DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA)

2. DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) • Nazwa szkoły: …GIMNAZJUM IM. POLSKICH NOBLISTÓW • ID grupy: 98/78 MF G2 • Opiekun: PIOTR SZCZEPANIAK • Kompetencja: …MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: …OD RÓWNAŃ LINIOWYCH. • Semestr/rok szkolny: …SEMESTR I ROK SZK. 2011/2012

3. Spis treści Ogólnie o równaniach Ogólnie o równaniach Ogólnie o równaniach Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania Pojęcie równania - podsumowanie Przykłady równań Przykłady równań Równania tożsamościowe i sprzeczne Równania tożsamościowe i sprzeczne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Równania równoważne Rozwiązanie równania cz.3 Porównanie: Zadania do wykonania Zadania do wykonania Zadania do wykonania Zadania do wykonania Zadania do wykonania Zadania do wykonania Zadania do wykonania Zadania do wykonania Zadania do wykonania Metoda analizy starożytnych Wzór a równanie Wzór a równanie Proporcjonalność prosta Proporcjonalność odwrotna Proporcjonalność prosta i odwrotna Proporcjonalność prosta i odwrotna Rozwiązywanie równań w postaci proporcji Układ równań z dwiema niewiadomymi Metoda podstawiania Metoda podstawiania Metoda podstawiania Metoda podstawiania Metoda graficzna Metoda graficzna Metoda graficzna Metoda wyznacznikowa Metoda wyznacznikowa ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ W SYTUACJACH CODZIENNYCH ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ W NAUKACH PRZYRODNICZYCH CIEKAWOSTKI HISTORYCZNE ZWIĄZANE Z RÓWNANIAMI I ICH UKŁADAMI. HISTORIA ZWIĄZANA Z RÓWNANIAMI Metoda graficzna

4. Ogólnie o równaniach Rozwiązywaniem równań zajmuje się nauka zwana algebrą. Słowo to pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (IX w.) "Hisab al-djabr wal-mukabala" dotyczącego przenoszenia wyrazów z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami.

5. Ogólnie o równaniach Początkowo algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych. W 1591 roku matematyk francuski F. Viete zastąpił współczynniki liczbowe równań literami i wykrył zależności pomiędzy rozwiązaniami równania a jego współczynnikami. Odtąd symbole literowe pojawiły się w rachunkach, a wyrażenie przy pomocy liter praw działań arytmetycznych spowodowało zmianę poglądu na algebrę, która z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się w naukę o działaniach na literach i tak się ją obecnie rozumie w nauczaniu szkolnym.

6. Ogólnie o równaniach Zakres algebry zmienił się w ciągu wieków. Wraz z wprowadzeniem w 1545 r. przez matematyka włoskiego G. Cardana tzw. wzorów Cardana, w jej zakres weszły równania stopnia trzeciego i czwartego. Próby znalezienia wzorów na rozwiązania równań wyższych stopni doprowadziły w 1832 r. do sformułowania przez Galois warunków koniecznych i wystarczających na ich istnienie. Dało to początek nowemu kierunkowi badań - teorii Galois

7. Pojęcie równania Znasz już dobrze wyrażenia algebraiczne. Wiesz też, że wyrażenia algebraiczne mogą być różnymi napisami, a mimo to są one równoważne. Aby bez słów wyrazić, że dwa wyrażenia algebraiczne są równoważne, łączymy je znakiem równości. Dość często łączymy dwa wyrażenia algebraiczne znakiem równości w zupełnie innej sytuacji. Tworzymy równanie.

8. Pojęcie równania W celu pełnego zrozumienia pojęcia równania posłużymy się przykładem: W pewnej firmie produkującej krzesła, pracuje Adam i Piotr. Adam za każde wytworzone krzesło otrzymuje 5 zł. Natomiast Piotr 4 zł, ale dodatkowo otrzymuje 80 zł na opłacenie biletu miesięcznego na autobus, którym dojeżdża do pracy. Ile krzeseł musi wyprodukować każdy z nich, aby zarobić taką samą kwotę?

9. Pojęcie równania Z treści zadania wynika, że zarobki Adama i Piotra możemy opisać następującymi wyrażeniami algebraicznymi: - liczba wyprodukowanych krzeseł - wysokość zarobków Adama - wysokość zarobków Piotra

10. Pojęcie równania Przeanalizujmy przykładowe wartości powstałych wyrażeń algebraicznych. Widzimy, że jeżeli obydwoje wytworzą 80 krzeseł, to wówczas zarobią taką samą kwotę. Zadanie rozwiązane! A co w przypadku, gdyby produkowali szpilki? Wówczas poszukiwanie rozwiązania w powyższy sposób okazałoby się bardzo czasochłonne.

