Dynamiske modeller for aktiekurser mhp prisfastsættelse af optioner

1. Dynamiske modeller for aktiekurser mhp prisfastsættelse af optioner Investments 2003

2. Motivation • Vi skal ”lægge bunden”, dvs. opstille den referenceramme, som options-teoretikere arbejder i, og som vi skal arbejde med i stort set hele resten af kurset. • Derfor vigtigt at være med fra start! • Optionsteori kan være meget matematisk. Vi forsøger også at lægge meget vægt på det intuitive.

3. Oversigt • Intuitionen bag Pricing by arbitrage • Modeller for usikkerhed • Binomial-modellen. Eksempler og generelle resultater • Overgangen til modellering i kontinuert tid • Pricing by arbitrage i kontinuert tid • Black-Scholes modellen • Generelle principper • Monte Carlo simulation, vol. estimation. • Øvelser undervejs

4. Her er hvad det handler om! • Optioner er betingede fordringer med fremtidige betalinger, som er betinget af økonomiens udvikling (i modsætning til feks. fixed income securities). Værdi(0)=? ? 0 T Værdi(T)=[ST-X]+

5. Behovet for modelbygning • Payoff’et på udløbstidspunktet er en velspecificeret funktion af de underliggende variable. • Problemet er at få relateret fremtidsværdien til en nutidsværdi. Det er enkelt for fixed income, men mere komplekst for derivatives. • Der skal specificeres en model for usikker-heden. • Derefter er det pricing by arbitrage hele vejen til målet.

6. Pricing by arbitrage - PCP Ergo: C = P + S0 – PV(X) .... ellers er der arbitrage!

7. Pricing by arbitrage • Så hvis vi kender prisen på • underliggende aktiv • renten • put optionen • kan vi udtale os om den arbitragefri pris på den tilsvarende call. • Kender vi ikke put prisen, er det nødvendigt med lidt mere struktur......

8. Den simplest mulige model for usikkerhed - binomialmodellen • Eksempel: Aktiekursen er idag $20 • Om tre måneder er den enten $22 eller $18 (+-10%) Aktiekurs = $22 Aktiekurs = $20 Aktiekurs = $18

9. Encall option Betragt 3-måneders call option på aktien og med exercisekurs 21. Aktiekurs = $22 Optionspayoff = $1 Aktiekurs = $20 Optionspris=? Aktiekurs = $18 Optionspayoff = $0

10. 22D – 1 18D Konstruktion af risikofri portefølje • Betragt porteføljen: lang (købt) Daktierkort (udstedt) 1 call option • Porteføljen er risikofri når 22D – 1 = 18Ddvs. D = 0.25.

11. Værdifastsættelse af porteføljen • Antag renten er 12% p.a. (kontinuert) • Den risikofrie portefølje var: lang 0.25 aktierkort 1 call option • Værdien af porteføljen om 3 måneder er 22´0.25 – 1 = 4.50. • Værdien af porteføljen idag er så 4.5e– 0.12´0.25 = 4.3670.

12. Værdifastsættelse af optionen • Porteføljen der var lang 0.25 aktier kort 1 option var 4.367 værd. • Værdien af aktierne er 5.000 (= 0.25´20 ). • Værdien af optionen må derfor være 0.633 (= 5.000 – 4.367 ), • ...ellers er der arbitragemuligheder.

