Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

1. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Trabajo realizado por: Carmen Escalona 4ºESO B

2. Existen dos tipos de sistemas de ecuaciones: • Sistemas de ecuaciones lineales: son un conjunto de ecuaciones que pueden escribirse de la forma ax+by=c y que hay que resolver simultáneamente. La solución del sistema es el valor o los valores que han de tomar las incógnitas para que se cumplan todas las igualdades del sistema. Ejemplo: 2x+y=7 • x+y=4 • 2)Sistemas de ecuaciones no lineales: en ocasiones algunas de las ecuaciones del sistema no pueden escribirse de la forma ax+by=c.Esto ocurre cuando hay productos o cocientes entre las incógnitas o cuando aparecen incógnitas elevadas a un número distinto de 1. Ejemplo: 2x·y=6 • x2-y=8

3. En este trabajo hablaremos solo de los sistemas lineales de ecuaciones y sus métodos de resolución. • Los sistemas lineales de ecuaciones se clasifican según su número de soluciones en : • SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: el sistema cuenta con una única solución, hay tan solo un valor de x y otro de y que cumplen todas las igualdades del sistema. • SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: el sistema tiene infinitas soluciones. Ocurre cuando al simplificar una de las ecuaciones del sistema esta resulta ser igual a la otra ecuación, es decir, el sistema es, en realidad, una sola ecuación con dos incógnitas. • SISTEMA INCOMPATIBLE: el sistema no tiene solución porque las distintas igualdades que lo forman aportan información contradictoria

4. x-y=3 x+2y=9 x=3+y x+2y=9 Métodos de resolución de sistemas lineales de ecuaciones Método de sustitución: consiste en despejar en una de las ecuaciones una incógnita (la que resulta más sencilla), después sustituir su expresión en la otra ecuación del sistema y resolver la igualdad resultante. Haz clic una vez para ver un ejemplo. x+2y=9 (3+y)+2y=9 3+y+2y=9 3y=6 SOLUCIÓN: x=5 y=2 x-y=3 x-2=3 x=5 y=2 Clic para continuar

5. x+y=8 x+3y=12 x=8-y x=12-3y Método de igualación: consiste en despejar la misma incógnita en todas las ecuaciones, igualar las expresiones obtenidas y resolver la ecuación resultante. Haz clic una vez para ver un ejemplo. 8-y=12-3y 2y=4 y=2 x+3y=12 x+3·(2)=12 x+6=12 x=6 SOLUCIÓN: x=6 y=2 Clic para continuar

6. 2x-7y=-2 x+3y=12(·2) 2x-7y=-2 2x+6y=24 2x-7y=-2 2x+6y=24 -13y=-26 2x-7y=-2 2x+6y=24 Método de reducción: consiste en igualar mediante multiplicaciones los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones. Después se suman o restan las dos ecuaciones de modo que desaparezca una de las incógnitas y se resuelve la ecuación con una incógnita resultante. Por último se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema. Haz clic una vez para ver un ejemplo. 2x+6·(2)=24 y=2 2x+12=24 2x=12 SOLUCIÓN: x=6 y=2 x=6 Clic para continuar

7. Método gráfico: consiste en despejar y en todas las ecuaciones. Después elaborar una tabla de valores en la que se da valores a x para obtener así valores de y. Seguidamente representar los puntos obtenidos en un sistema de ejes, el resultado serán dos rectas (o más dependiendo del número de ecuaciones del sistema) que representan todas las soluciones de cada ecuación. Al dibujar las dos rectas puede ocurrir que: • sean paralelas: entonces el sistema es incompatible y no tiene solución. • coincidan (sean las dos rectas la misma recta): el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. • se corten en un punto: entonces el sistema es compatible determinado. El punto en el que se cortan es la solución del sistema, si por ejemplo las rectas se cortan en el punto (4,8) la solución del sistema es x=4; y=8. Haz clic una vez para ver un ejemplo.

8. x+y=6 x-y=2 y=6-x y=x-2 Despejar y Tabla de valores Representar puntos y=6-x y=x-2 El punto en que se cortan las dos rectas es la solución del sistema por tanto: SOLUCIÓN: x=4 y=2 Clic para continuar

9. Cada método de resolución es más o menos conveniente según el sistema ante el que nos encontremos. • Si en el sistema hay una incógnita despejada o es fácil despejarla emplearemos SUSTITUCIÓN. • Si la misma incógnita está despejada o es fácil de despejar en ambas ecuaciones emplearemos IGUALACIÓN. • Se aplica REDUCCIÓN cuando no es fácil utilizar los dos métodos anteriores. • El MÉTODO GRÁFICO resulta más largo y complicado que los otros métodos, sin embargo es el único que representa la solución gráficamente, en un sistema de ejes. • A continuación veremos cómo resolver problemas siguiendo los diferentes métodos mencionados.