11. Pojęcie równania Spróbujmy inaczej. Ponieważ interesuje nas sytuacja, w której obydwa wyrażenia algebraiczne przyjmują tę samą wartość. Teraz zadajmy postawione pytanie w sposób matematyczny: Ile krzeseł musi wyprodukować każdy z nich, aby zarobić taką samą kwotę?

12. Pojęcie równania Otrzymaną równość dwóch wyrażeń algebraicznych nazywamy równaniem.

13. Pojęcie równania Przedstawmy to teraz na wykresie za pomocą programu Geogebra:

14. Pojęcie równania Jak wynika z wykresu, punkt przecięcia prostych wskazuje nam miejsce, w którym Adam i Piotr zarobili tę samą ilość pieniędzy – 80 godzin. Dodatkowo mamy informację, że zarobili wówczas po 400 zł.

15. Pojęcie równania Kolejny przykład: Liczba x ma taką dziwną własność, że jej podwojenie daje ten sam wynik co dodanie do niej 1. Jaka to liczba?

16. Pojęcie równania Rozwiązanie Zapiszmy tę własność niewiadomej liczby x algebraicznie 2x = x + 1 Wyrażenia po lewej stronie równości i po prawej stronie równości nie są równoważne. Wystarczy podstawić do obu wyrażeń w miejsce x liczbę 2. Lewe wyrażenie algebraiczne przyjmie wartość 4, a prawe 3. Po wstawieniu w miejsce x liczby 2 po obu stronach znaku równości otrzymaliśmy równość 4 = 3 która nie jest prawdziwa. A więc x jest różne od 2.

17. Pojęcie równania Dlaczego mieliśmy jednak prawo napisać taką równość, która, jak widać, może być nieprawdziwa. Równość w tym przypadku ma inny sens niż w tożsamości. Ta równość oznacza pytanie, dla jakich wartości zmiennej x zachodzi równość obu stron. Takie użycie znaku równości nazywa się równaniem, a zmienna występująca w tym równaniu nazywa się też niewiadomą.

18. Pojęcie równania Łatwo jest odgadnąć, jaką liczbą jest niewiadoma x. To przecież 1. Rzeczywiście 2 * 1 =1+1. Możemy więc powiedzieć, że znaleźliśmy rozwiązanie równania. Jest nim liczba 1. Trochę myślenia i widać, że żadna inna liczba nie jest rozwiązaniem tego równania, bo jeśli x jest większa od 1, to 2x = x + x > x + 1, a więc mamy nierówność zamiast równości. Podobnie jeśli x < 1, to 2x = x + x < x + 1 i znowu mamy nierówność. Odpowiedź na pytanie z tego przykładu można sformułować na dwa sposoby. Sposób pierwszy: Rozwiązaniem równania jest 1. Sposób drugi: x = 1.

19. Pojęcie równania I jeszcze jeden przykład:

20. Pojęcie równania

21. Pojęcie równania

22. Pojęcie równania I jeszcze jeden przykład: To połączenie znakiem równości dwóch wyrażeń algebraicznych tworzy równanie o dwóch niewiadomych x i y. Łatwo znaleźć wiele rozwiązań tego równania. Spełniają na przykład to równanie następujące pary liczb:

23. Pojęcie równania a nie spełnia na przykład para liczb x=1, y=1. Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, a każde z nich składa się z pary liczb. Opisać rozwiązania tego równania jest bardzo prosto. Jest to zbiór takich par liczb x i y, gdzie x może być dowolną liczbą, a y jest równe 2x + 5.

24. Pojęcie równania Równanie to jest bardzo szczególnej postaci. Mówi się, że to równanie jest rozwiązane ze względu na zmienną y. Inaczej możemy też powiedzieć, że jest to wzór na y w zależności od x .

25. Pojęcie równania - podsumowanie Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości nazywa się równaniem, gdy poszukuje się takich wartości liczbowych zmiennych, przy których otrzymana równość dwóch liczb jest prawdziwa. Mówimy wtedy, że te wartości zmiennych spełniają równanie. Każdą zmienną w równaniu można też nazwać niewiadomą. Te wartości zmiennych, które spełniają równanie, nazywa się rozwiązaniem równania.

