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三、应用

§ 4.2 Pascal 定理与 Brianchon 定理. 作二阶曲线上的点. 1. 作图题. 作切线. 2. 证明题. 证明共线点 , 共点线问题. 三、应用. § 4.2 Pascal 定理与 Brianchon 定理. 例 3. 如图 , 设 ABCDEF 是一条二次曲线的内接六点形 , 且 AB × CD = P , CD × EF = Q , DE × AF = L , AF × BC = M , BC × DE = N , EF × AB = R . 求证 : PL , MQ , RN 共点.

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三、应用

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Presentation Transcript


  1. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 作二阶曲线上的点 1. 作图题 作切线 2. 证明题 证明共线点, 共点线问题 三、应用

  2. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 例3. 如图, 设ABCDEF是一条二次曲线的内接六点形, 且 AB×CD=P, CD×EF=Q, DE×AF=L, AF×BC=M, BC×DE=N, EF×AB=R.求证: PL,MQ,RN共点. 证明. 考察简单六点形ABCDEF, 利用Pascal定理, 再利用Desargues定理即得结论. 例4. 若两个三点形ABC和A'B'C'的对应顶点连线交于一点S(如图), 且其中一个三点形的边与另一个三点形的非对应边交于D,E,F,G,H,I六个点,证明此六点在同一条二次曲线上. 证明. 应用Desargues定理于ABC和A'B'C', 再考察简单六点形DEFGHI, 利用Pascal定理的逆定理, 即得结论.

  3. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 例5. 如图, 三点形ABC内接于二阶曲线, 其每一顶点处的切线构成另一个三点形A'B'C'. 求证:AA', BB', CC'共点. 证明. 由利用Pascal定理的极限情况定理4.12知, 三点形ABC与A'B'C'的对应边交点共线, 据Desargues透视定理得结论. 例6. 如上题图及条件. 求证:A(BC,A'C') = B(AC,B'A') = C(CA,C'B') = -1. 提示:利用上例结论以及完全四点形的调和性(思考). 例7. (P.116, Ex.6)设A,B,C,D为二阶曲线上四个定点, P,Q为上的动点. PA×DC=X, PB×QD=Y. 求证XY过定点. 做不出!必定题目有问题! 改正: 将PA×DC=X 改为 PA×QC=X. 考察六点形APBCQD, 由Pascal定理, XY经过定点AD×BC.

  4. § 4.3 配极变换 在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定:非退化. 设 一、极点与极线 1. 引入 定义4.6 两点P, Q关于共轭. (如图) 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与: S=0的交点M(pi+qi)满足 设其两根为1, 2. 则交点为Mj( pi+ jqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=–1  1/ 2=–1 1+ 2=0 将qi改为流动坐标xi, 得P关于的共轭点的轨迹为直线Sp=0.

  5. § 4.3 配极变换 一、极点与极线 1. 引入 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 推论4.5 两点P, Q关于共轭Spq=0. 即 注1. 验证两点P, Q关于共轭, 只要验证上式. 注2. P在上, 则Spp=0, 由推论4.5, 规定:上的点关于自共轭. 2. 极点与极线 共轭点轨迹p 则称P关于的 定义4.7 对于点P, 若 切线p 为P关于的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于的极点. 注. 由定义4.7及推论4.5, 有 定义4.6': 相互在对方极线上的两点称为关于的共轭点.

  6. § 4.3 配极变换 一、极点与极线 2. 极点与极线 推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于的极点.设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与Sp=0为同一直线, 即 即

  7. § 4.3 配极变换 一、极点与极线 2. 极点与极线 推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 展开上式, 得 因为|aij|≠0, 故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在. (4.17)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组.

