公分，肚臍高度92公分的女孩，欲藉穿高跟鞋來提高肚臍高度以滿足標準身材的定義，試問：該女生穿多少公分（取最近的整數）的高跟鞋較恰當？ (參考數值： ) (A)3公分(B)4公分 (C) 5公分(D) 6公分

12. Ans:C • 設鞋高x公分，∴  x ≒ －62＋30 ≒-62+67.08=5.08 ∴x約為5

13. 7.將一個圓周12等份得到12個等分點，依序標為；現在連接跟7.將一個圓周12等份得到12個等分點，依序標為；現在連接跟 線段，再連接跟線段，最後連接跟以及跟兩直線交於圓外一點； 若，試求的長度是多少？  (A) (B) (C) 10 (D) 15 Ans: (C)

14. (參考解答)利用 直角三角形性質 如圖所示：將圓12等份，所以每一等分的弧的度數都是30度，且 所以 （圓周角相等） 因此＝圓的直徑。又 且 ，在直角三角形 及 中，所以 因此

15. 8.已知均是質數，若也是一個質數，試求之值。8.已知均是質數，若也是一個質數，試求之值。 (A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 17 Ans:(B) 又都是質數 為一奇一偶，即 因此

16. 9.假設，試求之值。 • 36 (B) 37 (C) 45 (D) 49 Ans:(C)

17. 10.從4個不同的正整數中，任意取出3個相異數，並計算其乘積之後，發現其乘積分別為 ,98以及2009，試求兩數乘積之最小值。 (A) 329470 (B) 329472 (C) 329474 (D) 329476 • Ans:(D) • 提示：將此四數 ,98以及2009 相乘，即為原來四個整數的三次方。

18. 10.從4個不同的正整數中，任意取出3個相異數，並計算其乘積之後，發現其乘積分別為 ,98以及2009，試求兩數乘積之最小值 (A) 329470 (B) 329472 (C) 329474 (D) 329476 • Ans:(D)依題意可知：為立方數 兩數乘積之最小值為

19. 11.某一軟體程式被設計用來搜尋整數，並計算共掃瞄了多少個數字，現在依序出現1、2、3、4、5、6……等整數，若此軟體共掃瞄了「2897」個數字數，試求最後掃瞄的數是多少？11.某一軟體程式被設計用來搜尋整數，並計算共掃瞄了多少個數字，現在依序出現1、2、3、4、5、6……等整數，若此軟體共掃瞄了「2897」個數字數，試求最後掃瞄的數是多少？ (A) 1004 (B) 1003 (C) 1002 (D) 1001 • Ans:(D)先確定幾位數。 1×9＋2×90＋3×900＝2889 2897－2889＝8，因1000及1001共有8個數字，故最後掃瞄的數是1001 。

20. 12. 102009－91計算後得一整數，試求此整數所有數字和。　 • 18081 (B) 18072 (C) 18063 (D) 18056 Ans:(B) 可考慮用歸納法，尋找規律性。 例103－91＝909， 104－91＝9909105－91＝99909 ∴102009－91 ＝999…909共2008個9∴2008×9＝18072

21. 13.已知民國98年12月12日是星期六，試問經過了天之後是星期幾？13.已知民國98年12月12日是星期六，試問經過了天之後是星期幾？ (A) 六 (B) 日 (C) 一 (D) 三 Ans: ∵2009÷7＝287….餘數0 ∴是星期六 Ans：(A)

22. 14.如圖，已知中，，且， 試問的長度之值為下列哪一個選項？ (A) (B) (C) (D) Ans:(C) 如果是高中，可用餘弦定理。

23. (參考解答)延長 到 ，使 ，並連接 ，

24. 15.已知為兩數且滿足以下關係：互為相反數，試求15.已知為兩數且滿足以下關係：互為相反數，試求 之值。 (A) -3 (B) 9 (C) 45 (D) 59 Ans: B 互為相反數， 故