26. Przykłady równań Równania jednej zmiennej: • Równanie 3x + 1 = 7 ma jedno rozwiązanie, a jest nim liczba 2. To samo można sformułować inaczej. Równanie ma jedno rozwiązanie x = 2. • Równanie 2x = 4 ma jedno rozwiązanie x = 2. • Równanie (x+3)(x-3) = 0, ma dwa rozwiązania: -3 i 3. Inaczej to samo: Rozwiązaniem równania jest x = − 3 lub x = 3. • Równanie x2=-1, nie ma żadnego rozwiązania. • Równanie 4(x+1)=4x+4, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każda liczba rzeczywista jest jego rozwiązaniem.

27. Przykłady równań Równanie dwóch zmiennych: • Równanie (x − 1)2 + (y − 2)2 = 0 ma jedno rozwiązanie. Jest nim para liczb x = 1 i y = 2. Zapisujemy to także (x,y) = (1,2). • Równanie x2 + y2 = − 1 nie ma rozwiązań. • Równanie x − y = y − x ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każda taka para (x,y), że x = y jest rozwiązaniem tego równania, bo po obu stronach równania otrzymamy zero. Kiedy x<> y, to albo x > y i wtedy lewa strona równania jest dodatnia, a prawa - ujemna, albo x < y i wtedy na odwrót lewa strona równania jest ujemna, a prawa dodatnia. Tak więc zbiór rozwiązań, to dokładnie zbiór wszystkich par (x,y) dla których x = y. • Równanie 2x − 2y = 2(x − y) jest spełnione przez każdą parę liczb (x,y).

28. Równania tożsamościowe i sprzeczne Równanie, które spełnia każdy układ liczb wstawiony w miejsce zmiennych jest tożsamością. Równanie, którego nie ma żadnych rozwiązań nazywamy równaniem sprzecznym.

29. Równania tożsamościowe i sprzeczne W praktycznych zastosowaniach najczęściej mamy do czynienia z równaniami, które nie są ani sprzeczne ani tożsamościowe, czyli zbiór rozwiązań ani nie jest pusty, ani nie jest zbiorem wszystkich możliwych liczb do wstawienia w zmienne.

30. Równania równoważne Gdybyśmy mieli dwa różne równania, które mają identyczny zbiór rozwiązań, to do szukania tych rozwiązań wybralibyśmy prostsze równanie. Równania posiadające te same zbiory rozwiązań nazywamy równoważnymi.

31. Równania równoważne Wyrażenia algebraiczne są równoważne, gdy zachowują się identycznie przy wstawianiu liczb w miejsce niewiadomych, a teraz badamy równoważność równań.

32. Równania równoważne Najpierw dwie bardzo proste, ale konieczne uwagi. Wyrażenie algebraiczne po lewej stronie znaku równości w równaniu nazywa się lewą stroną równania, a wyrażenie po prawej stronie - prawą stroną równania. I. Jeżeli prawą i lewą stronę równania zamienimy z sobą stronami, to otrzymamy równanie równoważne. II. Jeżeli jedną stronę równania zastąpimy wyrażeniem algebraicznym równoważnym, to otrzymamy równanie równoważne.

33. Równania równoważne Przykład x + x = x2 − 1 i 2x = x2 − 1 są równaniami równoważnymi, bo x + x i 2x są równoważnymi wyrażeniami algebraicznymi. Tak więc porządkując każdą stronę równania, wymnażając nawiasy, redukując wyrazy podobne itp. dostajemy równanie równoważne.

34. Równania równoważne III. a) Jeżeli do obu stron równania dodamy tę samą liczbę, to otrzymamy równanie równoważne. b) Jeżeli od obu stron równania odejmiemy tę samą liczbę, to otrzymamy równanie równoważne. c) Jeżeli do obu stron równania dodamy to samo wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne. d) Jeżeli od obu stron równania odejmiemy to samo wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.

35. Równania równoważne Uzasadnienie. a) jest prawdziwe, bo gdy do równych liczb dodamy równe liczby, to wyniki będą równe, a gdy do nierównych liczb dodamy równe liczby, to wyniki będą nierówne. b) jest właściwie tym samym, co a), bo zamiast odejmować liczby możemy dodać liczbę przeciwną i b) zamienia się w a). c) wynika z a), bo przy każdym obliczaniu wartości nowych stron równania różnią się one od starych o tę samą liczbę, czyli nowe strony równania i stare strony równania albo są jednocześnie równe, albo jednocześnie nierówne. d) jest tak samo prawdziwe jak c) bo odejmowanie jest dodawanie liczb przeciwnych. Najogólniejszym sformułowanie w II jest c), bo pozostałe są szczególnymi przypadkami c), pamiętanie tych 4 przypadków jest jednak dość wygodne w praktyce.

