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第五章 留 数

第五章 留 数. By 付小宁. 定义 如果 函数. 在. 在 不解析 , 但. 的某一去心邻域. 内处处解析 , 则称. 为. 的孤立奇点. 是函数. 例 1. 的孤立奇点. 是函数. 的孤立奇点. 第一节 孤立奇点. 一、孤立奇点的概念. 的奇点特性. 例2 指出函数. 在点. 总有. 即在. 的不论怎样小的去心邻域内,. 所以. 不是孤立奇点. 函数的奇点为. 解. 的奇点存在,. 函数在孤立奇点以外的奇点称为 非孤立奇点. 依据. 在其孤立奇点. 的去心邻域. 内的洛朗级数的情况分为三类:.

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第五章 留 数

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  1. 第五章 留 数 By 付小宁

  2. 定义如果函数 在 在不解析, 但 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 是函数 例1 的孤立奇点. 是函数 的孤立奇点. 第一节 孤立奇点 一、孤立奇点的概念

  3. 的奇点特性. 例2 指出函数 在点 总有 即在 的不论怎样小的去心邻域内, 所以 不是孤立奇点. 函数的奇点为 解 的奇点存在, 函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点.

  4. 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: 如果洛朗级数中不含的负幂项, 那末孤立奇点称为的可去奇点. 孤立奇点的分类 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 1．可去奇点 1) 定义

  5. 其和函数 为在 解析的函数. (2) 无论 在 是否有定义, 则函数 在 解析. 说明: (1) 补充定义

  6. 如果 在 的洛朗级数无负 幂项则 为 的可去奇点. 则 为 的可去奇点. 2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: (2)判断极限 若极限存在且为有限值,

  7. 例3 中不含负幂项, 是 的可去奇点 . 时, 那末 在 解析. 如果补充定义:

  8. 为 例4 说明 的可去奇点. 所以 为 的可去奇点. 为 的可去奇点. 解 无负幂项 另解

  9. 如果洛朗级数中只有有限多个 的 其中关于 的最高幂为 那末孤立奇点 称为函数 的 级极点. 2. 极点 1) 定义 负幂项, 即 或写成

  10. (2) 为函数 的极点 , 则 如果 有理分式函数 例5 (1) 说明: 特点: 1. 2. 是二级极点, 是一级极点.

  11. 的洛朗展开式中含有 的负幂项为有 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 (3) 利用极限 判断 . 2)极点的判定方法 (1) 由定义判别 限项. (2) 由定义的等价形式判别

  12. 例6 求函数 的奇点，并确 定类型. 是奇点. 是三级极点. 是二级极点; 解

  13. 如果洛朗级数中含有无穷多个 的负幂项, 称为 那末孤立奇点 的本性奇点. 同时 不存在. 特点: 在本性奇点的邻域内 不存在且不 为 本性奇点 3. 例如， 含有无穷多个z的负幂项

  14. 综上所述: 孤立奇点 洛朗级数特点 存在且为 有限值 可去奇点 无负幂项 含有限个负幂项 为 最高幂 m级极点 存在且有限 含无穷多个负幂项 本性奇点 不存在 且不为

  15. 不恒等于零的解析函数 如果 在 其中 能表示成 解析且 那末 m为某一正整数, 称为 的m 级零点. 二、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义 例6 注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.

  16. 级 如果 在 为 的 解析, 那末 如果 为 的 级零点 设 的泰勒展开式为: 2.零点的判定 零点的充要条件是 证 (必要性) 由定义:

  17. 其中 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: 并且 充分性证明略 .

  18. 例7 求以下函数的零点及级数: (2) (1) (1)由于 知 是 的一级零点， 的一级零点. 是 知 求 的零点及级数 . 是五级零点, 是二级零点. 解 尚有另2个一级零点. (2) 课堂练习 答案

  19. 如果 是 就是 定理 的 m 级极点, 那末 的m 级零点. 反过来也成立. 当 时 , 如果 是 的 m 级极点, 则有 函数 在 解析且 3.零点与极点的关系 证

  20. 由于 只要令 就是 的 m 级零点. 那末 反之如果 是 的 m 级零点, 那末 当 时, 是 所以 的 m 级极点. 解析且

  21. 函数 例8 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级. 函数的奇点是使 的点, 这些奇点是 即 的一级极点. 说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法. 解 是孤立奇点.

