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经 济 数 学 基 础. 蒋 玉 兰. Email:jyl@nbtvu.net.cn. Tel:87201017. 第三章 导数的应用. § 1 微分中值定理. 一、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理. 称上面的公式为 拉格朗日中值公式。. 几何解释 :. 二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理的推论. 推论 1. 推论 2. 例 1 、. 证 :. § 2 利用导数研究函数的性态. 一、利用一阶导数判断函数在区间上的单调性。. 观察单调增加函数、单调减少函数的切线：. 切线与 x 轴夹角为钝角.

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Presentation Transcript

  1. 经 济 数 学 基 础 蒋 玉 兰 Email:jyl@nbtvu.net.cn Tel:87201017

  2. 第三章 导数的应用 §1 微分中值定理 一、拉格朗日(Lagrange)中值定理 称上面的公式为拉格朗日中值公式。

  3. 几何解释:

  4. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理的推论 推论1 推论2

  5. 例1、 证:

  6. §2 利用导数研究函数的性态 一、利用一阶导数判断函数在区间上的单调性。 观察单调增加函数、单调减少函数的切线： 切线与x轴夹角为钝角 切线与x轴夹角为锐角 可导的单调增加函数 其导数大于零， 可导的单调减少函数 其导数小于零。

  7. 定理：函数单调性的判别定理

  8. 注：驻点通常是单调区间的分界点．

  9. 注：函数的不可导点通常也是单调区间的分界点．注：函数的不可导点通常也是单调区间的分界点．

  10. 求函数单调区间的方法和步骤： （4）、（5）步骤常采用列表讨论的方式。

  11. 单调增加区间为 单调减少区间为

  12. 单调增加区间为 单调减少区间为

  13. 解：

  14. 二、利用一阶导数求函数的极值 1、函数极值的定义

  15. 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

  16. 定理1(必要条件)设 在点 处可导,且在 处取得极值,那末必定 。 即： 2、函数极值的求法 例如,

  17. 是极值点情形 定理2(充分条件)

  18. 不是极值点情形

  19. 例5、 解 列表讨论 极小值 极大值

  20. 例6 解

  21. 三、利用二阶导数判断函数在区间上的凹凸性 图形上任意弧段 位于所张弦的下方， 称曲线为凹曲线。 图形上任意弧段 位于所张弦的上方， 称曲线为凸曲线。

  22. 曲线凹凸的判定: 定理

  23. 例7、 解

  24. 连续曲线上凹凸的分界点 称为曲线的拐点. 曲线的拐点及其求法 正如极值点可能为驻点或不可导点，类似地，拐点的横坐标也可能是二阶导数等于零或二阶导数不存在的点． 拐点的求法

  25. 例8、 解: 拐点 拐点 凹的 凸的 凹的

  26. §3 导数在经济分析中的应用 一、经济中的弹性分析

  27. 结 束

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