Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Авторы: Студенты группы с-83 Подкопаева Мария, Ситчук Алексей 1

2. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула полной вероятности. В некоторых реальных ситуациях бывает необходимо до проведения опыта сделать прикидку (расчет) о вероятности появления какого-то события А, принимая во внимание все возможные предположения (гипотезы), при которых это событие может произойти. Предположим, что исследователю требуется оценить вероятность появления некоего события А (т.е. ответить на вопрос на сколько это событие в общем достижимо). С этой целью он выдвигает ряд несовместных гипотез (все возможные решения), которые могут повлечь за собой событие А. Перед началом эксперимента выдвинутым гипотезам приписываются предположительные вероятности, причем каждый исследователь может подходить к этому со своих позиций (основываясь на собственном или ином опыте, имеющейся в его распоряжении информации, статистических данных или других возможностях). В рассматриваемой ситуации появление события А зависит от разных обстоятельств (гипотез), следствием этого будет образование некой совокупности «условных вероятностей» (вероятностей появления события А при выполнении той или иной гипотезы). Эти вероятности также предполагаются исследователем, исходя из тех же позиций. 2

3. … Так как гипотезы образуют полную группу Формула полной вероятности. Формула Байеса. Н3 Пусть некое событие А может произойти с одной и только с одной из несовместных гипотез (событий) H1, H2, H3, H4 … Hn образующих полную группу. Н2 Н4 А Н1 Известны вероятности этих гипотез P(H1), P(H2), P(H3), P(H4) … P(Hn) и условные вероятности события А Нn Требуется вычислить полную вероятность события А. Полную вероятность события А можно найти по формуле Очевидно, что формула полной вероятности является следствием основных правил – правила сложения и правила умножения вероятностей. 3

4. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Решение. Рассмотрим события: Событие А – корабль потоплен; гипотеза (событие) Н1 – торпеда попала в носовую часть корабля; гипотеза (событие) Н2– торпеда попала в среднюю часть корабля; гипотеза (событие) Н3– торпеда попала в кормовую часть корабля. Вероятности гипотез: Р(Н1)=0,3; Р(Н2)=0,5; Р(Н3)=0,2. Условные вероятности события А: Найдем искомую вероятность события А по формуле полной вероятности: Вероятность потопления корабля одной торпедой (при случайном попадании в какую-либо часть корабля) в среднем составляет 72%. 4

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Решение. Рассмотрим события: Событие А – норматив выполнен; гипотеза (событие) Н1 – выдан пистолет приведенный к нормальному бою; гипотеза (событие) Н2– выдан пистолет не приведенный к нормальному бою. Вероятности гипотез: Р(Н1) = 0,4; Р(Н2) = 0,6. Условные вероятности события А: Найдем искомую вероятность события А по формуле полной вероятности: Вероятность выполнить нормативы по стрельбе из наугад выданного пистолета в среднем составляет 50%. 5

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Байеса Формула Байеса используется для переоценки вероятностей доопытных гипотез. Как вы уже знаете, исследователь для оценки вероятности появления некоего события А выдвигает ряд несовместных гипотез (все возможные решения), которые могут повлечь за собой событие А. Перед началом эксперимента выдвинутым гипотезам приписываются предположительные вероятности. Далее эти гипотезы можно проверить с помощью эксперимента. Целью эксперимента является разумная коррекция этих доопытных вероятностей. В результате эксперимента эти доопытные вероятности заменяются послеопытными, причем некоторые из них могут оказаться настолько малыми, что позволяют отбросить соответствующие гипотезы из дальнейших рассмотрений. Опыт с оставшимися гипотезами можно повторить, каждый раз уточняя их вероятности. Таким образом мы можем выстроить рейтинг гипотез, выводя на первые позиции те, которые наиболее вероятно повлекут за собой событие А. 6

7. Известны доопытные вероятности этих гипотез P(H1), P(H2), P(H3), P(H4) … P(Hn). Произведен опыт, в результате которого появилось событие А совместно с какой-то из гипотез. Как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А уже произошло ( ) можно вычислить по формуле Другими словами: - одно из слагаемых формулы полной вероятности; - формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Имеется полная группа несовместных гипотез H1, H2, H3, H4 … Hn . 7

8. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Решение. Рассмотрим события: Событие А – мишень не поражена; гипотеза (событие) Н1 – выстрел произвел стрелок из первой группы; гипотеза (событие) Н2– выстрел произвел стрелок из второй группы; гипотеза (событие) Н3– выстрел произвел стрелок из третьей группы. Вероятности гипотез: Р(Н1)=0,357; Р(Н2)=0,5; Р(Н3)=0,143. Условные вероятности события А: Найдем среднюю вероятность события А по формуле полной вероятности: Переоценку вероятностей гипотез о принадлежности стрелка к одной из групп после испытания проведем по формуле Байеса: Как видно из расчета, результат испытания изменил вероятности принятых гипотез и позволяет сделать вывод о том, что вероятнее всего стрелок принадлежит ко II группе. 8

9. Формула полной вероятности. Формула Байеса. В частности формула полной вероятности и формула Байеса применяются при обосновании некоторых правил стрельбы. В стрелковой практике проводится так называемая пристрелка, цель которой – уточнить некоторые особенности условий стрельбы. Например, уточняются: положение цели, положение средней траектории, некоторые особенности употребляемого оружия или любые другие особенности условий стрельбы, влияющие на ее эффективность. 9

10. История искусственного интеллекта. Спасибо за внимание! 10