  22. 问 是 的二级极点吗? 例9 解析且 所以 不是二级极点, 而是一级极点//可去奇点. 是 思考 的几级极点? 解 注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .

  23. Z R 三、函数在无穷远点的性态 定义 注

  24. 规定： 判别法1 (利用变换域级数进行判断)

  25. 如果 在 内的洛朗级数中: 2)含有有限多的正幂项且 为最高正幂; 那末 的 是 2.判别方法 2(利用洛朗级数的特点) 1)不含正幂项; 3)含有无穷多的正幂项; 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 .

  26. 在圆环域 例10 (1)函数 内的洛朗展开式为: 所以 是 的可去奇点 . 含有正幂项且 z 为最高正 (2)函数 是 的一级极点. 幂项,所以 不含正幂项

  27. 的展开式: (3)函数 所以 是 的本性奇点. 的奇点及其 类型. 说出函数 含有无穷多的正幂项 课堂练习 答案

  28. 如果极限 1)存在且为有限值 ; 存在且有限 2)无穷大; 3)不存在且不为无穷大 ; 那末 是 1)可去奇点 ; 的 2)m级极点 ; 3)本性奇点 . 判别法3 : (利用极限特点)

  29. 在扩充复平面内 例11 函数 有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级. 函数 除点 外, 在 内解析 . 所以这些点都是 的一级零点, 的三级极点. 故这些点中除1, -1, 2外, 都是 解

  30. 那末 是 的可去奇点. 所以 因为

  31. 所以 不是 的孤立奇点.

  32. 为 设 的一个孤立奇点; 的某去心邻域 . 邻域内包含 的任一条正向简单闭曲线 内的洛朗级数: 在 第二节 留 数 一、留数的引入

  33. (高阶导数公式) 0 0 (柯西-古萨基本定理)

  34. 如果 的一个孤立奇点, 则沿 的 内包含 的值除 任意一条简单闭曲线C 的积分 后所得的数称为 以 记作 Residue 定义

  35. 函数 在区域D内除有限个孤 立奇点 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 二、利用留数求积分 1.留数定理 说明: 2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.

  36. . . . 两边同时除以 且 证 如图 [证毕]

  37. 为 (1) 如果 的可去奇点, 为 (2) 如果 则需将 的本性奇点, 成洛朗级数求 为 的极点, 则有如下计算规则 (3) 如果 如果 为 的一级极点, 那末 2.留数的计算方法 展开 • 规则1

  38. 如果 为 的 级极点, • 规则2 那末 证

  39. 两边求 阶导数, +(含有 正幂的项) 得 [证毕]

  40. 设 在 都解析， 及 那末 为 如果 且有 的一级极点, 为 的一级零点, 为 的一级极点. • 规则3 证

  41. 其中 在 解析且 解析且 在 为 的一级极点, 因此

  42. 设函数 在圆环域 内解析， 三、在无穷远点的留数 1.定义 C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 记作 注意积分路线取顺时针方向 说明

  43. 2.定理二 如果函数 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 在所有各奇点 (包括点) 的留数的总和必等于零. . 包含在 (绕原点的并将 . . . 内部的正向简单闭曲线) . . . 证 由留数定义有: [证毕]

  44. 说明: 由定理得 (留数定理) 计算积分 计算无穷远点的留数. 优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)

  45. 3.在无穷远点处留数的计算 • 规则4 说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线 积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单.

  46. 证 现取正向简单闭曲线C为半径足够大的 正向圆周 : 于是有

  47. 在 内除 外无其他奇点 . [证毕]

  48. 例1 求 在 的留数. 四、典型例题 解

  49. 例2 求 在 的留数. 是 的三级零点 分析 由规则2得 计算较麻烦.

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