第三章 线性方程组

1. 第三章 线性方程组 • §1 消元法 • §2 n维向量空间 • §3 线性相关性 • §4 矩阵的秩 • §5 线性方程组有解判别定理 • §6 线性方程组解的结构

2. §1 消元法 • 现在讨论一般线性方程组： (1) 其中 为n个未知量，s为方程个数； 为

3. 方程组的系数， 为常数项。s与n不一定相等。满足方程组（1）的有序数组 称为方程组的解；解的全体称为解集合。如果两个方程组有相同的解集合，就称为它们是同解的。 ， 。

4. A为系数矩阵 为增广矩阵

5. 例 解方程组 方程组的解为（9，-1，-6）。

6. 用了 1、用一个非零的数乘某一方程； 2、把一个方程的倍数加到另一个方程； 3、互换两方程的位置。 定义1 变换1、2、3称为线性方程组的初等变换。及矩阵的初等行变换。 容易验证初等变换总是把方程组变成同解方程组。

7. 用初等变换解一般线性方程组： 对于方程组（1）如果 的系数 全为零，（1）可以看为 的方程来解。否则，利用初等变换（3）可以设 ，用变换（2）将方程组（1）变为：

8. （3） 其中

9. 这样解方程组（1）就归结为解下方程组 （4） 对（4）重复以上过程，最后得到 一个阶梯形的方程组。

11. 其中 • 当 时，方程组无解； • 当 时，分两种情况： 1）r=n，这时阶梯形方程组为 其中 。这时方程组有唯一解。

12. 2）r<n，阶梯形方程组为 其中 ，把它改写成

13. （7）

14. 这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把 通过 表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 称为一组自由未知量。 • r>n，是不可能的。 • 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组，若 ，则方程组无解； 若 ，方程组有解。在有解的情况下，若r=n，有唯一解；若r<n有无穷多解。

15. 定理1 在齐次线性方程组 中，如果s<n，那么它必有非零解。 证明 显然，方程组化为阶梯形方程组后，方程组的个数不会超过原方程组中的个数，即r≤s<n，由上结论知，r<n方程组有无穷解，因而必有非零解。

16. 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以，解方程组一般用增广矩阵化简。用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以，解方程组一般用增广矩阵化简。 • 例 • 解 对增广矩阵 作初等行变换

17. 同解方程组为 一般解为 为自由未知量。

18. 例

19. 解 对增广矩阵作初等行变换 从最后一行可以看出原方程组无解。 Back

20. §2 n维向量空间 • 消元法是解方程组的一个行之有效的算法。但有时需要直接从原方程来判是否有解？并且，消元法化为阶梯形方程组的过程中，最后剩下来的方程个数是否是唯一的？这些问题都需要用向量的知识来解决。

21. 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由 数域P中n个数组成的有序数组 （1） 称为向量（1）的分量。 P为实数域，n=2为平面点，n=3为空间点。 n>3则没有几何意义了。 用希腊字母 来代表向量。 定义3如果n维向量 的对应分量相等，称为这两个向量相等，记作

22. 定义4 向量 称为向量 的和，记为 • 满足 交换律 结合律

23. 定义5 分量全为零的向量(0,0,…,0)称为零向量，记为0。 向量 称为向量 的负向量，记为 • 定义6

24. 定义7 设k为数域P中的数，向量 称为向量 与数k的数量乘积，记为 。

25. 定义8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间。 • 向量可以表示为行向量和列向量： Back

26. §3 线性相关性 • 以下我们总是在一固定的数域P上的n维向量空间讨论。 • 本节我们讨论向量的线性关系。两个向量的之间的关系是成比例， 及 多个向量的比例关系表现为线性组合。 • 定义9 向量 称为向量组 的一个线性组合，如果有数域P中的数 使

27. 也称为 可由向量组 线性表出。 如任一n维向量 都是向量组 的一个线性组合 向量组 称为n维单位向量组。

28. 零向量是任一向量组的线性组合。 • 定义10 如果向量组 中每一向量 都可以经过向量组 线性表出，那么向量组 就称为可以经过向量组 线性表出。如果两向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。 • 每个向量组都可以由它自身线性表出。 • 如果向量组 可经向量组 线性表出， 可以经 线性表出，那么向量组