  8. § 4.3 配极变换 一、极点与极线 根据推论4.5, 可以对偶地给出下列定义 定义4.8相互通过对方极点的直线称为关于的共轭直线. 注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线p[pi], q[qi]关于: S=0共轭Tpq=0 3. 极点与极线的计算 (1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0. (2). 已知u[ui], 求极点, 将[ui]代入(4.17), 解出(pi). (注:在实际计算时, 可取=1, 见教材, 例4.11) 注:(4.17)是一个非奇异线性变换, 是由: S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射.

  9. § 4.3 配极变换 二、配极变换 1. 配极变换 定义4.9 称由 决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线: S=0的配极变换. 注1. (4.18)表示点x与直线u是关于: S=0的极点极线关系. 另一种写法为. 注2. 任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换. 注3. 配极变换是异素变换, 是一个双射.

  10. § 4.3 配极变换 二、配极变换 1. 配极变换 定理4.14(配极原则)点P关于的极线p通过点Q点Q关于的极线q通过点P. 定理4.14'(配极原则) 直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上. 注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质. 证明. (左边)设: S=0, P(pi), Q(qi). 则P的极线Sp= 0 过点Q Spq= 0  Sqp= 0  Q的极线Sq过点P. 对偶地, 可得右边.

  11. § 4.3 配极变换 二、配极变换 1. 配极变换 推论4.7 两点连线的极点为此二点极线的交点;两直线交点的极线为此二直线极点的连线. 推论4.8 共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 推论4.9 关于非退化二阶曲线的配极变换使得点列对应于线束, 线束对应于点列;图形对应于其对偶图形. 推论4.10 关于非退化二阶曲线的配极变换使得共线四点的交比等于其对应共点四直线的交比. 因此, 配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应. 综上: 非退化二阶曲线 配极变换 二维异素射影变换 二维异素射影变换 对偶变换 从而 配极原则 特殊的对偶原则

  12. § 4.3 配极变换 二、配极变换 2. 自极三点形(应用性极强的重要概念) 定义4.10 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于的一个自极三点形. 定理4.15 内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点形是关于的一个自极三点形. 证明:如图, 设完全四点形ABCD内接于非退化二阶曲线, PQR为其对边三点形. 设QR交一组对边AD, BC于点E, F. 则由完全四点形的调和性有 于是点E, F均为点P关于共轭点, 即QR为P关于的极线. 同理, RP, PQ为Q, R关于的极线. 所以, PQR为关于的一个自极三点形.

  13. § 4.3 配极变换 二、配极变换 2. 自极三点形(应用性极强的重要概念) 定义4.10 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于的一个自极三点形. 定理4.15 内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点形是关于的一个自极三点形. 注1. 自极三点形的任一顶点不在上. 注2. 自极三点形恰有一个顶点在的 “内部”. 注3. 自极三点形任意两顶点相互共轭; 任意两边相互共轭. 例1. 给定不在上的一点P(pi), 任求的一个自极三点形PQR. 解. (i) 求P(pi)的极线p: Sp=0. (ii) 在p上任取不属于的一点Q(qi), 求Q的极线q: Sq=0. (iii) 求p与q的交点R(ri), 则PQR必为的一个自极三点形.

  14. § 4.3 配极变换 一、极点与极线 二、配极变换 3. 配极变换的基本应用 2. 自极三点形 1. 配极变换 (1). 几何证明题 灵活运用配极原则以及自极三点形等概念 (2). 极点极线作图 例2. 已知非退化二阶曲线及不在上一点P, 求作P关于的极线p. 例3. 已知非退化二阶曲线以及一直线p, 求作p关于的极点P. 作法. 在p上任取不在上两相异点Q,R, 利用上例, 作Q,R关于的极线q,r. 则q×r=P. 例4. 已知非退化二阶曲线及Γ外一点P, 过P求作的两切线. 作法一. 利用例2, 设p交于E,F, 连PE, PF即可. 作法二. 如图. 过P任作三割线, 可得切线.

  15. 今日作业 P.122, 1(2), 2(1), 3(1) The Class is over. Goodbye!

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