36. Równania równoważne IV. a) Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez tę samą liczbę różną od 0, to otrzymamy równanie równoważne. b) Jeżeli obie strony równania podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne. c) Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez to samo niezerujące się wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne. d) Jeżeli obie strony równania podzielimy przez to samo niezerujące się wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.

37. Równania równoważne Uzasadnienie jest bardzo podobne do tego z III z jednym wyjątkiem. Z oczywistych powodów nie dzielimy przez zero, bo jest to niewykonalne. Nie mnożymy przez zero obu stron równania, bo otrzymalibyśmy równanie prawdziwe, ale mało użyteczne 0 = 0. Warunek o dodawaniu bądź mnożeniu obu stron równania przez tylko takie wyrażenia algebraiczne, które nie mają innych zmiennych niż te w równaniu jest zasadny.

38. Równania równoważne Przykład Dodanie do równania tego samego wyrażenia algebraicznego jak tutaj 2x = x2 i 2x + y = x2 + y zmienia rozwiązania. W pierwszym równaiu mamy tylko rozwiązanie 0 i 2, a w drugim mamy pary x = 0 i dowolny y oraz pary x = 2 i dowolny y.

39. Równania równoważne Najcenniejsze zastosowanie powyższych operacji polega na tym, że potrafimy tworzyć równoważne równania, nie znając wcale rozwiązań, a przy odrobinie pracy nauczycie się tworzyć takie równania równoważne, które na prawdę łatwo jest rozwiązać.

40. Równania równoważne Przykład Przyjrzyj się poniższym schematom: W każdej parze drugie równanie powstało z pierwszego w wyniku pewnego przekształcenia. Oba równania mają jednakowe rozwiązania to znaczy są równoważne. Które z nich łatwiej rozwiązać?

41. Równania o współczynnikach całkowitych • Przykład 1: W tym równaniu mamy styczność z rozwiązaniem o współczynniku naturalnym.

42. Równania Przykład 2: W tym równaniu mamy styczność z rozwiązaniem o ułamku zwykłym.

43. Rozwiązanie równania cz.3 • Przykład 3: W tym równaniu mamy styczność z rozwiązaniem o ułamku dziesiętnym.

44. Przykład 4: • W tym równaniu mamy styczność z proporcjami.

45. Porównanie: Równanie. Tożsamość. Przykłady: Jeżeli jedna liczba spełnia rozwiązanie, to jest to równanie. Przykłady: Jeżeli każda liczba spełnia rozwiązanie, to jest to tożsamość.

46. Zadania do wykonania 1. a) Sprawdź, że liczba 5 jest rozwiązaniem równania x = 15 − 2x oraz że jest także rozwiązaniem równania 3x = 15. b) Sprawdź, że liczba 3 jest rozwiązaniem równania 3x + 5 = 14 oraz że jest także rozwiązaniem równania 3x = 9. c) Sprawdź, że liczba 9 jest rozwiązaniem równania 2(x − 2) = 14 oraz że jest także rozwiązaniem równania x − 2 = 7. d) Sprawdź, że liczba 3 jest rozwiązaniem równania x + 4 = 7 oraz że jest także rozwiązaniem równania 4x + 16 = 28.

47. Zadania do wykonania 2. Sprawdź, która z liczb: -2; 3; 2,5; 7 jest rozwiązaniem równań: a) 2t + 4 = 4t − 2 b) x2 = − 2x c) 3(x − 3) + 3 = x − 1

48. Zadania do wykonania 4. Ewa pomyślała sobie jakąś liczbę, dodała do niej 5. Wynik pomnożyła przez 2 i odjęła 4. Otrzymała trzykrotność pomyślanej liczby. O jakiej liczbie pomyślała na początku Ewa? Jak można rozwiązać tę zagadkę?

49. Zadania do wykonania 5. Basia powiedziała do Ewy: Pomyślałam liczbę, dodałam do niej 10, wynik podzieliłam przez 2, a następnie dodałam połowę pomyślanej liczby. Otrzymałam liczbę o 5 większą od pomyślanej. Jaką liczbę pomyślałam? Czy wiesz jaką liczbę pomyślała Basia? Jak Ewa może rozwiązać tę zagadkę?

50. Zadania do wykonania Czynności, które wykonała Basia można przedstawić na grafie: