Introduction à la logique

1. Introduction à la logique

2. Introduction aux fonctionslogiques • Systèmes binaires • Deux états fondamentaux et distincts Vrai/ FauxMarche/ ArrêtOui / Non • Par convention • Un état est représenté par « 1 » • L’autre est représenté par « 0 »

3. La logique Booléenne • George Boole (1815-1864), mathématicien et logicien anglais. • Il décrit un système algébrique, l’algèbre booléenne.

4. Types de représentation • Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons • Équations logiques • Tables de vérités • Représentation graphique • Ces représentations seront introduites avec les fonctions de base...

5. Fonction logique NON En anglais NOT Equation S = A ou S = /A Table de vérité Entrée Sortie 1 S A S A 0 1 1 0 Symbole graphique

6. Fonction logique ET Table de vérité Entrée Sortie A & B A S 0 0 0 S B 0 1 0 1 0 0 Symbole graphique 1 1 1 En anglais AND Equation S = A . B

7. Fonction logique OU Table de vérité Entrée Sortie A > 1 B A S 0 0 0 S B 0 1 1 1 0 1 Symbole graphique 1 1 1 En anglais OR Equation S = A + B

8. Fonction logique NON-ET En anglais NAND Equation S = A . B Table de vérité Entrée Sortie A & B A S 0 0 1 S B 0 1 1 1 0 1 Symbole graphique 1 1 0

9. Fonction logique NON-OU En anglais NOR Equation S = A + B Table de vérité Entrée Sortie A > 1 B A S 0 0 1 S B 0 1 0 1 0 0 Symbole graphique 1 1 0

10. Fonction logique OU-EXCLUSIF En anglais EXOR Equation S = A + B Table de vérité Entrée Sortie A = 1 B A S 0 0 0 S B 0 1 1 1 0 1 Symbole graphique 1 1 0

11. Fonction logique NON OU-EXCLUSIF En anglais EXNOR Equation S = A + B Table de vérité Entrée Sortie A = 1 B A S 0 0 1 S B 0 1 0 1 0 0 Symbole graphique 1 1 1

12. Technologie différentes • En électronique, on représente les fonctions logiques avec des logigrammes. • En automatisme, on utilise des interrupteurs et des relais pour représenter les fonctions logiques.

13. Fonctions logiques utilisant des interrupteurs Ouvert au repos : NO Fermé au travail Fermé au repos : NF Ouvert au travail

14. Fonction logique NON a Lampe V + - Lampe = a « a » est un interrupteur Normalement Fermé

15. Fonction logique ET b a V + - Lampe Elle utilise deux interrupteurs Normalement Ouvert câblés en séries. Lampe = a . b

16. Fonction logique OU a b V + - Lampe Elle utilise deux interrupteurs normalement ouvert câblés en parallèles. Lampe = a + b

17. Fonctions logiques utilisant des relais • En automatisme, on utilise les relais pour réaliser des fonctions logiques. • Le relais est une composante électromécanique.

18. L’algèbre Booléenne • Commutativité • A + B = B + A • A . B = B . A • Associativité • A + (B + C) = (A + B) + C • A . (B . C) = (A . B) . C

19. L’algèbre Booléenne • Distributivité • Du ET par rapport au OU : A .(B + C) = (A .B) + (A .C) • Du OU par rapport ET : A +(B . C) = (A +B) . (A +C)

20. L’algèbre Booléenne • Idempotence • A + A = A • A . A = A • Complémentarité • A + A = 1 • A . A = 0

21. L’algèbre Booléenne a . b = a + b a + b = a . b • Identités remarquables • 1 + A = 1 1 . A = A • 0 + A = A 0 . A = 0 • Théorème de de Morgan Application principale : Transformation d’un ET en OU et inversement

22. Applications • A partir d’une table de vérité, nous pouvons trouver l’équation logique et le logigramme correspondant. • L’algèbre de Boole est utilisée pour simplifier les équations.

23. Table de vérité • Quelle est l’équation de S ?

24. Table de vérité • Solution • On construit l’équation de S en écrivant tous les termes donnant S = 1. Ainsi, S = 1 si ... C=0 et B=1 et A=0 ou C=0 et B=1 et A=1 ou C=1 et B=0 et A=1 ou C=1 et B=1 et A=0

25. Table de vérité C=0 et B=1 et A=0 C . B .A C . B . A C=0 et B=1 et A=1 C . B . A C . B . A C=1 et B=0 et A=1 C . B . A C . B . A C=1 et B=1 et A=0 C . B . A C . B . A S = + + + En simplifiant S = C . B + C. (A + B) OU OU OU

26. Logigramme = c.(a + b.c) S a >1 b & c a >1 a + b.c b b.c & & c Simplification S = a.c + b.c.c S = a.c + b.c S = c (a + b) S = c (a + b)

27. Logigramme création S =[a+(b.c)]. d a a b >1 a+b.c & b.c S & c d d

28. Conclusion • Ces exemples démontre que la simplification est essentielle. Il faut avoir le circuit le plus simple que possible... • La simplification peut être un processus long si le système est complexe.