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1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算 .

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算. 4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平 面向量的垂直关系 . 5. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 . 6. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题. 1. 两个向量的夹角 (1) 定义和范围. (2) 两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件. [ 思考探究 1]

catrin
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1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算 .

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Presentation Transcript

  1. 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算.

  2. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平 面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题.

  3. 1.两个向量的夹角 (1)定义和范围

  4. (2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件

  5. [思考探究1] 　　在△ABC中，设 ＝a， ＝b，则a与b的夹角为∠ABC吗？ 提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.

  6. 2.平面向量的数量积

  7. 3.与平面向量的数量积有关的结论 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

  8. [思考探究2] 　　若a∥b，则a与b的数量积有何特点？ 提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°， ∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.

  9. 1.已知a＝(1，－2)，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝()1.已知a＝(1，－2)，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝() A.34B.(34，－68) C.－68 D.(－34,68) 解析：a·(b·c)＝(1，－2)×(5×2＋8×3)＝(34，－68). 答案：B

  10. 2.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋ 2b|＝ ( ) A. B. C.4 D.12 解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12， ∴|a＋2b|＝ . 答案：B

  11. 3.已知|a|＝1，|b|＝ ，且a⊥(a－b)，则向量a与向量 b的夹角是 () A.30° B.45° C.90° D.135°

  12. 解析：设向量a与b的夹角为θ， 由a⊥(a－b)，得 a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0， ∴|a||b|cos θ ＝|a|2， ∴cos θ ＝ ∴θ ＝45°. 答案：B

  13. 4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的 投影为. 解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴|a|cos〈a，b〉＝ 答案：

  14. 5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝. 解析：∵(a－b)2＝3， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ∴|a|2＋2－4＝3， ∴|a|2＝5， ∴|a|＝ . 答案：

  15. 1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝ |a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算， 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注 意数量积运算律的应用. 2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握 此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

  16. 已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为 ，求： (1)(3a－2b)·(a－2b)； (2)|a＋b|. [思路点拨]

  17. [课堂笔记](1)a·b＝|a|·|b|·cos ＝3×4×(－ )＝－6 . a2＝32＝9，b2＝16. ∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2 ＝3×9－8×(－6 )＋64＝91＋48 . (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝9＋2×(－6 )＋16＝25－12 . ∴|a＋b|＝

  18. 若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题.若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题. 解：(1)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)， ∴3a－2b＝(9，－12)－(4,2)＝(5，－14)， a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6).

  19. ∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6) ＝5×(－1)＋(－14)×(－6) ＝－5＋84 ＝79. (2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)， ∴|a＋b|＝

  20. 已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ ，则 (1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°； (2)a·b＝0⇔ θ ＝90°； (3)a·b＜0⇔90°＜θ ＜180°. [特别警示]　在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线.

  21. 已知|a|＝1，a·b＝ ，(a－b)·(a＋b)＝ ， 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值. [思路点拨]

  22. [课堂笔记](1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ， ∴|a|2－|b|2＝ ， 又∵|a|＝1，∴|b|＝ 设a与b的夹角为θ，则cosθ ∴ θ ＝45°.

  23. (2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2× ∴|a－b|＝ . (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2× ∴|a＋b|＝ ，设a－b与a＋b的夹角为α， 则cosα＝

  24. 1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的充要条件： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0). 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

  25. 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， ＝ (－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，且 ，求实数m，n的值. [思路点拨]

  26. [课堂笔记]　由于C、A、B三点在同一条直线上， 则 而 ＝(7，－1－m)， ＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0， ① 又∵ ∴－2n＋m＝0， ② 联立①②解得

  27. 　 平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现.而近几年平面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向.

  28. [考题印证] (2009·湖南高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2). (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.

  29. 【解】(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝ ┄┄┄┄(4分) (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋ )＝ .┄┄┄┄┄┄┄(8分) 又由0＜θ＜π知， ＜2θ＋ ＜ ，所以2θ＋ ＝ ，或2θ＋ ＝ .因此θ＝ ，或θ＝ .┄┄┄(12分)

  30. [自主体验] 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝ ，求△ABC的面积.

  31. 解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB， 即a· ＝b· ，其中R是三角形ABC外接圆半径， ∴a＝b. ∴△ABC为等腰三角形. (2)由题意可知m·p＝0， 即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab.

  32. 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 即(ab)2－3ab－4＝0， ∴ab＝4(舍去ab＝－1)， ∴S＝ absinC＝ ·4·sin ＝

  33. 1.(2009·宁夏、海南高考)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向 量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ()

  34. 解析：a＝(－3,2)，b＝(－1,0). λa＋b＝(－1－3λ，2λ)，a－2b＝(－1,2). ∵λa＋b与a－2b垂直，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴(－1－3λ)(－1)＋2λ·2＝0， 解得λ＝－ . 答案：A

  35. 2.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满 足 则 等于 ()

  36. 解析：M为BC中点，得 又∵ P为AM的 等分点， 答案：A

  37. 3.已知在△ABC中，若 则△ABC是 () A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.钝角三角形

  38. 解析：由 ∴△ABC是直角三角形. 答案：C

  39. 4.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a －b|＝. 解析：|5a－b|2＝25|a|2＋|b|2－10a·b ＝25＋9－10×1×3×(－ )＝49. ∴|5a－b|＝7. 答案：7

  40. 5.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若 a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 的模为.

  41. 解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)；∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量 ＝(－8,8)， ＝8 . 答案：8

  42. 6.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝ (1,2). (1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

  43. 解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝ 可得： ∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4). (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)， ∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0， ∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2× ＝0， ∴a·b＝ ∴cosθ＝ ＝－1， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.

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