13. S0u ƒu S0 ƒ S0d ƒd Generalisering • En betinget fordring udløber på tidTog payoff afhænger af aktiekursen

14. Generalisering • Betragt porteføljen som er langDaktier og kort 1 fordring • Porteføljen er risikofri nårS0uD – ƒu = S0dD – ƒdeller • Bemærk:  er hedgeraten, i.e. hvor mange aktier der skal til at hedge optionen. S0 uD – ƒu S0– f S0dD – ƒd

15. Generalisering • Værdien af porteføljen på tidTerS0uD – ƒu. Sikkert! • Værdien af porteføljen idag er(S0uD – ƒu )e–rT • men værdien idag er også S0D – f • Derforgælderƒ = S0D – (S0uD – ƒu)e–rT

16. Generalisering • Indsættes udtrykket forDfår vi ƒ = [ q ƒu + (1 – q )ƒd ]e–rT hvor

17. S0u ƒu S0 ƒ S0d ƒd Risiko-neutral prisfastsættelse • ƒ = [ q ƒu + (1 – q )ƒd ]e-rT = e-rT EQ{fT} • Variableneq og (1– q ) kan fortolkes som risikoneutrale sandsynligheder for op- og ned-spring. • Værdien af den betingede fordring er det forventede payoff mht til q-sandsynlighederne (Q-mål) diskon-teret tilbage med den risikofrie rente. q (1 – q )

18. Tilbage til eksemplet S0u = 22 ƒu = 1 q • Vi kan udledeqved at prisfastsætte aktien: 20e0.12 ´0.25 = 22q + 18(1 – q ); q = 0.6523 • Det stemmer med vores formel S0 ƒ S0d = 18 ƒd = 0 (1– q )

19. S0u = 22 ƒu = 1 0.6523 S0 ƒ S0d = 18 ƒd = 0 0.3477 Værdifastsættelse af optionen Værdien af optionen er e–0.12´0.25 [0.6523´1 + 0.3477´0] = 0.633.

20. 24.2 22 19.8 20 18 16.2 To-periode eksempel • Hvert skridt er 3 måneder, dt=0.25

21. Værdifastsættelse af call, X=21 24.2 3.2 22 • Værdi i knude B = e–0.12´0.25(0.6523´3.2 + 0.3477´0) = 2.0257 • Værdi i knude A = e–0.12´0.25(0.6523´2.0257 + 0.3477´0) = 1.2823 B 19.8 0.0 20 1.2823 2.0257 A 18 C 0.0 16.2 0.0 f = e-2rt[q2fuu + 2q(1-q)fud + (1-q)2fdd] = e-2rt EQ{fT}

22. 72 0 60 48 4 50 4.1923 1.4147 40 9.4636 32 20 Put option; X=52 u=1.2, d=0.8, r=0.05, dt=1, q=0.6282

23. 72 0 60 B 48 4 50 5.0894 1.4147 A 40 C 12.0 32 20 Amerikansk put option – early exercise Knude C: max(52-40, exp(-0.05)*(q*4+(1-q)*20)) 9.4636

24. Delta • Delta (D) er som tidligere nævnt hedgeraten, ændringen i optionsværdien sat i forhold til ændringer i prisen på den underliggende aktie. • Værdien afDænder sig fra knude til knude i gitteret. • Det er en god øvelse at prøve at finde den selvfinansierende hedgeportefølje i fler-periode gitter!

25. Hvordan vælges u og d? Det kan gøres på forskellige måder. Følgende er den mest simple og almindelige hvorser p.a. volatiliteten og dter længden af tidsskridtene målt i år. Bemærk u=1/d. Dette er Cox, Ross, and Rubinstein’s approach.

26. Alternativ fastsættelse af u og d • Honoré & Poulsen anvender • hvor a+1/2s2er forventet afkast.

27. Få skridt, få udfald. Grov model

28. Mange skridt, mange udfald. ”Fin” model

29. Call, S=100, s=0.15, r=0.05, T=0.5, X=105

31. Øvelse • Check optionsprisen nederst side 8 i Honoré & Poulsen og beregn yderligere et par stykker. • Prøv at reproducér grafen side 10 i Honoré & Poulsen. • Lav en graf over sammenhængen ml. callpris og aktiekurs for ex. N=500. • Lav en graf over sammenhængen ml. callpris og volatiliet for ex. N=500. • Vis, at a er uden betydning i grænsen N.