10. x+y=20 2x-0,5y=20 RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN RESOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente como mínimo para aprobar? Sea cual sea el método que empleemos lo primero que hemos de hacer al resolverun problema es identificar las incógnitas y plantear el sistema de ecuaciones: Puesto que es obligatorio responder todas las preguntas las preguntas falladas y las acertadas han de sumar 20. x= nº preguntas correctas y= nº preguntas falladas El nº de preguntas acertadas multiplicado por 2 ptos que vale cada pregunta menos el nº de preguntas falladas multiplicado por 0,5 que vale cada una han de sumar al menos 20 para aprobar. Pincha aquí para ver otros problemas Pinchaen los recuadros para ver los distintos métodos de resolución para el problema

11. x+y=20 2x-0,5y=20 x=20-y 2x-0,5y=20 Volver atrás • SUSTITUCIÓN PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente como mínimo para aprobar? 2x-0,5y=20 2·(20-y)-0,5y=20 40-2y-0,5y=20 x=12 x+8=20 -2,5y=-20 SOLUCIÓN: como mínimo hay que contestar 12 preguntas bien para aprobar y=8

12. x+y=20 2x-0,5y=20 x=20-y 2x=20+0,5y x=20-y x=20+0,5y 2 Volver atrás • IGUALACIÓN PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente como mínimo para aprobar? 20-y=20+0,5y 2 40-2y=20+0,5y x+8=20 x=12 -2,5y=-20 SOLUCIÓN: como mínimo hay que contestar 12 preguntas bien para aprobar y=8

13. REDUCCIÓN x+y=20 2x-0,5y=20 2x+2y=40 2x-0,5y=20 2x+2y=40 2x-0,5y=20 - Volver atrás PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente como mínimo para aprobar? ·(2) 2,5y=20 x+8=20 x=12 y=8 SOLUCIÓN: como mínimo hay que contestar 12 preguntas bien para aprobar

14. x+y=20 2x-0,5y=20 y=20-x y=20-2x -0,5 Volver atrás • M.GRÁFICO PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente como mínimo para aprobar? y=20-x y=20-2x -0,5 SOLUCIÓN: como mínimo hay que contestar 12 preguntas bien para aprobar

15. SOLUCIÓN SOLUCIÓN A continuación aparecen varios problemas, intenta solucionarlos empleando los distintos métodos ( si los resuelves bien la solución debe ser siempre la misma independientemente del método utilizado). Para comprobar al solución pincha en el recuadro “SOLUCIÓN”. PROBLEMA: Un grupo de amigos alquila un local para una fiesta por 700€. Si fueran dos amigos más cada uno pagaría 40€. ¿Cuántos amigos son y cuánto dinero tienen que aportar? PROBLEMA: Un carpintero recibe el encargo de hacer el marco de un cuadro utilizando un listón de 2m sin que sobre ni falte madera. Si el cuadro es rectangular y su superficie es de 24dm2 ¿de qué longitud han de ser los trozos que corte del listón? Clic para ver más problemas

16. SOLUCIÓN SOLUCIÓN PROBLEMA: Los billetes de 50€ y 20€ que lleva Luis en el bolsillo suman 380€. Si cambiamos los billetes de 20€ por los de 50€ y al revés suman 320€. ¿Cuántos billetes lleva de cada tipo? PROBLEMA: A un congreso acuden 60 personas. Si se van tres hombres y vienen tres mujeres el número de mujeres sería un tercio del de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?

17. VOLVER SOLUCIÓN PROBLEMA: Un grupo de amigos alquila un local para una fiesta por 700€. Si fueran dos amigos más cada uno pagaría 40€. ¿Cuántos amigos son y cuánto dinero tienen que aportar? El sistema que habría que plantear para resolver el problema es : x= nº estudiantes xy=700 y=€ que aporta cada uno y=700 x+2 Solución: cada uno aporta 140€ y son 5 amigos

18. VOLVER SOLUCIÓN PROBLEMA: Un carpintero recibe el encargo de hacer el marco de un cuadro utilizando un listón de 2m sin que sobre ni falte madera. Si el cuadro es rectangular y su superficie es de 24dm2 ¿de qué longitud han de ser los trozos que corte del listón? Es importante acordarse de pasar todos los datos a las mismas unidades. El sistema que habría que plantear para resolver el problema es : xy=2400 2x+2y=200 x y Solución: dos trozos miden 60cm y dos trozos miden 40 cm

19. VOLVER SOLUCIÓN PROBLEMA:Los billetes de 50€ y 20€ que lleva Luis en el bolsillo suman 380€. Si cambiamos los billetes de 20€ por los de 50€ y al revés suman 320€. ¿Cuántos billetes lleva de cada tipo? El sistema que habría que plantear para resolver el problema es : x= nº billetes de 20€ y= nº billetes de 50€ 20x+50y=380 50x+20y=320 Solución: lleva 4 billetes de 20€ y 6 de 50€

20. VOLVER SOLUCIÓN PROBLEMA: A un congreso acuden 60 personas. Si se van 3 hombres y vienen tres mujeres el número de mujeres sería un tercio del de hombres. ¿Cuántos hombre y mujeres hay? El sistema que habría que plantear para resolver el problema es : x= nº mujeres x+y=60 y=nº hombres x+3=y-3 3 Solución: hay 48 hombres y 12 mujeres en el congreso