25. 16.已知連續2009個正整數之和為一個完全平方數，試求這2009個正整數中，最小的數為多少？16.已知連續2009個正整數之和為一個完全平方數，試求這2009個正整數中，最小的數為多少？ (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 • Ans:(D) 假設最小之正整數為 依題意可知： ，為整數 取

26. B A H C O A • 17.如右圖所示，已知，為直徑，，O為圓心，若面積 為平方公分，試求面積。　 (A) (B) (C) (D) • Ans:(A)

27. (另解)如圖連∴△BOH為30-60-90的三角形 平方公分

28. 18.四個小朋友參加了尋找復活節彩蛋活動，活動結束時，四人總共找到四十五顆巧克力蛋，但每人找到的數量不一。若第一位小朋友多找到兩顆，第二位少找到兩顆，第三位多找到一倍，第四位少找到一半，四人找到的巧克力彩蛋就會一樣多。請問，這四位小朋友中找到最多巧克力蛋跟最少巧克力蛋的小朋友相差多少顆？18.四個小朋友參加了尋找復活節彩蛋活動，活動結束時，四人總共找到四十五顆巧克力蛋，但每人找到的數量不一。若第一位小朋友多找到兩顆，第二位少找到兩顆，第三位多找到一倍，第四位少找到一半，四人找到的巧克力彩蛋就會一樣多。請問，這四位小朋友中找到最多巧克力蛋跟最少巧克力蛋的小朋友相差多少顆？ (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 • Ans:(D) 

29. 假設四位小朋友分別找到顆巧克力蛋 依題意： 則 因此，我們可以得到一個一元一次方程式：得 所以，第一個小朋友找到顆 第二個小朋友找到顆 第三個小朋友找到 5 顆 第四個小朋友找到顆 最多與最少相差了20-5=15顆

30. 19.試求 的餘數。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 • Ans：(B) 方法有二種： 1.尋找規律性 2.同餘數的概念

31. 19.試求 的餘數。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 • 尋找規律性： ∵ ……3， ……9 的餘數規律為3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1…. 所以 餘數5，又 98÷11餘數10 ∴ 的餘數為15÷11＝1…4

32. 同餘數的概念 • 又 所以 又 • 故 的餘數為4。

33. 20.設 均不為0，試求 的所有可能值有幾種？ （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 • Ans：(D) 1+1+1=3, 1+1-1=1, 1-1-1=-1, -1+1+1=1,-1-1+1=-1, -1-1-1=-3, 共有4種不同的值。

34. M D C 3 N 4 5 A B 圖三 • 21.如圖三，有一個正方形內接一個邊長為3、4、5的，試問此正方形的面積為多少？ (A) (B) 16 (C) 18 (D) Ans: D 利用相似形

35. M D C 3 N 4 5 A B 圖三 (參考解法) 令 正方形面積=

36. 22.假設 為大於1911的正整數，試求 可使 為整數之 有幾項？ (A) 1項 (B) 2項 (C) 3項 (D) 4項 • Ans：(A)

37. 22.假設 為大於1911的正整數，試求 可使 為整數之 有幾項？ (A) 1項 (B) 2項 (C) 3項 (D) 4項 • 假設 為正整數， 故共有1項

38. 23.若 試求 的數字中，1共出現多少次？　 (A) 2008 (B) 2007 (C) 2006 (D) 2005 • Ans：(B)

39. 23.若 ， 試求 的數字中，1共出現多少次？　 (A) 2008 (B) 2007 (C) 2006 (D) 2005 ∴ “1”有2005＋2＝2007

40. 24.若2009減去全部的 ，再減去剩下的 ，再減去剩下的 ，……，依此類推，直到最後減去剩下的 ，試求最後化簡之值。 (A) 1 (B) 0 (C) (D) • Ans：(A)

41. 25. 為三個相異質數，若 為6的倍數，且 ，試求 之值。 (A) 66 (B) 6 (C) 26 (D) 36 Ans：(A) 提示：利用奇偶數性質

42. 25. 為三個相異質數，若 為6的倍數，且 ，試求 之值。 (A) 66 (B) 6 (C) 26 (D) 36 為偶數 且 皆為質數 故 必為2 所以滿足條件的 有3組解 (2,13,17)、(2,7,31)、(2,3,67) 但 為6的倍數 故(2,3,67)為唯一解 故