32. Alternative modeltyper • Diskret tid; diskret variabel (binomial) • Diskret tid; kontinuert variabel • Kontinuert tid; diskret variabel • Kontinuert tid; kontinuert variabel Alle kan bruges, men vi vil nu arbejde os henimod den sidste type, som ofte besidder de pæneste analytiske egenskaber.

33. Wiener Processen – den fundamentale byggesten • Betragt en variabelz,som antager kontinuerte værdier. • Ændringen i z er zover det lille tidsintervalt. • z er en Wiener proces, hvis 1. 2. Værdien afzfor to ikke-overlappende perioder er uafhængige.

34. Wiener processens egenskaber • Middelværdien af [z (T ) – z (0)] er 0. • Variansen af [z (T ) – z (0)] erT. • Standardafvigelsen for [z (T ) – z (0)] er En rigtig kontinuert tids model opnås ved at lade t gå mod nul. Når vi skriver dz og dt skal det forstås sådan, at det tilsvarende udtryk med t og z holder i grænsen, når t går mod nul.

35. Den generaliserede Wiener- proces • I standard Wiener-processen er driften (den forventede ændring pr. tidsenhed) nul, og variansraten er 1. • I den generaliserede Wienerproces kan drift og diffusion specificeres som arbitrære konstanter, i.e. dx=adt+bdz. • Det giver selvfølgelig en mere generel model - dog ikke specielt velegnet til at modellere en aktiekurs udvikling.

36. Ito Processer • I en Ito proces er driften og variansraten generelle funktioner dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz. • Bemærk: Det vi mener, er egentlig hvor vi laderdtgå mod nul. • Vi kommer til at se processer af denne type igen! (Renter, temperatur mm.)

37. En god model for aktiekurser hvormer det forventede afkast ogser volatiliteten. Dette er den Geometriske Brownske bevægelse (GBM). Parallellen i diskret tid:

38. Lognormalfordelingen • En konsekvens af GBM specifikationen er • Logaritmen tilSTer normalfordelt, dvs. STer lognormal fordelt.

39. Lognormal-tæthed

40. Monte Carlo Simulation • Modellen illustreres let ved at sample en række værdier afeog indsætte…… • Antag f.eks.,at m= 0.14, s= 0.20, ogdt = 0.01, så

41. Monte Carlo Simulation – Én sti

42. Grafisk resultat:

43. Vejen videre frem: Ito’s Lemma • Vi skal kunne ”regne” i modellen. • Derivater er funktioner af eksempelvis en aktiekurs, så vi skal kunne regne på funktioner af S. Redskabet er Ito’s lemma. • Mere generelt: Hvis vi kender den stokastiske proces for x, så giver Ito’s lemma den stokastiske proces som beskriverG(t, x).

44. Ito’s lemma ultra-kort • Lad G(t,x) og dx=a(x,t)dt + b(x,t)dz

45. Ito’s lemma Indsættes udtrykket for dx får vi: DETTE ER ITO’S LEMMA! Optionsprisen/prisen på det afledte aktiv er altså også en diffusionsproces!

46. Anvendelse af Ito’s lemma på funktion af GBM

47. Eksempler

48. Black-Scholes modellen • Der betragtes en aktiekurs, som følger en GBM, dvs dS = Sdt + Sdz. • For nemheds skyld ingen udbytter. • Slutmålet er at bestemme prisen på optioner, når aktiekursen følger ovenstående proces.

49. Ideen bag Black-Scholes udledningen • Optionen og aktien er påvirket af samme usikkerhedsfaktor. • Ved at danne en smart portefølje af optionen og aktien kan vi eliminere denne usikkerhed. • Dermed er porteføljen risikofri og dens afkast må følgelig være lig den risikofri rente. • Dette leder til Black-Scholes differential ligningen, som vi så finder en løsning til. • Lad os gøre det! ......

50. Udledning af Black-Scholes ligningen