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MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema 10 * Integrales DEFINIDAS. ÁREAS ENTRE FUNCIONES. Tema 10.4 * 2º BCS. ÁREAS PLANAS ENTRE FUNCIONES. EJEMPLO_1 Hallar el área que forman las funciones y = x e y = x 2 entre x=0 y x=1 Área = Área de y=x entre 0 y 1 menos Área y = x 2 entre 0 y 1

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  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 10 * Integrales DEFINIDAS Matemáticas 2º Bachillerato CS

  2. ÁREAS ENTRE FUNCIONES Tema 10.4 * 2º BCS Matemáticas 2º Bachillerato CS

  3. ÁREAS PLANAS ENTRE FUNCIONES • EJEMPLO_1 • Hallar el área que forman las funciones y = x e y = x2 entre x=0 y x=1 • Área = Área de y=x entre 0 y 1 menos Área y = x2 entre 0 y 1 • 1 1 2 • Área = ∫ x dx – ∫ x dx = • 0 0 • 2 1 3 1 • = [x / 2] – [x / 3] = • 0 0 • =1/2 – 1/3 = 1/6 u2 Y y = x2 1 0 1 X Matemáticas 2º Bachillerato CS

  4. EJEMPLO_1 • Hallar el área que forman las funciones y = 2x e y = x2 • Previo: Puntos de corte • x = 2 es uno de ellos. • x = – 0,5 es el otro • Al ser todas las áreas positivas • 2 2 • Área = ∫ 2x dx – ∫ x2 dx = • -0,5 -0,5 • 2 2 • = [2x /ln2] – [x3/ 3] = • -0,5 -0,5 • = (5,7707 – 1,0201) – • – (8/3 + 0,125/3) = • = 4,7506 – 2,7083 = • = 2,0423 u2 Y 4 3 2 1 y = 2x y = x2 0 1 2 X Matemáticas 2º Bachillerato CS

  5. EJEMPLO_3 • Hallar el área que encierran las funciones y = x3 – x e y = x • Por el dibujo vemos que ambas funciones tienen simetría impar. • Las áreas A1 y A6 con iguales, aunque con distinto signo. • Las áreas A2 y A5 son iguales, aunque con distinto signo. • Las áreas A3 y A4 son iguales, aunque con distinto signo. • El área A1 es diferencia de dos áreas. y = x A6 y = x3 - x • Previos • Calculamos el corte de ambas. • Resulta el sistema: • y = x3 – x • y = x • Por igualación: • x3 – x = x  x3 = 2.x • x=0 es una solución. • x2 = 2  x = ±√2 son las otras dos A3 A5 A4 -√2 -1 0 1 √2 A2 A1 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  6. Resolución • -1 -1 -1 -1 • A1 = ∫ x dx – ∫ x3 – x dx = [ x2 / 2 ] – [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = • – √2 – √2 – √2 – √2 • = [ 1/ 2 – 2 / 2 ] – [ (1/4 – ½) – (4/4 – 2/2)] = – 0,5 – ( – 0,25)= – 0,25 • 0 0 • A2 = ∫ x dx = [ x2 / 2 ] = 0 – ½ = – 0,5 • – 1– 1 • 0 0 • A3 = ∫ x3 – x dx = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = 0 – (1/4 – ½) = 0,25 • – 1– 1 • El área pedida será: • A = 2.|A1| + 2.|A2|+2.A3 = 2.| – 0,25|+2.| – 0,5|+2.0,25 = 2 u2 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  7. EJEMPLO_4 • Hallar el área que envuelven las funciones y = ln x e y = x - 2 • Resolución • La intersección de ambas funciones son los puntos: • ln x = x – 2  (0,16, -1,84) y (3,15, 1,15) • De forma aproximada, con dos decimales. • A = A1+A2+A3+A4 • A1  Diferencia de áreas • (ambas negativas) en (0,16, 1) • A2  Originada por la función • lineal, negativa, en (1, 2). • A3  Originada por la función • logaritmo, positiva, en (1, 2). • A4  Diferencia de áreas • (ambas positivas) en (2, 3,15) y = x – 2 1 Y y = ln x A4 A3 0 1 2 3,15 X A2 A1 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  8. Resolución • 1 1 1 1 • A1 = | ∫ x – 2 dx | – | ∫ lnx dx | = | [x2/2 – 2.x] | – | [x.lnx – x] | = • 0,16 0,16 0,16 0,16 • = | (1/2 – 2) – (0,0128 – 0,32) | – | (1.ln 1 – 1) – (0,16.ln 0,16 – 0,16)| = • = |– 1,5 + 0,3072 | – | – 1 – (– 0,4532) | = 1,2928 – 0,5468 = 0,7460 u2 • 2 2 • A2 = | ∫ x –2 dx | = | [x2/2 – 2.x] | = |(2 – 4) – (1/2 – 2)| = | – 2 + 1,5 | = 0,5 u2 • 1 1 • 2 2 • A3 = ∫ lnx dx = [x.lnx – x] =(2.ln2 – 2) – (1.ln1 –1)= – 0,6137+1 = 0,3863 u2 • 1 1 • 3,15 3,15 3,15 3,15 • A4 = ∫ lnx dx – ∫ x – 2 dx = [x.lnx – x] – [x2/2 – 2.x] | = • 2 2 2 2 • = [(3,15.ln3,15 – 3,15) – (2.ln2 – 2)] – [(4,96 – 6,3) – (2 – 4)] = • =(0,4643 +0,6137) – (– 1,34 + 2) = 1,087 – 0,66 = 0,427 u2 • Área = 0,7460 + 0,5000 + 0,3863 + 0,4270 = 2,0593 u2 Matemáticas 2º Bachillerato CS

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