43. 26.將26個大寫英文字母A,B,C,D,……,Z，依以下規則排列：A,B,C,…,Z,A,B,C,…,Z,A,B,……，形成2009項的有序排列。今按照以下之規則作刪去的動作：第一次刪去奇數位置的字母；第二次刪去第一次所剩下之奇數位置之字母;第三次再刪去第二次所剩下之奇數位置之字母;如此下去，試問：最後所剩下的字母為何？26.將26個大寫英文字母A,B,C,D,……,Z，依以下規則排列：A,B,C,…,Z,A,B,C,…,Z,A,B,……，形成2009項的有序排列。今按照以下之規則作刪去的動作：第一次刪去奇數位置的字母；第二次刪去第一次所剩下之奇數位置之字母;第三次再刪去第二次所剩下之奇數位置之字母;如此下去，試問：最後所剩下的字母為何？ (A) I (B) J (C) K (D) L • Ans:(B) • 提示：尋找規律性，可用正整數1,2,3,…,2009來觀察其規律。

44. 第一次刪去後，所剩下的為原數列之2的倍數的位置的字母，第一次刪去後，所剩下的為原數列之2的倍數的位置的字母， 第二次刪去後，所剩下的為原數列之4的倍數的位置的字母，依此類推：當刪去第十次時，所剩下的為原數列之1024的倍數的位置的字母， 故只剩下第1024位置的字母為J 。

45. 27.已知是一個小於2009的正整數，若可以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續正整數的和，試問滿足條件的值共有多少個？27.已知是一個小於2009的正整數，若可以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續正整數的和，試問滿足條件的值共有多少個？ • (A) 333 (B) 334 (C) 335 (D) 336 Ans:(B)

46. 27.已知是一個小於2009的正整數，若可以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續正整數的和，試問滿足條件的值共有多少個？27.已知是一個小於2009的正整數，若可以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續正整數的和，試問滿足條件的值共有多少個？ • (A) 333 (B) 334 (C) 335 (D) 336 Ans:(B) • 由題意知： 且 因此，我們可以假設 則 得 因此小於2009的所有值共有 個。

47. 28.有一個正三角形牧場，牧場裡長滿了青草，牧場四周以柵欄圍起。牧場主人養了一隻名貴羊，牧場裡一半的青草是餵牠的，另一半要當作牧草賣，於是想用一條繩子一端綁在羊身上，另一端綁在三角形的其中一個頂點，此時羊恰只能吃到牧場一半的青草，若此牧場周長與繩長比值為，試求之值28.有一個正三角形牧場，牧場裡長滿了青草，牧場四周以柵欄圍起。牧場主人養了一隻名貴羊，牧場裡一半的青草是餵牠的，另一半要當作牧草賣，於是想用一條繩子一端綁在羊身上，另一端綁在三角形的其中一個頂點，此時羊恰只能吃到牧場一半的青草，若此牧場周長與繩長比值為，試求之值 (A) (B) (C) (D) Ans: A

48. (參考解法)設繩長為r，牧場邊長為 ， 所以扇型面積 = 正三角形面積的一半

49. 29.傑克把稜長為4的正立方體分割為22個稜長為整數的小正立方體，試問稜長為1的小正立方體的個數有幾個？ (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 • Ans: (C)。 • 若有一個稜長為3的正立方體，其餘均為稜長為1的正立方體，這種切割會產生共38個大小不一的正立方體，和已知不合，故切割之正立方體的稜長最多為2。 假設稜長為2的有個，稜長為1的有個

50. 30.假設為任意的三個數，在下列三個的一元二次方程式中，可以確定有解的方程式有幾個。 30.假設為任意的三個數，在下列三個的一元二次方程式中，可以確定有解的方程式有幾個。 方程式1： 方程式2： 方程式3： (A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D) 3個 Ans:(B)