29. 可以经 线性表出， • 事实上 如果 • 则

30. 向量组等价性质： 1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； 2）对称性 如果向量组 与 等价，那么 与 等价； 3）传递性 如果向量组 与 等价， 与 等价，那么 与 等价

31. 定义11如果向量组 中有一个向量可以由其余向量线性表出， 那么向量组 称为线性相关。 例如

32. 两个向量线性相关，则 或 (两个不一定同时成立） • 在三维空间中，两个向量线性相关表示共线；三个向量线性相关，表示共面。 • 任何一个包含零向量的向量组必线性相关。 • 定义11` 向量组 称为线性相关的，如果有P中不全为零的数

33. 使 • 当 时，两定义是一致的。 • 事实上 若按定义11， 是线性相关的，则其中有一向量是其余向量的线性组合，不妨设 即 因 不全为零，按定义11`，线性相关。

34. 反之，若 按定义11`线性相关， 即有不全为零的数 使 不妨设 ，于是 这说明 可以由其余向量线性表出，所以此向量组按定义11也线性相关。

35. 定义12 一向量组 不线性相关，即没有不全为零的数 使得 就称为线性无关；或者说 称为线性无关，如果由 可以推出

36. 如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个向量组线性相关；换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任一个非空的部分组也线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关）如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个向量组线性相关；换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任一个非空的部分组也线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关） • 单个向量线性相关当且仅当 ；两个向量线性相关当且仅当对应分量成比例。 • n维单位向量组 线性无关。

37. 例 判断 是否线性相关？ 解 设 即

38. 由消元法可解的方程组有无穷多组解，故向量组线性相关, 特别取一组解（3，-1，-1）得 一般判别一个向量组 （2） 是否线性相关，按定义11`，看方程 （3） 是否有非零解，

39. 分量形式为： （4） 因此, 向量组 线性无关的充要条件是齐次线性方程组（4）有非零解。 • 如果（2）线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的n+1 维的向量组 （5） 也线性无关。（原来无关，延长无关）

40. 事实上，与向量组（5）相对应的齐次线性方程组为事实上，与向量组（5）相对应的齐次线性方程组为 （6） • 显然（6）的解全是（4）的解，如果（4）只有零解，则（6）也只有零解。 这个结论可以推广到添加几个分量上去。

41. 定理2 设 与 是 是两个向量组，如果 1）向量组 可以经 线性表出， 2）r>s， 那么向量组 必线性相关。 （多的用少的线性表出，多的线性相关）。

42. 证明 由1）有 为了证明 线性相关，设 如果我们能找到不全为零的数 使上式成立，那就证明了 的线性相关性。

43. 而

44. 因为r>s，齐次线性方程组 中未知量个数大于方程个数，由定理1，它有非零解。

45. 推论1 如果向量组 可以经过向量组 线性表出，且 线性无关，那么r≤s. • 推论2n+1个n维向量必线性相关。 因为n+1个n维向量可由单位向量组线性表出。 • 推论3 两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量。

46. 定义13 一向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组，如果这个部分组本身是 线性无关的，并且从这向量组中任意添加 一个向量（如果有的话），所得到的部分 向量组都线性相关。

47. 如 因为 且 线性无关，所以 为一个极大线性无关组， 也是一个极大线性无关组。 • 任意一个极大线性无关组都与向量组等价；因而，一向量组的任意两个极大线性无关组是等价的。 （课上证明） • 定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。 由上结论和定理2的推论3得。

48. 定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。 • 例如 的秩是2。 • 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同。 • 等价向量组必有相同的秩。 Back

49. §4 矩阵的秩 • 矩阵可以看成行向量组成的，也可看成列向量组成的。 • 定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩。 • 例 矩阵

50. 是行向量组的一个极大线性无关组。所以行秩为3。A的列向量组为 线性无关， 所以 是列向量组的一个极大线性无关组，列秩为3。 • 引理 如果齐次线性方程组